Перетворення Лоренца

Нехай функції перетворень між результатами спостерігання деякої події у різних ІСВ ${\displaystyle \ K,K'}$ із відносною швидкістю ${\displaystyle \mathbf {u} =const}$ для одновимірного випадку задаються як

${\displaystyle \ x'=f(x,u,t),\quad t'=g(x,u,t)\qquad (.0)}$.

Враховуючи те, що простір-час однорідний [1] (якісно - кожна точка пустого простору-часу нічим не відрізняється від інших точок), можна стверджувати, що всі геометричні співвідношення між геометричними об'єктами не змінюються в залежності від вибору точки початку координат ІСВ. Це означає, що функції ${\displaystyle \ (0)}$ будуть лінійними функціями своїх аргументів, причому коефіцієнти при аргументах будуть залежати лише від відносної швидкості ІСВ:

${\displaystyle \ x'=Ax+Bt+const_{1},\quad t'=Cx+Dt+const_{2}\qquad (.0.1)}$.

При нульовому значенні ${\displaystyle \ t,t'}$ виконується наступна умова:

${\displaystyle \ t=t'=0\Rightarrow x=x'=0}$,

тобто, при початку відліку часу початки координат ІСВ збігаються. Це означає рівність нулю констант у ${\displaystyle \ (.0.1)}$, причому загальність перетворень зменшена не буде (через однорідність простору-часу):

${\displaystyle \ x'=Ax+Bt,\quad t'=Cx+Dt\qquad (.1)}$.

Тоді система ${\displaystyle \ K}$ буде рухатися відносно точки ${\displaystyle \ x'=0}$ зі зміною координати у ${\displaystyle \ x=ut}$, а точка ${\displaystyle \ x'}$ буде рухатися відносно системи ${\displaystyle \ x=0}$ зі зміною координати у ${\displaystyle \ x'=-ut'}$. Якщо підставити дані значення у ${\displaystyle \ (.1)}$, можна знайти величини ${\displaystyle \ A,B,C,D}$:

${\displaystyle {\begin{cases}0=Aut+Bt\Rightarrow B=-Au\qquad (.2)\\t'=Cx+Dt\\\end{cases}}}$,

${\displaystyle {\begin{cases}-ut'=Bt\Rightarrow B=-{\frac {ut'}{t}}=-uD\qquad (.3)\\t'=Dt\Rightarrow {\frac {t'}{t}}=D\\\end{cases}}}$.

З ${\displaystyle \ (.2),(.3)}$ можна дійти висновку, що ${\displaystyle \ A=D}$. Можна ввести функції відносних швидкостей:

${\displaystyle \ \gamma (u)=A,\quad \sigma (u)=-{\frac {C}{D}}}$.

Тоді ${\displaystyle \ (.1)}$ прийме вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=\gamma (u)[x-ut]\\t'=\gamma (u)[t-\sigma (u)x]\\\end{cases}}\qquad (.4)}$.

Для визначення виду функцій треба ввести додаткову аксіоматику.

Нехай інерціальні системи відліку рівноправні [2]. Це означає, що перехід від ${\displaystyle \ K}$ до ${\displaystyle \ K'}$ у ${\displaystyle \ (4)}$ буде таким же, як і від ${\displaystyle \ K'}$ до ${\displaystyle \ K}$, і обернене перетворення буде відрізнятися від прямого з точністю до знака відносної швидкості ${\displaystyle \ u->-u}$. Тоді можна розглянути три ІСВ ${\displaystyle \ K_{1},K_{2},K_{3}}$, причому ${\displaystyle \ u_{K_{2},K_{1}}=u_{1},u_{K_{3},K_{2}}=u_{2}}$. Тоді ${\displaystyle \ (.4)}$ для перетворень між ІСВ прийме вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}=\gamma _{1}[x_{1}-u_{1}t_{1}]\\t_{2}=\gamma _{1}[t_{1}-\sigma _{1}x_{1}]\\\end{cases}}}$,

${\displaystyle {\begin{cases}x_{3}=\gamma _{2}[x_{2}-u_{2}t_{2}]=\gamma _{2}\left[\gamma _{1}(x_{1}-u_{1}t_{1})-u_{2}\gamma _{1}(t_{1}-\sigma _{1}x_{1})\right]=\gamma _{1}\gamma _{2}\left[x_{1}(1+u_{2}\sigma _{1})-t_{1}(u_{1}+u_{2})\right]=\gamma _{3}[x_{1}-u_{3}t_{1}]\\t_{3}=\gamma _{2}[t_{2}-\sigma _{2}x_{2}]=\gamma _{2}\left[\gamma _{1}(t_{1}-\sigma _{1}x_{1})-\sigma _{2}\gamma _{1}(x_{1}-u_{1}t_{1})\right]=\gamma _{2}\gamma _{1}\left[t_{1}(1+\sigma _{2}u_{1})+x_{1}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\right]=\gamma _{3}[t_{1}-\sigma _{3}x_{1}]\\\end{cases}}\qquad (.5)}$.

