Интуитивная анимация, показывающая, как функции Грина, решающие дифференциальное уравнение с точечным источником, могут быть наложены друг на друга для решения его с произвольным источником. Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи ). Названа в честь английского математика Джорджа Грина , который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.
Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона ; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики , где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.
В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля ). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография , расчёты электронных спектров металлических материалов).
Функция Грина G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} линейного дифференциального оператора L = L ( x ) {\displaystyle L=L(x)} , действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} в точке s {\displaystyle s} , — это любое решение уравнения
L G ( x , s ) = δ ( x − s ) {\displaystyle L~G(x,s)=\delta (x-s)} , где δ {\displaystyle \ \delta } — это дельта-функция Дирака . Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида
L u ( x ) = f ( x ) {\displaystyle L~u(x)=f(x)} , Функция Грина — это обратный оператор к L {\displaystyle L} , поэтому её нередко символически обозначают как L − 1 {\displaystyle L^{-1}} .
Если ядро оператора L {\displaystyle L} нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция , то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.
Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний . В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:
L G ( x , s ) = − δ ( x − s ) {\displaystyle L~G(x,s)=-\delta (x-s)} , что не меняет существенно её свойства.
Если оператор трансляционно инвариантен , то есть если L {\displaystyle L} имеет постоянные коэффициенты по отношению к x {\displaystyle x} , то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора
G ( x , s ) = G ( x − s ) {\displaystyle G(x,s)=G(x-s)} . В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем .
Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид L f = κ h {\displaystyle Lf=\kappa h} , функция Грина g ( x , s ) {\displaystyle g(x,s)} также определяется с учётом этого коэффициента, то есть в этом случае она по определению является решением уравнения
L f 1 ( x ) = κ δ ( x − s ) {\displaystyle Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (x-s)} . В этом случае решение исходного неоднородного уравнения L f = κ h {\displaystyle Lf=\kappa h} с произвольной функцией h {\displaystyle h} в правой части записывается как
f ( x ) = ∫ κ h ( s ) g ( x , s ) d s {\displaystyle f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}} . Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай) [ править | править код ] Пусть L {\displaystyle L} — оператор Штурма — Лиувилля , линейный дифференциальный оператор вида:
L = d d x [ p ( x ) d d x ] − q ( x ) {\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)} , и пусть D {\displaystyle D} — оператор краевых условий:
D u = ( α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( l ) + β 2 u ( l ) . ) {\displaystyle Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}} Пусть f ( x ) {\displaystyle f(x)} — непрерывная функция на промежутке [ 0 , l ] {\displaystyle [0,\;l]} . Предположим также, что задача
L u = f , D u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}} регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.
Тогда существует единственное решение u ( x ) {\displaystyle u(x)} , удовлетворяющее системе
L u = f , D u = 0 , {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}} , которое задаётся выражением
u ( x ) = ∫ 0 l f ( s ) g ( x , s ) d s {\displaystyle u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds} , где g ( x , s ) {\displaystyle g(x,\;s)} — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):
g ( x , s ) {\displaystyle g(x,\;s)} непрерывна по x {\displaystyle x} и s {\displaystyle s} . Для x ≠ s {\displaystyle x\neq s} , L g ( x , s ) = 0 {\displaystyle Lg(x,\;s)=0} . Для s ≠ 0 , l {\displaystyle s\neq 0,\;l} , D g ( x , s ) = 0 {\displaystyle Dg(x,\;s)=0} . Скачок производной: g ′ ( s + 0 , s ) − g ′ ( s − 0 , s ) = 1 / p ( s ) {\displaystyle g^{\prime }(s_{+0},\;s)-g^{\prime }(s_{-0},\;s)=1/p(s)} . Симметрична: g ( x , s ) = g ( s , x ) {\displaystyle g(x,\;s)=g(s,\;x)} . В виде ряда через собственные функции оператора [ править | править код ] Если множество собственных векторов (собственных функций ) Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} дифференциального оператора L {\displaystyle L\ }
(то есть набор таких функций Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)} , что для каждой найдётся число λ n ≠ 0 {\displaystyle \lambda _{n}\neq 0} , что L Ψ n = λ n Ψ n {\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}} )
полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} и собственных значений λ n {\displaystyle \lambda _{n}} .
