Z-преобразование

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение

[править | править код]

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.

Двустороннее Z-преобразование

[править | править код]

Двустороннее Z-преобразование дискретного временного сигнала задаётся как:

где  — целое,  — комплексное число.

где  — амплитуда, а  — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

[править | править код]

В случаях, когда определена только для , одностороннее Z-преобразование задаётся как:

Обратное Z-преобразование

[править | править код]

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

где  — контур, охватывающий область сходимости . Контур должен содержать все вычеты .

Положив в предыдущей формуле , получим эквивалентное определение:

Область сходимости

[править | править код]

Область сходимости представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

Пример 1 (без области сходимости)

[править | править код]

Пусть . Раскрывая на интервале , получаем

Смотрим на сумму:

Поэтому, не существует таких значений , которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Связь с преобразованием Лапласа

[править | править код]

Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:

Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:

Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.

Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной , переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Таблица некоторых Z-преобразований

[править | править код]

Обозначения:

  •  — функция Хевисайда.
  • для , и  для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
Сигнал, Z-преобразование, Область сходимости
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11