Параметризований постньютонівський формалізм

Параметризо́ваний постнью́тонівський формалі́зм (ППН формалі́зм) — версія постньютонівського формалізму, застосовна не тільки до загальної теорії відносності, але й до інших метричних теорій гравітації, коли рухи тіл задовольняють принцип еквівалентності Ейнштейна. У такому підході явно виписуються всі можливі залежності гравітаційного поля від розподілу матерії аж до відповідного порядку оберненого квадрата швидкості світла ${\displaystyle c^{-2}}$ (точніше, швидкості гравітації, при цьому зазвичай обмежуються першим порядком) і складається найзагальніший вираз для розв'язання рівнянь гравітаційного поля і руху матерії. Різні теорії гравітації при цьому пророкують різні значення коефіцієнтів — так званих ППН параметрів — у загальних виразах. Це приводить до потенційно спостережуваних ефектів, експериментальні обмеження на величину яких призводять до обмежень на ППН параметри, і відповідно — до обмежень на теорії гравітації, що їх передбачають. Можна сказати, що ППН параметри описують відмінності між ньютонівською та описуваною теоріями гравітації. ППН формалізм застосовний, коли гравітаційні поля слабкі, а швидкості руху тіл, що формують їх, малі, порівняно зі швидкістю світла (точніше, швидкістю гравітації) — канонічними прикладами застосування є рух Сонячної системи і систем пульсарів у подвійних системах^[1][2].

Історія[ред. | ред. код]

Перша параметризація постньютонівського наближення належить перу Еддінгтона (Eddington, 1922^[3]). У ній розглядалося, втім, лише гравітаційне поле у вакуумі навколо сферично-симетричного статичного тіла^[4]. Нордтведт^[en] (Nordtvedt, 1968^[5], 1969^[6]) розширив формалізм до 7 параметрів, а Вілл^[en] (Will, 1971^[7]) ввів у нього опис небесних тіл як протяжних розподілів тензора енергії-імпульсу^[4].

Застосовувані найчастіше і описані нижче версії формалізму ґрунтуються на працях Ні^[en] (Ni, 1972^[8]), Вілла і Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972^[9]), Мізнера, Торна і Вілера Гравітація^[10] та Вілла^[1][2], і мають 10 параметрів.

Бета-дельта варіант (Beta-delta notation)[ред. | ред. код]

Десять постньютонівських параметрів (ППН параметрів) повністю характеризують поведінку переважної більшості метричних теорій гравітації в границі слабкого поля^[11]. ППН формалізм виявився цінним засобом для перевірки загальної теорії відносності^[12]. В позначеннях Вілла (Will, 1971^[7]), Ні (Ni, 1972^[8]) і Мізнера, Торна і Вілера (Misner et al., 1973^[10]) ППН параметри мають умовно таке значення^[13]:

${\displaystyle \gamma }$	Наскільки сильну просторову кривину в ${\displaystyle g_{ij}}$ генерує одиниця маси спокою?
${\displaystyle \beta }$	Наскільки велика нелінійність у ${\displaystyle g_{00}}$ при додаванні гравітаційних полів?
${\displaystyle \beta _{1}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця кінетичної енергії ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}}$?
${\displaystyle \beta _{2}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця гравітаційної потенціальної енергії ${\displaystyle \rho _{0}/U}$?
${\displaystyle \beta _{3}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця внутрішньої енергії тіла ${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$?
${\displaystyle \beta _{4}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця тиску ${\displaystyle p}$?
${\displaystyle \zeta }$	Різниця між проявом радіальної та трансверсальної кінетичної енергії в тяжінні в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \eta }$	Різниця між проявом радіальних і трансверсальних напруг у тяжінні в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \Delta _{1}}$	Скільки захоплення інерційних систем відліку в ${\displaystyle g_{0j}}$ створює одиниця імпульсу ${\displaystyle \rho _{0}v}$?
${\displaystyle \Delta _{2}}$	Різниця між степенем захоплення інерційних систем відліку в радіальному і трансверсальному напрямках

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — симетричний метричний тензор 4 на 4, а просторові індекси ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ пробігають значення від 1 до 3.