Тоді, якщо прирівняти у другому рівнянні ${\displaystyle \ (5)}$ ${\displaystyle \ \gamma _{3}}$ до ${\displaystyle \ \gamma _{2}\gamma _{1}[t_{1}(1+\sigma _{2}u_{1})]}$ та у першому рівнянні ${\displaystyle \ \gamma _{3}}$ до ${\displaystyle \ \gamma _{1}\gamma _{2}[(1+u_{2}\sigma _{1})]}$, то можна отримати, що

${\displaystyle \ 1+\sigma _{2}u_{1}=1+u_{2}\sigma _{1}\Rightarrow {\frac {\sigma _{1}}{u_{1}}}={\frac {\sigma _{2}}{u_{2}}}=\alpha =const}$.

Тоді, відповідно до принципа рівноправності ІСВ, можна записати, користуючись ${\displaystyle \ (4)}$:

${\displaystyle \ x=\gamma (-u)[x'+ut']=\gamma (-u)[\gamma (u)(x-ut)+\gamma (u)(t-\sigma (u)x)u]=\gamma (-u)\gamma (u)x(1-u\sigma (u))=}$

${\displaystyle \ =\gamma (-u)\gamma (u)x(1-\alpha u^{2})\Rightarrow \gamma (-u)\gamma (u)={\frac {1}{1-\alpha u^{2}}}\qquad (.6)}$.

Накінець, якщо ввести принцип ізотропії простору в ІСВ [3], то можна стверджувати, що при інверсіях системи координат ${\displaystyle \ (x->-x}$, ${\displaystyle \ x'->-x',u->-u)}$ перетворення ${\displaystyle \ (.4)}$ не змінять вигляду. Тоді

${\displaystyle \ -x'=\gamma (-u)(-x+ut)}$,

з чого видно, що при повторній інверсії цей вираз перейде у початковий (до першої інверсії) тільки за умови, що ${\displaystyle \ \gamma (u)}$ є парною функцією швидкості, тобто, справджується рівність ${\displaystyle \ \gamma (-u)=\gamma (u)}$. Тому, застосовуючи ${\displaystyle \ (.6)}$, можна буде отримати:

${\displaystyle \ \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha u^{2}}}}}$.

Очевидно, що ${\displaystyle \ \alpha }$ буде мати розмірність квадрату швидкості в -1 степені, а от знак цієї константи можна отримати лише експериментально. Експеримент же показує, що знак цієї константи додатній, а отже,

${\displaystyle \ \gamma (u)={\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

Тоді ${\displaystyle \ (.4)}$ приймуть вигляд

${\displaystyle \ x'={\frac {x-ut}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},\qquad t'={\frac {t-{\frac {ux}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (.7)}$,

тобто, вигляд одновимірних перетворень Лоренца для координат.

Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому ${\displaystyle \ \mathbf {u} =(u,0,0)}$, то вигляд ${\displaystyle \ (.0)}$ зміниться до

${\displaystyle \ x'=f(x,y,z,t),\quad y'=g(x,y,z,t),\quad z'=F(x,y,z,t),\quad t'=G(x,y,z,t)}$.

Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при збігові початку координат при початку відліку функції зв'язку координат ${\displaystyle \ g,F}$ при переході між ІСВ набудуть вигляду

${\displaystyle \ y'=A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}t,\quad z'=A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}t\qquad (.8)}$.

Нехай далі для першої рівності розглядається точка ${\displaystyle \ y'=0\Rightarrow y=0}$, а для другої - ${\displaystyle \ z'=0\Rightarrow z=0}$ (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності

${\displaystyle \ 0=A_{1}x+C_{1}z+D_{1}t,\quad 0=A_{2}x+B_{2}y+D_{2}t}$

повинні виконуватись для будь-яких ${\displaystyle \ x,y,z,t}$. Це означає, що

${\displaystyle \ A_{1}=C_{1}=D_{1}=A_{2}=B_{2}=D_{2}=0}$,

а отже, ${\displaystyle \ (.8)}$ набуде вигляду

${\displaystyle \ y'=Ky,\quad z'=Kz\Rightarrow y={\frac {1}{K}}y',\quad z={\frac {1}{K}}z'}$.

