Ориентация

	В Викисловаре есть статья «ориентация»

Ориента́ция (от фр. orientation, буквально направление на восток^[1][2][3], от лат. oriens — восток^[1][3])^[4] — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические объекты, многообразия, векторные расслоения и так далее^[5][2][6][3].

В классическом понимании ориентация пространства — это выбор одного из классов систем координат пространства, причём^[5]:

• системы координат одного класса положительно связаны между собой;
• каждая система координат задает некоторую ориентацию, тем самым определяя свой класс.

В элементарной математике ориентация часто описывается через направления по часовой стрелке и против часовой стрелки. Более продвинутые определения даются через теорию когомологий^[5].

На прямой точка может двигаться в двух противоположных направлениях. Например, если прямая ${\displaystyle AB}$ расположена горизонтально (см. рисунок справа с горизонтальной прямой), то на ней возможны два движения в противоположных направлениях^[2][6][3]:

• слева направо,
• справа налево.

Ориентированная прямая, или направленная прямая, или ось — прямая вместе с фиксированным направлением на ней^[2][6][3].

Две ориентированные прямые параллельны, если их направления совпадают^[7].

Линейный элемент — пара геометрических образов: точка и направленная прямая, проходящая через эту точку^[8][9]. Другими словами, линейный элемент — это точка и направление, заданное в этой точке. Бесконечно удалённый линейный элемент — пара геометрических образов: бесконечно удалённая точка плоскости и направление, которое определяется любой направленной прямой (параллельные прямые задают одно направление)^[9].

Окружности, точки и прямые в касательной аналлагматической геометрии понимаются следующим образом^[9]:

• направленной окружностью называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой окружности и касательной прямой к окружности в этой точке, причем направление линейного элемента совпадает с направлением окружности;
• точкой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых имеет в своём составе эту точку;
• направленной прямой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой прямой и направлением прямой.

На следующем рисунке показаны направленная окружность, точка и направленная прямая, задаваемые линейными элементами.

• Геометрические образы, определяемые линейными элементами
• 
  Направленная окружность
• 
  Точка
• 
  Направленная прямая

Рассмотрим прямую с уравнением ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ где ${\displaystyle C\neq 0}$, то есть прямая не проходит через начало координат ${\displaystyle O}$, и произвольную точку ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$. Тогда расстояние от точки до прямой равно следующему выражению^[10]:

${\displaystyle d=|\delta |=\left|{\frac {Ax_{0}+By_{0}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right|.}$

Возможны три случая^[10]:

• знаки чисел ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle C}$ одинаковы. В этом случае точки ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle O}$ находятся по одну сторону от данной прямой;
• знаки чисел ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle C}$ противоположны. В этом случае точки ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle O}$ находятся по разные стороны от данной прямой;
• ${\displaystyle \delta =0}$, то есть ${\displaystyle Ax_{0}+By_{0}+C=0}$. В этом случае точка ${\displaystyle M_{0}}$ принадлежит данной прямой.

Ориентированное расстояние от точки до прямой — число

${\displaystyle \delta ={\frac {Ax_{0}+By_{0}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}$

полученное из координат точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$ и прямой ${\displaystyle Ax+By+C=0}$, ${\displaystyle C\neq 0}$^[10].

Вектор — ориентированный, или направленный, отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек начало, а какая — конец^[11].

Вектор с началом в точке ${\displaystyle A}$ и концом в точке ${\displaystyle B}$ принято обозначать как ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например ${\displaystyle {\vec {a}}}$. Другой распространённый способ записи: написание символа вектора прямым жирным шрифтом: ${\displaystyle \mathbf {a} }$^[11].

На ориентированной прямой любой отрезок характеризуется не только своей абсолютной величиной (модулем) как скаляром, но ещё и знаком^[12].

Ориентированный, или направленный, отрезок как скаляр — число, равное модулю отрезка со знаком плюс, если направление отрезка как вектора совпадает с направлением прямой, на которой он лежит, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Направленные отрезки обозначаются чертой над обозначением обычного отрезка^[12]:

• ${\displaystyle AB}$ — обычный (ненаправленный) отрезок;
• ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ — направленный отрезок.

Например, на рисунке справа с направленной прямой направленный отрезок ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ положителен, ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ — отрицателен^[12].

Предложение 1. Простые отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ не различаются, но при этом направленные отрезки противоположны^[12]:

${\displaystyle {\overline {AB}}=-{\overline {BA}}}$.