У теорії Ейнштейна ці параметри відповідають тому, що (1) для малих швидкостей руху тіл та їхніх мас відновлюється ньютонівське тяжіння, (2) виконуються закони збереження енергії, маси, імпульсу та моменту імпульсу, і (3) рівняння теорії не залежать від системи відліку. У таких позначеннях загальна теорія відносності має ППН параметри

${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ і ${\displaystyle \zeta =\eta =0}$ ^[13].

Альфа-дзета варіант (Alpha-zeta notation)[ред. | ред. код]

У сучаснішій версії (Will & Nordtvedt, 1972^[9]), що використовується також у роботах Вілла (1981^[2], 2014^[1]), застосовується інший еквівалентний набір із 10 ППН параметрів:

${\displaystyle \gamma =\gamma }$,

${\displaystyle \beta =\beta }$,

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$,

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$,

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$,

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$,

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$,

${\displaystyle \xi }$ виходить з ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$.

Сенс параметрів ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ і ${\displaystyle \alpha _{3}}$ при цьому — ступінь прояву ефектів переважної системи відліку (ефіру)^[14]. ${\displaystyle \zeta _{1}}$, ${\displaystyle \zeta _{2}}$, ${\displaystyle \zeta _{3}}$, ${\displaystyle \zeta _{4}}$ і ${\displaystyle \alpha _{3}}$ вимірюють ступінь порушення законів збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу^[15].

У цих позначеннях ППН параметри ЗТВ є

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ і ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$ ^[16].

Вигляд метрики альфа-дзета варіанту:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\varepsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\varepsilon ^{\frac {5}{2}})\;,}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;}$,

де за індексами, що повторюються, передбачається підсумовування, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ визначається як найбільше в системі значення ньютонівського потенціалу ${\displaystyle U}$, квадрата швидкості матерії або подібних величин (вони всі мають один порядок величини), ${\displaystyle w^{i}}$ — швидкість ППН координатної системи відносно виділеної системи спокою, ${\displaystyle w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}}$ — квадрат цієї швидкості, а ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ якщо ${\displaystyle i=j}$ і ${\displaystyle 0}$ у протилежному випадку — символ Кронекера^[17].

Є лише десять простих метричних потенціалів: ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U_{ij}}$, ${\displaystyle \Phi _{W}}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Phi _{1}}$, ${\displaystyle \Phi _{2}}$, ${\displaystyle \Phi _{3}}$, ${\displaystyle \Phi _{4}}$, ${\displaystyle V_{i}}$ і ${\displaystyle W_{i}}$^[18], стільки ж, як і ППН параметрів, що гарантує єдиність ППН розв'язку для кожної теорії гравітації^[17]. Форма цих потенціалів нагадує гравітаційний потенціал ньютонівської теорії — вони дорівнюють визначеним інтегралам за розподілом матерії, наприклад^[18],

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'.}$

Повний список визначень метричних потенціалів див. у роботах Мізнера, Торна, Вілера (Misner et al., 1973^[19]), Вілла (1981^[18], 2014^[20]) та ін.

Процедура отримання ППН параметрів з теорії гравітації[ред. | ред. код]

Приклади аналізу можна знайти у книзі Вілла, 1981^[2]. Процес складається з дев'яти стадій^[21]:

• Крок 1: Визначення змінних: (a) динамічні гравітаційні змінні, такі як метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, гравітаційне скалярне ${\displaystyle \phi }$, векторне ${\displaystyle K_{\mu }}$ та/або тензорне поле ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ тощо; (b) змінні переважної геометрії, такі як плоска фонова метрика ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, космологічний час ${\displaystyle t}$ тощо; (c) змінні матеріальних (негравітаційних) полів.

• Крок 2: Встановлення космологічних граничних умов: припускаючи всесвіт Фрідмана (однорідний та ізотропний), вводимо ізотропні координати в системі спокою Всесвіту (повне космологічне рішення для цього потрібно не завжди). Отримані фонові космологічні поля називаємо ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$, ${\displaystyle \phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$.

• Крок 3: Вводимо нові змінні ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$, а якщо необхідно, то й ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$.

• Крок 4: Підставляємо отримані вирази та тензор енергії-імпульсу матерії (зазвичай ідеальної рідини) у рівняння гравітаційного поля та відкидаємо члени надто високого порядку для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ та інших динамічних гравітаційних змінних.