причому ${\displaystyle \ B_{1}=C_{2}}$ як наслідок рівноправності координат ${\displaystyle \ y,z}$ відносно умови ${\displaystyle \ \mathbf {u} =(u,0,0)}$.

Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна ${\displaystyle \ K}$ повинна бути рівна ${\displaystyle \ {\frac {1}{K}}}$, звідки ${\displaystyle \ K=+/-1}$. Обирається варіант ${\displaystyle \ K=1}$, оскільки при ${\displaystyle \ K=-1}$ формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії осей.

Отже, ${\displaystyle \ y'=y,\quad z'=z}$. Таким чином, при русі по осі ${\displaystyle \ O_{x}}$ компоненти ${\displaystyle \ y,z}$ не змішуються одна з одною, а також - з ${\displaystyle \ x,t}$, і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при ${\displaystyle \ y,z}$ у виразах для ${\displaystyle \ x',t'}$ рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов

${\displaystyle \ x'=\gamma (x-ut),\quad y'=z,\quad z'=z,\quad t'=\gamma \left(t-{\frac {ux}{c^{2}}}\right)\qquad (.9)}$.

У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:

${\displaystyle \ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{||}+\mathbf {r} _{\perp },\qquad \mathbf {r} _{\perp }'=\mathbf {r} _{\perp },\qquad \mathbf {r} _{||}'={\frac {\mathbf {r} _{||}-\mathbf {u} t}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},\qquad t'={\frac {t-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{||})}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

і

${\displaystyle \ t'={\frac {t-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma (t-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}})\qquad (.10)}$,

${\displaystyle \ \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{||}'=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{||}+{\frac {\mathbf {r} _{||}-\mathbf {u} t}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{||}+{\frac {\mathbf {r} _{||}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {\mathbf {u} t}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\left|\Gamma ={\frac {\gamma -1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}\right|=\mathbf {r} +\mathbf {r} _{||}(\gamma -1)-\gamma \mathbf {u} t=\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {r} _{||}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}-\gamma \mathbf {u} t=}$

${\displaystyle \ =\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}-\gamma \mathbf {u} t\qquad (.10)}$,

які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора.

З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини

${\displaystyle \ c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}=c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta x'^{2}}$,

яка називається інтервалом ${\displaystyle \ \Delta S}$ (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).

Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.

Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження «події» рівною ${\displaystyle \ U}$, можна записати вираз для інтервалу таким чином:

${\displaystyle \ dS^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=|dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=U^{2}dt^{2}|=dt^{2}(c^{2}-U^{2})=c^{2}dt^{2}(1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}})\geqslant 0}$,

тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу «події», який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).

Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.

Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності ${\displaystyle \ 3+1}$, причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.

Якщо продиференціювати вирази ${\displaystyle \ (.9)}$ та розділити перший вираз на останній, можна отримати

${\displaystyle \ {\frac {dx'}{dt'}}=v'_{x}={\frac {({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dt}{dt}}u){\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{({\frac {dx}{dt}}{\frac {u}{c^{2}}}-{\frac {dt}{dt}}){\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}={\frac {u-v_{x}}{1-{\frac {uv_{x}}{c^{2}}}}}\qquad (.11)}$,

${\displaystyle \ {\frac {dy',z'}{dt'}}=v'_{y,z}={\frac {{\frac {dy,z}{dt}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {dt}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}{\frac {u}{c^{2}}}}}={\frac {v_{y,z}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}}}}\qquad (.11)}$,

що є перетвореннями Лоренца для компонент швидкості.

Якщо продиференціювати вирази ${\displaystyle \ (.10)}$ та розділити другий вираз на перший, можна отримати

${\displaystyle \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}-\gamma \mathbf {u} }{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}})}}\qquad (.12)}$,

що є перетвореннями Лоренца для вектора швидкості.

З ${\displaystyle \ (.11)}$ напряму слідує інваріантність швидкості, що рівна ${\displaystyle \ c}$, відносно будь-якої ІСВ.  