Предложение 2. Произведение и отношение двух направленных отрезков на одной прямой не зависят от направления на прямой^[12].

Доказательство. Пусть ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ — два простых отрезка одной прямой. Тогда независимо от направления прямой произведение ${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}}$ и отношение ${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {CD}}}}$^[12]:

• положительны, если направления отрезков ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ как векторов совпадают;
• отрицательны, если направления отрезков ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ как векторов противоположны.

Порядок величин чисел на вещественном отрезке ${\displaystyle [a,\,b]}$ порождает соответствующий естественный порядок точек на кривой ${\displaystyle \gamma =\{r(t);\,a\leqslant t\leqslant b\}}$ при помощи механизма фиксированного представления кривой ${\displaystyle r(t)}$. Точка ${\displaystyle r(t_{1})\in \gamma }$ предшествует точке ${\displaystyle r(t_{2})\in \gamma }$ (другими словами, точка ${\displaystyle r(t_{2})}$ следует за точкой ${\displaystyle r(t_{1})}$), когда ${\displaystyle a\leqslant r(t_{1})<r(t_{2})\leqslant b}$. Для сохранения порядка точек при других представлениях кривой необходимо использовать только строго монотонно возрастающие преобразования параметра^[13].

Ориентированная кривая (или ориентация на кривой) — кривая ${\displaystyle \gamma }$ в пространстве, которая задана классом эквивалентности таких непрерывных отображений вещественных отрезков в пространство, для которых допустимы только те преобразования параметров, которые суть строго монотонно возрастающие непрерывные функции^[13]. Простыми словами, ориентированная, или направленная, кривая — кривая вместе с фиксированным направлением на ней^[2][6][3].

Кривая, ориентированная противоположно кривой, — кривая ${\displaystyle -\gamma }$ в пространстве, которая задана при помощи механизма фиксированного представления кривой ${\displaystyle r(t(\tau ))}$, ${\displaystyle \alpha \leqslant \tau \leqslant \beta }$, где ${\displaystyle \gamma =\{r(t);\,a\leqslant t\leqslant b\}}$ — данная ориентированная кривая, а ${\displaystyle t=t(\tau )}$ — строго монотонно убывающая непрерывная на ${\displaystyle [\alpha ,\,\beta ]}$ функция с условиями ${\displaystyle t(\alpha )=b}$, ${\displaystyle t(\beta )=a}$^[14].

Аналогично определяются ориентированные и противоположно ориентированные кривые других классов (дифференцируемые, непрерывно дифференцируемые и так далее)^[15].

Точки, соответствующие друг другу — две точки

${\displaystyle r(t_{0})\in \gamma ,\quad }$ ${\displaystyle r(t(\tau _{0}))\in -\gamma ,}$

где ${\displaystyle \tau _{0}\in [\alpha ,\,\beta ]}$, ${\displaystyle t_{0}=t(\tau _{0})}$, а ${\displaystyle t=t(\tau )}$ — строго монотонно убывающая непрерывная на ${\displaystyle [\alpha ,\,\beta ]}$ функция с условиями ${\displaystyle t(\alpha )=b}$, ${\displaystyle t(\beta )=a}$^[15].

Термин «противоположно ориентированная кривая» оправдывается следующим утверждением^[16].

Предложение 1. Некоторая точка данной кривой ${\displaystyle \gamma }$ предшествует некоторой другой точке этой же кривой ${\displaystyle \gamma }$ тогда и только тогда, когда точка противоположно ориентированной кривой ${\displaystyle -\gamma }$, соответствующая первой точке, следует за точкой кривой ${\displaystyle -\gamma }$, соответствующей второй точке^[15].

Предложение 2. Пусть ${\displaystyle r(t)}$, ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$ — представление кривой ${\displaystyle \gamma }$. Тогда ${\displaystyle r(a+b-\tau )}$, ${\displaystyle a\leqslant \tau \leqslant b}$ — представление противоположно ориентированной кривой ${\displaystyle -\gamma }$^[15].

Доказательство. Предложение есть следствие того, что функция ${\displaystyle t=a+b-\tau }$, ${\displaystyle a\leqslant \tau \leqslant b}$, строго монотонно убывает и при этом отображает отрезок ${\displaystyle [a,\,b]}$ на себя^[15]. □

Замечание. Кривая всегда ограничена, то есть принадлежит некоторому шару. Для описания «неограниченных кривых» вводят класс '[открытых кривых при помощи вышеописанного механизма фиксированного представления кривой, основанного на непрерывном представлении не отрезка, а вещественного интервала. Открытые кривые могут быть и неограниченными^[17].