• Крок 5: Розв'язуємо рівняння для ${\displaystyle h_{00}}$ із точністю до ${\displaystyle O(2)}$. Припускаючи, що ця величина далеко від системи прямує до нуля, отримуємо форму ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$, де ${\displaystyle U}$ — гравітаційний потенціал Ньютона, а ${\displaystyle \alpha }$ може бути складною функцією, що включає гравітаційну «сталу» ${\displaystyle G}$. Ньютонова метрика має форму ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$, ${\displaystyle g_{0j}=0}$, ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$. Переходимо до одиниць, у яких гравітаційна «стала», виміряна зараз далеко від гравітувальної матерії, дорівнює одиниці ${\displaystyle G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$.

• Крок 6: З лінеаризованої версії польових рівнянь отримуємо ${\displaystyle h_{ij}}$ із точністю до ${\displaystyle O(2)}$ і ${\displaystyle h_{0j}}$ із точністю до ${\displaystyle O(3)}$.

• Крок 7: Знаходимо ${\displaystyle h_{00}}$ із точністю до ${\displaystyle O(4)}$. Це найскладніший етап, оскільки рівняння тут стають нелінійними. Тензор енергії-імпульсу також необхідно розкласти до потрібного порядку.

• Крок 8: Переходимо до стандартного ППН калібрування.

• Крок 9: Порівнюючи отриману метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ з відомим ППН виразом, визначаємо ППН параметри теорії.

Порівняння теорій гравітації[ред. | ред. код]

Таблицю, що представляє ППН параметри 23 теорій гравітації, наведено в статті «Альтернативні теорії гравітації».

Більшість метричних теорій можна поділити за кількома категоріями. Скалярні теорії гравітації^[en] включають конформно-плоскі теорії та стратифіковані теорії з просторовими перерізами, строго ортогональними часовому напрямку.

У конформно-плоских теоріях, наприклад, теорія Нордстрема^[en], метрика дорівнює ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ і тому ${\displaystyle \gamma =-1}$ що абсолютно несумісне зі спостереженнями. У стратифікованих теоріях, наприклад, теорії Їлмаза^[en], метрика дорівнює ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ і, отже, ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$, що знову-таки суперечить спостереженням.

Інший клас теорій — квазілінійні теорії типу теорії Вайтгеда. Для них ${\displaystyle \xi =\beta }$. Оскільки відносні амплітуди гармонік земних припливів залежать від ${\displaystyle \xi }$ і ${\displaystyle \alpha _{2}}$, то їх виміри дозволяють відхилити всі подібні теорії, виключаючи таке велике значення ${\displaystyle \xi }$.

Ще один клас теорій — біметричні теорії. Для них ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не дорівнює 0. З даних щодо прецесії осі обертання мілісекундних пульсарів ми знаємо, що ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$, і це ефективно відхиляє біметричні теорії.

Далі йдуть скалярно-тензорні теорії, наприклад, теорія Бранса — Діке. Для таких теорій у першому наближенні ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$. Межа ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ дає дуже мале ${\displaystyle 1/\omega }$, що характеризує ступінь «скалярності» гравітаційної взаємодії, а в міру уточнення експериментальних даних межа на ${\displaystyle \omega }$ все продовжує збільшуватися, отже такі теорії стають менш імовірними.

Останній клас теорій — векторно-тензорні теорії. Для них гравітаційна «стала» змінюється з часом і ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не дорівнює 0. Лазерна локація Місяця сильно обмежує варіацію гравітаційної «сталої» та ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$ так що ці теорії також не виглядають надійними.

Деякі метричні теорії не потрапляють до виділених категорій, але мають подібні проблеми.

Експериментальні обмеження на ППН параметри[ред. | ред. код]

Значення взято з огляду Вілла, 2014^[22].