Для доведення цього доцільно розглянути дві ІСВ ${\displaystyle \ A,A'}$, у яких тіло має швидкість ${\displaystyle \ {u_{0}}_{{u_{0}}_{x},{u_{0}}_{y},{u_{0}}_{z}},{u_{1}}_{{u_{1}}_{x},{u_{1}}_{y},{u_{1}}_{z}}}$ відповідно, причому вектор швидкостей, для спрощення, у обох випадках орієнтований по осі ${\displaystyle \ x}$. Тоді, відповідно до перетворень Лоренца, при переході до ІСВ ${\displaystyle \ A'}$, що рухається зі швидкістю ${\displaystyle \ u}$ відносно ІСВ ${\displaystyle \ A}$, компоненти швидкості змінюються таким чином:

${\displaystyle \ {u_{1}}_{x}={\frac {{u_{0}}_{x}-u}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}\qquad (.13)}$;

${\displaystyle \ {u_{1}}_{y}={\frac {{u_{0}}_{y}}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\qquad (.14)}$;

${\displaystyle \ {u_{1}}_{z}={\frac {{u_{0}}_{z}}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\qquad (.15)}$.

Оскільки

${\displaystyle \ u_{0}^{2}={u_{0}}_{x}^{2}+{u_{0}}_{y}^{2}+{u_{0}}_{z}^{2}=c^{2}}$,

${\displaystyle \ u_{1}^{2}={u_{1}}_{x}^{2}+{u_{1}}_{y}^{2}+{u_{1}}_{z}^{2}\qquad (.16)}$,

то, з урахуванням ${\displaystyle \ (.13)-(.15)}$ і початкових припущень, вираз ${\displaystyle \ (.16)}$ можна переписати:

${\displaystyle \ u_{1}^{2}={u_{1}}_{x}^{2}\Rightarrow u_{1}={u_{1}}_{x}={\frac {{u_{0}}_{x}-u}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}}$.

Тоді можна виразити швидкість ${\displaystyle \ u_{1}}$:

${\displaystyle \ u_{1}={\frac {{c^{2}(u_{0}}_{x}-u)}{c^{2}-{u_{0}}_{x}u}}={\frac {c^{2}(c-u)}{c(c-u)}}=c}$,

з чого видно, що швидкість ${\displaystyle \ c}$ інваріантна відносно будь-якої ІСВ.

Аналогічно можна отримати даний результат у більш загальному випадку для модуля вектора швидкості світла. Нехай у перетвореннях для вектора швидкості ${\displaystyle \ \mathbf {v} =\mathbf {c} }$. Тоді, взявши модуль від перетворення для вектора швидкості і об'єднавши, у отриманій підкореневій рівності, перший доданок з останнім, другий - з четвертим, а третій - з п'ятим, можна отримати

${\displaystyle \ |\mathbf {v} '|={\sqrt {(\mathbf {v} '\cdot \mathbf {v} ')}}={\frac {1}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}{\sqrt {\mathbf {v} ^{2}+2{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-2\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {\Gamma ^{2}}{c^{4}}}u^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-2{\frac {\Gamma \gamma }{c^{2}}}u^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+\gamma ^{2}u^{2}}}=}$

${\displaystyle \ =|\mathbf {u} =\mathbf {c} |={\frac {1}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}\right)}}{\sqrt {c^{2}\left(1+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-2\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )\left(1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )\left(2+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)}}=}$

${\displaystyle \ =\left|1+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma ^{2},\quad 2+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=1+\gamma ={\frac {1+\gamma }{\gamma ^{2}}}\gamma ^{2}={\frac {\gamma ^{2}}{\Gamma }},\quad 1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma \right|={\frac {\gamma }{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}\right)}}{\sqrt {c^{2}-2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )+{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )^{2}}}=}$

${\displaystyle \ =c{\frac {\sqrt {1-2{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{4}}}}}{1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}}}=c}$,

що й треба було довести.

Наступна аксіома — принцип причинності [4], який накладає умови на максимальність швидкості розповсюдження взаємодії. Нехай подія, що відбулася в т. ${\displaystyle \ x_{2}}$, є наслідком події, що відбулася в т. ${\displaystyle \ x_{1}}$, швидкість розповсюдження взаємодії даної події є ${\displaystyle \ U}$. Тоді, в ІСВ K,

${\displaystyle \ {\frac {x_{2}-x_{1}}{U}}=t_{2}-t_{1}\Rightarrow x_{2}-x_{1}=(t_{2}-t_{1})U\qquad (.17)}$.

Якщо ж записати для ІСВ К' ${\displaystyle \ (.9)}$, то, з урахуванням принципа причинності, можна буде отримати:

${\displaystyle \ t_{2}'-t_{1}'={\frac {t_{2}-t_{1}-{\frac {u}{c^{2}}}(x_{2}-x_{1})}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=|(.17)|={\frac {(t_{2}-t_{1})(1-{\frac {uU}{c^{2}}})}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\geqslant 0\Rightarrow 1-{\frac {uU}{c^{2}}}\geqslant 0\Rightarrow U\leqslant c}$,