Под полнотой системы функций Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)} подразумевается выполнение соотношения
δ ( x − x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n ( x ) Ψ ¯ n ( x ′ ) {\displaystyle \delta (x-x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })} . Можно показать, что
G ( x , x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n ( x ) Ψ ¯ n ( x ′ ) λ n {\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n}}}} . Действительно, подействовав оператором L {\displaystyle L} на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).
(Чертой сверху, Ψ ¯ {\displaystyle {\overline {\Psi }}} , обозначено комплексное сопряжение ; если Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} — вещественные функции , его можно не делать).
Уравнение теплопроводности , уравнение Шрёдингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных :
H ψ ( x , β ) = − ∂ ψ ( x , β ) ∂ β {\displaystyle H\psi (x,\beta )=-{\frac {\partial \psi (x,\beta )}{\partial \beta }}}
(1)
где H {\displaystyle H} — эрмитов оператор , x = f x 1 , x 2 , . . . , x n g {\displaystyle x={\mathcal {f}}x_{1},x_{2},...,x_{n}{\mathcal {g}}} - пространственные координаты
для уравнения теплопроводности Δ T = c k ∂ T ∂ t {\displaystyle \Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}} T {\displaystyle T} — температура, β = k c t {\displaystyle \beta ={\frac {k}{c}}t} .
для уравнения Шрёдингера H ψ = − ℏ i ∂ ψ ∂ t {\displaystyle H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}} ψ {\displaystyle \psi } — волновая функция , β = ℏ i 2 m t {\displaystyle \beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t} .
для уравнения диффузии ∇ 2 ψ = 1 λ ∂ ψ ∂ t {\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}} ψ {\displaystyle \psi } — концентрация вещества, β = λ t {\displaystyle \beta =\lambda t} .
Собственные функции φ m {\displaystyle \varphi _{m}} оператора H {\displaystyle H} образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению
H φ m = λ m φ m {\displaystyle H\varphi _{m}=\lambda _{m}\varphi _{m}} . Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:
ψ ( x , β ) = ∑ m = 0 ∞ A m ( β ) φ m ( x ) {\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )\varphi _{m}(x)}
(2)
Подставляя в уравнение (1) предполагаемую форму решения, получаем:
H ψ = ∑ m = 0 ∞ A m ( β ) H φ m ( x ) = − ∑ m = 0 ∞ φ m ( x ) ∂ ∂ β A m ( β ) {\displaystyle H\psi =\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )H\varphi _{m}(x)=-\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )} . Таким образом:
∑ m = 0 ∞ [ λ m A m ( β ) + ∂ ∂ β A m ( β ) ] φ m ( x ) = 0 {\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }[\lambda _{m}A_{m}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )]\varphi _{m}(x)=0} . Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:
− λ m A m ( β ) = ∂ A m ( β ) ∂ β {\displaystyle -\lambda _{m}A_{m}(\beta )={\frac {\partial A_{m}(\beta )}{\partial \beta }}} , откуда
A m ( β ) = A m ( 0 ) e − λ m β {\displaystyle A_{m}(\beta )=A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }} . Следовательно, решение исходного уравнения (1) можно представить в виде:
ψ ( x , β ) = ∑ m = 0 ∞ A m ( 0 ) e − λ m β φ m ( x ) {\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }\varphi _{m}(x)} . Считая ряд (2) равномерно сходящимся, можно найти, что:
A m ( β ) = ∫ φ m ∗ ( x ) ψ ( x , β ) d τ {\displaystyle A_{m}(\beta )=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,\beta )d\tau } , где d τ = d x 1 d x 2 . . . d x n {\displaystyle d\tau =dx_{1}dx_{2}...dx_{n}} — элемент объёма.