Параметр	Межі	Ефекти	Експеримент
${\displaystyle \gamma -1}$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}}$	Ефект Шапіро, гравітаційне відхилення світла	Траєкторія «Кассіні — Гюйгенса»
${\displaystyle \beta -1}$	${\displaystyle 8\cdot 10^{-5}}$	Ефект Нордтведта, зсув перигелію	Лазерна локація Місяця, рухи планет у Сонячній системі
${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-9}}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Зсув площини орбіти	Лазерна локація Місяця, пульсар J1738+0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-9}}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
${\displaystyle \alpha _{3}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-20}}$	Самоприскорення	Статистика сповільнення пульсарів
${\displaystyle \zeta _{1}}$	${\displaystyle 0.02}$	-	Комбінована межа різних експериментів
${\displaystyle \zeta _{2}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Прискорення подвійних пульсарів	PSR 1913+16
${\displaystyle \zeta _{3}}$	${\displaystyle 10^{-8}}$	Третій закон Ньютона	Прискорення Місяця
${\displaystyle \zeta _{4}}$	${\displaystyle 0.006}$‡	-	Не є незалежним

‡ За ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ з робіт Вілла (1976^[23], 2014^[1]). Теоретично в деяких теоріях гравітації можливий обхід цього обмеження, тоді застосовною є слабша межа ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$ зі статті Ні (1972^[8]).

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

Основна

• Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M.. The Confrontation between General Relativity and Experiment // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — arXiv:1403.7377. — Bibcode:2014LRR….17….4W. — DOI:10.12942/lrr-2014-4. Архівовано з джерела 19 березня 2015.

Додаткова

• Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co, 1973.
• Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T.. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — Bibcode:1972ApJ…176..769N. — DOI:10.1086/151677.
• Nordtvedt K.. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — Bibcode:1968PhRv..169.1017N. — DOI:10.1103/PhysRev.169.1017.
• Nordtvedt K.. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — Bibcode:1969PhRv..180.1293N. — DOI:10.1103/PhysRev.180.1293.
• Will C. M.. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — Bibcode:1971ApJ…163..611W. — DOI:10.1086/150804.
• Will C. M.. Active mass in relativistic gravity — Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — Bibcode:1976ApJ…204..224W. — DOI:10.1086/154164.
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K.. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — Bibcode:1972ApJ…177..757W. — DOI:10.1086/151754.

Словники та енциклопедії Encyclopædia Britannica Нормативний контроль Freebase: /m/07xjv3

п о р Теорія відносності Спеціальна теорія відносності Передумови Принцип відносності Спеціальна теорія відносності Основи Система відліку Швидкість світла Стрімкість Рівняння Максвелла Формулювання Теорія відносності Галілея[en] Перетворення Галілея Перетворення Лоренца Наслідки Сповільнення часу Релятивістська маса[en] Еквівалентність маси і енергії Скорочення довжини Відносність одночасності Релятивістський ефект Доплера Прецесія Томаса Релятивістські диски[en] Простір-час Світловий конус Світова лінія Часопросторова діаграма Бікватерніони Простір Мінковського Загальна теорія відносності Передумови Вступ[en] Математичні основи Література Основні поняття Спеціальна теорія відносності Принцип еквівалентності Світова лінія Ріманова геометрія Діаграма Мінковського Явища Чорна діра Горизонт подій Ефект Лензе — Тіррінга Геодезична прецесія Лінзи Сингулярність Хвилі Парадокс драбини Парадокс близнят Задача двох тіл Передбачення ЗТВ Гравітомагнетизм Рівняння Формалізм Арновіта — Дезера — Мізнера БШСН формалізм[en] Рівняння Ейнштейна Геодезичні рівняння[en] Рівняння Фрідмана Лінеаризація гравітації Постньютонівський формалізм параметризований Рівняння Гамільтона — Якобі — Ейнштейна[en] Розширені теорії Теорія Бранса — Діке Калуци — Клейна Принцип Маха Квантова гравітація Розв’язки[en] Розв'язки рівнянь Ейнштейна Шварцшильда Райсснера — Нордстрема[en] Геделя Керра Керра — Ньюмена Каснера[en] Тауба — Нута[en] Мілна[en] Робертсона — Вокера Просторово-часові хвилі[en] Пил ван Стокума Ейнштейнівський вакуум Науковці Ейнштейн Лоренц Гільберт Пуанкаре Шварцшильд де Сіттер Райснер[en] Нордстрем[en] Вейль Еддінгтон Фрідман Мілн Цвіккі Леметр Гедель Вілер Робертсон[en] Бардін[en] Вокер[en] Керр Чандрасекар Елерс[en] Пенроуз Гокінг Тейлор Галс Віллем ван Стокум Тауб[en] Ньюман[en] Яу Торн Вайс Бонді Міснер Абрагам інші[en]