Аналогично ориентации прямой любая замкнутая кривая ориентируема двумя способами^[2][6][3]:

• против часовой стрелки;
• по часовой стрелке.

На рисунке справа показаны две ориентированные окружности: окружность слева ориентирована против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке^[2][6][3].

Ориентированная, или направленная, окружность, или цикл, — окружность, для которой окончательно выбрано одно из двух направлений^[18].

Две ориентированные окружности касаются, если их направления в общей точке совпадают. Ориентированная окружность и ориентированная прямая касаются, если их направления в общей точке совпадают^[7].

На следующем рисунке показаны:

• касающиеся ориентированные окружности;
• не касающиеся ориентированные окружности, которые касаются как обычные окружности.

• Касание направленных окружностей
• 
  Касающиеся ориентированные окружности
• 
  Не касающиеся ориентированные окружности, касающиеся как обычные окружности

Рассмотрим произвольный многоугольник (не обязательно на плоскости), то есть замкнутую ломаную линию^[19][20][21].

Ориентированный многоугольник, или замкнутый многоугольный путь, — многоугольник (возможно, самопересекающийся, то есть ломаная линия самопересекается), у которого (см. рисунок справа с выпуклым многоугольником)^[19][20][21]:

• на каждой стороне задано направление, то есть одна из вершин стороны выбрана начальной, а другая — конечной;
• начало каждой стороны есть конец предыдущей.

Ориентация площади простого многоугольника — площадь области плоскости, ограниченной ориентированным простым (то есть не самопересекающимся) плоским многоугольником, назначается положительной^[4], если обход многоугольника по направлению его сторон происходит против часовой стрелки, то есть эта область плоскости остаётся слева при обходе, и отрицательной в противоположном случае (см. рисунок справа с отрицательной ориентацией площади)^[19][20][21].

Определим площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника, который делит плоскость на фиксированное количество кусков двух типов^[19][20]:

• внутренние связные конечные куски,
• внешний бесконечный кусок.

Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника — разность ${\displaystyle p-q}$, где числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ получаются следующим образом^[19][20]:

• точка внешнего куска многоугольника соединяется отрезком с внутренней точкой выбранного внутреннего куска;
• направленный многоугольник пересекает этот отрезок ${\displaystyle p}$ раз слева направо и ${\displaystyle q}$ справа налево.

Предложение 1. Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулю^[19][20].

Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника — взвешенная сумма обычных площадей всех внутренних кусков самопересекающегося многоугольника, в которой обычная площадь куска умножается на его коэффициент^[19][20].

• Геометрические образы, определяемые линейными элементами
• 
  Ориентированная площадь ${\displaystyle -2}$
• 
  Ориентированная площадь ${\displaystyle 0}$
• 
  Ориентированная площадь ${\displaystyle +9}$

Практическое применение. Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника важна для теории математических приборов^[англ.], в частности, для теории планиметра. В этом случае площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника равна следующим величинам:

• ${\displaystyle \oint {\frac {\rho ^{2}dw}{2}}}$ в полярных координатах ${\displaystyle (\rho ,w)}$;
• ${\displaystyle \oint ydx}$ в декартовых координатах ${\displaystyle (x,y)}$,

где соответственно конец радиус-вектора ${\displaystyle \rho }$ или ордината ${\displaystyle y}$ один раз пробегают данный замкнутый многоугольный путь^[19].

Ориентированная плоскость — плоскость с выбранной на ней фиксированной ориентацией^[2][6][3].

Плоскость можно ориентировать следующими двумя способами^{[2][6][3][22]}:

• различными ориентированными геометрическими фигурами^[5];
• выбором ориентированной системы декартовых координат^[2][6][3].

Простую замкнутую кривую на плоскости ориентируется двумя разными способами: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Ориентация такой кривой автоматически ориентирует ограниченную кривой часть плоскости^[2][6][3].

Одинаковая ориентация двух простых замкнутых кривых — нахождение с одной и той же стороны частей плоскости, ограниченных кривыми, при обходе кривых в направлении, заданном их ориентацией (слева при обходе против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке). Например, на рисунке справа две первые окружности ориентированы одинаково, а последняя — противоположно с первыми^[2][6][3].