Из этой формулы следует:
A m ( 0 ) = ∫ φ m ∗ ( x ) ψ ( x , 0 ) d τ {\displaystyle A_{m}(0)=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,0)d\tau } Итак, если задано начальное состояние, то
ψ ( x , β ) = ∑ m = 0 ∞ ∫ ψ ( x ′ , 0 ) φ m ∗ ( x ′ ) φ m ( x ) e − λ m β d τ ′ {\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }\int \psi (x',0)\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }d\tau '} Это уравнение можно представить в более удобной форме:
ψ ( x , β ) = ∫ ⟨ x | G ( β ) | x ′ ⟩ ψ ( x ′ , 0 ) d τ ′ {\displaystyle \psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '} , где:
⟨ x | G ( β ) | x ′ ⟩ = ∑ m = 0 ∞ φ m ∗ ( x ′ ) φ m ( x ) e − λ m β {\displaystyle \langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }} . Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).
Функция Грина для лапласиана может быть получена из теоремы Грина .
Для получения теоремы Грина начнём с закона Гаусса :
∫ V ∇ ⋅ A ^ d V = ∫ S A ^ ⋅ d σ ^ {\displaystyle \int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat {A}}\ dV=\int \limits _{S}{\hat {A}}\cdot d{\hat {\sigma }}} . Примем A = φ ∇ ψ − ψ ∇ φ {\displaystyle A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi } и подставим в закон Гаусса. Вычислим ∇ ⋅ A ^ {\displaystyle \nabla \cdot {\hat {A}}} и применим цепное правило для оператора ∇ {\displaystyle \nabla } :
∇ ⋅ A ^ = ∇ ⋅ ( φ ∇ ψ − ψ ∇ φ ) = {\displaystyle \nabla \cdot {\hat {A}}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=} = ( ∇ φ ) ⋅ ( ∇ ψ ) + φ ∇ 2 ψ − ( ∇ φ ) ⋅ ( ∇ ψ ) − ψ ∇ 2 φ = φ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 φ {\displaystyle =(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2}\varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi } . Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:
∫ V ( φ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 φ ) d V = ∫ S ( φ ∇ ψ − ψ ∇ φ ) ⋅ d σ ^ {\displaystyle \int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat {\sigma }}} . Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор L {\displaystyle L} Лапласиан , ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} , и то, что у нас имеется для него функция Грина G {\displaystyle G} . Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:
L G ( x , x ′ ) = ∇ 2 G ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })} . Положим ψ = G {\displaystyle \psi =G} в теореме Грина. Тогда получим:
∫ V ( φ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ 2 φ ( x ′ ) ) d 3 x ′ = {\displaystyle \int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=} = ∫ S ( φ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ φ ( x ′ ) ) ⋅ d σ ^ ′ {\displaystyle =\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }} . Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа ( ∇ 2 φ ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi (x)=0} ) и уравнение Пуассона ( ∇ 2 φ ( x ) = − 4 π ρ ( x ) {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)} ) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} всюду внутри заданной области, если (1) значение φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} задано на границе этой области (граничные условия Дирихле ), или (2) нормальная производная φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} задана на границе этой области (граничные условия Неймана).
Пусть нас интересует решение φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} внутри области. В этом случае интеграл ∫ V φ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) d 3 x ′ {\displaystyle \int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }} упрощается до φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} в силу основного свойства дельта-функции , и мы имеем:
φ ( x ) = ∫ V G ( x , x ′ ) ρ ( x ′ ) d 3 x ′ + ∫ S ( φ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ φ ( x ′ ) ) ⋅ d σ ^ ′ {\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }} . Эта формула выражает известное свойство гармонических функций , состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.
В электростатике φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} понимается как электростатический потенциал , ρ ( x ) {\displaystyle \rho (x)} как плотность электрического заряда , а нормальная производная ∇ φ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ {\displaystyle \nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }} как нормальная составляющая электрического поля.
При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде G ( x , x ′ ) {\displaystyle G(x,\;x^{\prime })} . Эта функция обращается в нуль, когда x {\displaystyle x} или x ′ {\displaystyle x^{\prime }} находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.
При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:
G ( x ^ , x ^ ′ ) = 1 | x ^ − x ^ ′ | {\displaystyle G({\hat {x}},\;{\hat {x}}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}} . Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда .
φ ( x ) = ∫ V ρ ( x ′ ) | x ^ − x ^ ′ | d 3 x ′ {\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}\ d^{3}x^{\prime }} . (Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай) , причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).
Дана задача
L u = u ′ ′ + u = f ( x ) {\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u^{\prime \prime }+u=f(x)} ; u ( 0 ) = 0 , u ( π 2 ) = 0 {\displaystyle u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0} . Найти функцию Грина.
Первый шаг: Функция Грина g ( x , s ) {\displaystyle g(x,s)} в данном случае по определению должна быть решением уравнения
g ′ ′ + g = δ ( x − s ) {\displaystyle g^{\prime \prime }+g=\delta (x-s)}
(3)
где двумя штрихами обозначена вторая производная по x {\displaystyle x} .
Для x ≠ s {\displaystyle x\neq s} , где δ {\displaystyle \delta } -функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):
g ′ ′ + g = 0 {\displaystyle g^{\prime \prime }+g=0} , то есть для всех точек, кроме s {\displaystyle s} , функция Грина будет решением такого однородного уравнения.
Общее решение такого уравнения
g = A cos x + B sin x {\displaystyle g=A\cos x+B\sin x} , где A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} — константы (не зависят от x {\displaystyle x} ).
Таким образом, g ( x , s ) {\displaystyle g(x,s)} должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки s {\displaystyle s} , причём слева и справа от неё коэффициенты A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} могут (и будут) иметь разное значение.
Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.
Из левого граничного условия: u ( 0 ) = 0 {\displaystyle u(0)=0} — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для x < s {\displaystyle x<s} коэффициент A {\displaystyle A} общего решения должен быть нулём, то есть для x < s {\displaystyle x<s}
g ( x , s ) = B ⋅ sin x {\displaystyle g(x,\;s)=B\cdot \sin x} . Точно так же из правого граничного условия: u ( π 2 ) = 0 {\displaystyle u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0} — получаем равенство нулю коэффициента B {\displaystyle B} , то есть для x > s {\displaystyle x>s}
g ( x , s ) = A ⋅ cos x {\displaystyle g(x,\;s)=A\cdot \cos x} . В итоге, учитывая, что коэффициенты A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} вообще говоря могут зависеть от s {\displaystyle s} , можем записать:
g ( x , s ) = { B ( s ) sin x , x < s A ( s ) cos x , s < x {\displaystyle g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.} Второй шаг:
Нужно определить A ( s ) {\displaystyle A(s)} и B ( s ) {\displaystyle B(s)} .
Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения x < s {\displaystyle x<s} и x > s {\displaystyle x>s} :
B ( s ) sin s = A ( s ) cos s {\displaystyle B(s)\sin s=A(s)\cos s} . Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от x = s − ε {\displaystyle x=s-\varepsilon } до x = s + ε {\displaystyle x=s+\varepsilon } получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:
g ′ ( s + 0 , s ) − g ′ ( s − 0 , s ) = − A ( s ) ⋅ sin s − B ( s ) ⋅ cos s = 1 {\displaystyle g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=-A(s)\cdot \sin s-B(s)\cdot \cos s=1} .
Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что
A ( s ) = − sin s ; B ( s ) = − cos s {\displaystyle A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s} .
Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.
Тогда функция Грина задачи:
g ( x , s ) = { − 1 ⋅ cos s ⋅ sin x , x < s − 1 ⋅ sin s ⋅ cos x , s < x {\displaystyle g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.} , что можно записать как
g ( x , s ) = 1 2 ( sin | x − s | − sin ( x + s ) ) . {\displaystyle g(x,\;s)={\frac {1}{2}}\left(\sin \left|x-s\right|-\sin(x+s)\right).} В данной таблице представлены функции Грина для часто встречающихся дифференциальных операторов, где r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} , ρ = x 2 + y 2 {\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} , Θ ( t ) {\displaystyle \textstyle \Theta (t)} — функция Хевисайда , J ν ( z ) {\displaystyle \textstyle J_{\nu }(z)} — функция Бесселя , I ν ( z ) {\displaystyle \textstyle I_{\nu }(z)} — модифицированная функция Бесселя первого рода и K ν ( z ) {\displaystyle \textstyle K_{\nu }(z)} — модифицированная функция Бесселя второго рода .[2] Где время (t ) появляется в первой колонке и показаны причинные функции Грина G A {\displaystyle G^{A}} .
Дифференциальный оператор L Функция Грина G Пример применения ∂ t n + 1 {\displaystyle \partial _{t}^{n+1}} t n n ! Θ ( t ) {\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)} ∂ t + γ {\displaystyle \partial _{t}+\gamma } Θ ( t ) e − γ t {\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}} ( ∂ t + γ ) 2 {\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}} Θ ( t ) t e − γ t {\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t}} ∂ t 2 + 2 γ ∂ t + ω 0 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}} Θ ( t ) e − γ t sin ( ω t ) ω {\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}} , ω = ω 0 2 − γ 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} Гармонический осциллятор Δ 2D = ∂ x 2 + ∂ y 2 {\displaystyle \Delta _{\text{2D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}} 1 2 π ln ρ {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho } , ρ = x 2 + y 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} Уравнение Пуассона Δ 3D = ∂ x 2 + ∂ y 2 + ∂ z 2 {\displaystyle \Delta _{\text{3D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}} − 1 4 π r {\displaystyle {\frac {-1}{4\pi r}}} , r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} Уравнение Пуассона Δ 3D + k 2 {\displaystyle \Delta _{\text{3D}}+k^{2}} − e − i k r 4 π r = i k 32 π r {\displaystyle {\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}} H 1 / 2 ( 2 ) ( k r ) {\displaystyle H_{1/2}^{(2)}(kr)} = i k 4 π {\displaystyle =i{\frac {k}{4\pi }}\,} h 0 ( 2 ) ( k r ) {\displaystyle h_{0}^{(2)}(kr)} стационарное 3D уравнение Шрёдингера для свободной частицы Δ − k 2 {\displaystyle \Delta -k^{2}} в пространстве с n {\displaystyle n} измерениями − ( 2 π ) − n / 2 ( k r ) n / 2 − 1 K n / 2 − 1 ( k r ) {\displaystyle -(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)} Потенциал Юкавы , Пропагатор ∂ t 2 − c 2 ∂ x 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}} 1 2 c Θ ( t − | x / c | ) {\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)} 1D волновое уравнение ∂ t 2 − c 2 Δ 2D {\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}} 1 2 π c c 2 t 2 − ρ 2 Θ ( t − ρ / c ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)} 2D волновое уравнение ◻ = 1 c 2 ∂ t 2 − Δ 3D {\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}} δ ( t − r c ) 4 π r {\displaystyle {\frac {\delta (t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}} 3D волновое уравнение ∂ t − k ∂ x 2 {\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}} Θ ( t ) ( 1 4 π k t ) 1 / 2 e − x 2 / 4 k t {\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}} 1D уравнение диффузии ∂ t − k Δ 2D {\displaystyle \partial _{t}-k\Delta _{\text{2D}}} Θ ( t ) ( 1 4 π k t ) e − ρ 2 / 4 k t {\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}} 2D уравнение диффузии ∂ t − k Δ 3D {\displaystyle \partial _{t}-k\Delta _{\text{3D}}} Θ ( t ) ( 1 4 π k t ) 3 / 2 e − r 2 / 4 k t {\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}} 3D уравнение диффузии 1 c 2 ∂ t 2 − ∂ x 2 + μ 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}} 1 2 [ ( 1 − sin μ c t ) ( δ ( c t − x ) + δ ( c t + x ) ) + μ Θ ( c t − | x | ) J 0 ( μ u ) ] , u = c 2 t 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}} 1D уравнение Клейна — Гордона 1 c 2 ∂ t 2 − Δ 2D + μ 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}} 1 4 π [ ( 1 + cos ( μ c t ) ) δ ( c t − ρ ) ρ + μ 2 Θ ( c t − ρ ) sinc ( μ u ) ] , u = c 2 t 2 − ρ 2 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}} 2D уравнение Клейна — Гордона ◻ + μ 2 {\displaystyle \square +\mu ^{2}} 1 4 π [ δ ( t − r c ) r + μ c Θ ( c t − r ) J 1 ( μ u ) u ] , u = c 2 t 2 − r 2 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}} 3D уравнение Клейна — Гордона ∂ t 2 + 2 γ ∂ t − c 2 ∂ x 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}} 1 2 e − γ t [ δ ( c t − x ) + δ ( c t + x ) + Θ ( c t − | x | ) ( γ c I 0 ( γ u c ) + γ t u I 1 ( γ u c ) ) ] , u = c 2 t 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}} телеграфное уравнение ∂ t 2 + 2 γ ∂ t − c 2 Δ 2D {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}} e − γ t 4 π [ ( 1 + e − γ t + 3 γ t ) δ ( c t − ρ ) ρ + Θ ( c t − ρ ) ( γ sinh ( γ u c ) c u + 3 γ t cosh ( γ u c ) u 2 − 3 c t sinh ( γ u c ) u 3 ) ] , u = c 2 t 2 − ρ 2 {\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}} 2D релятивистское уравнение теплопроводности ∂ t 2 + 2 γ ∂ t − c 2 Δ 3D {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D}}} e − γ t 20 π [ ( 8 − 3 e − γ t + 2 γ t + 4 γ 2 t 2 ) δ ( c t − r ) r 2 + γ 2 c Θ ( c t − r ) ( 1 c u I 1 ( γ u c ) + 4 t u 2 I 2 ( γ u c ) ) ] , u = c 2 t 2 − r 2 {\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}} 3D релятивистское уравнение теплопроводности
Пусть дано множество R {\displaystyle \mathbb {R} } и оператор L {\displaystyle \ L} равен d / d x {\displaystyle \ d/dx} . Тогда функция Хевисайда H ( x − x 0 ) {\displaystyle \ H(x-x_{0})} является функцией Грина для L {\displaystyle \ L} при x 0 {\displaystyle \ x_{0}} . Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости ( x , y ) : x , y ⩾ 0 {\displaystyle {(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}} и L {\displaystyle \ L} — оператор Лапласа. Также предположим, что при x = 0 {\displaystyle \ x=0} наложены краевые условия Дирихле, при y = 0 {\displaystyle \ y=0} — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид G ( x , y , x 0 , y 0 ) = 1 2 π [ ln ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 − ln ( x + x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] + {\displaystyle G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]+} + 1 2 π [ ln ( x − x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 − ln ( x + x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 ] . {\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].} ↑ Ли Цзун-дао Математические методы в физике. - М.: Мир, 1965. - c. 200 ↑ Некоторые примеры взяты из книги Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (German) Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.) A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 Виды уравнений Типы уравнений Краевые условия Уравнения математической физики
Методы решения Сеточные методы
Конечноэлементные методы Другие методы
Не сеточные методы
Исследование уравнений Связанные темы