Предложение 1. Выбор ориентации одной простой замкнутой кривой на плоскости определяет ориентацию всех остальных простых замкнутых кривых на плоскости^[2][6][3].

Ориентированная плоскость — плоскость с выбранной фиксированной ориентацией простых замкнутых кривых, лежащих на ней^[2][6][3].

Предложение 2. Простая замкнутая кривая, зеркально симметричная ориентированной простой замкнутой кривой, получает ориентация, противоположную ориентации исходной кривой^[5].

Ориентация плоскости — выбор осей декартовой системы координат ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$, при которой ориентацию окружности с центром в начале координат определяют направлением от положительного направления оси ${\displaystyle Ox}$ к положительному направлению оси ${\displaystyle Oy}$ через меньший угол^[2][6][3][5].

Плоскость можно ориентировать двумя способами, при этом получается два класса систем координат: класс правых систем и класс левых^[2][6][3][5].

Правая система координат — декартова система координат, у которой направление вращения с центром в начале координат ${\displaystyle O}$ от положительного направления оси ${\displaystyle Ox}$ к положительному направлению оси ${\displaystyle Oy}$ через меньший угол есть направление вращения против часовой стрелки^[2][6][3][5].

Левая система координат — декартова система координат, у которой направление вращения с центром в начале координат ${\displaystyle O}$ от положительного направления оси ${\displaystyle Ox}$ к положительному направлению оси ${\displaystyle Oy}$ через меньший угол есть направление вращения по часовой стрелке^[2][6][3][5].

Например, на рисунке справа сначала показаны две правые системы координат, а последней показана левая система координат^[2][6][3].

Рассмотрим две произвольные декартовы система координат ${\displaystyle Oxy}$ и ${\displaystyle O'x'y'}$. Координаты ${\displaystyle (x,y)}$ и ${\displaystyle (x',y')}$ одной и той же точки на плоскости в этих системах координат связаны соотношениями

${\displaystyle x'=a_{11}x+a_{12}y+b_{1},}$

${\displaystyle y'=a_{21}x+a_{22}y+b_{2},}$

где определитель матрицы, составленной из коэффициентов этой системы уравнений,

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}$

отличен от нуля^[2][6][3].

Матрица замены — матрица ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}}$, составленная из коэффициентов системы уравнений, связывающей координаты фиксированной точки в двух разных декартовых системах координат^[5].

Предложение 1. Две декартовы система координат ${\displaystyle Oxy}$ и ${\displaystyle O'x'y'}$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если определитель их матрицы замены ${\displaystyle \Delta >0}$, и противоположно, если ${\displaystyle \Delta <0}$^[2][6][3][5].

Это утверждение используется для построения строгой аналитической теории ориентации плоскости^[2][6][3].

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором определитель матрицы замены положителен^[5].

Предложение 2. Две декартовы системы координат ${\displaystyle Oxy}$ и ${\displaystyle O'x'y'}$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует такое семейство координатных систем ${\displaystyle O_{t}x_{t}y_{t}}$, которое^[5]:

• непрерывно зависит от параметра ${\displaystyle t\in [0,1]}$;
• связывает системы ${\displaystyle Oxy}$ и ${\displaystyle O'x'y'}$, то есть ${\displaystyle O_{0}x_{0}y_{0}}$ совпадает с ${\displaystyle Oxy}$, а ${\displaystyle O_{1}x_{1}y_{1}}$ — с ${\displaystyle O'x'y'}$.

Предложение 3. Декартова система координат переходит в другой класс при зеркальном отражении плоскости^[5].

Рассмотрим множество ${\displaystyle S}$ всех декартовых систем координат на плоскости. Это множество состоит из двух непересекающихся подмножеств ${\displaystyle S'}$ и ${\displaystyle S''}$ — классов — таких, что^[2][6][3]:

• в пределах ${\displaystyle S'}$, равно как и в пределах ${\displaystyle S''}$, декартовы системы координат связаны преобразованиями с ${\displaystyle \Delta >0}$;
• каждая декартова система координат из ${\displaystyle S'}$ связана с декартовой системой координат из ${\displaystyle S''}$ преобразованием с ${\displaystyle \Delta <0}$, и наоборот.

Ориентация плоскости — выбор одного из двух классов декартовых систем координат^[2][6][3].

Правило задания класса системы координат с помощью окружности. Начало декартовой системы координат лежит в центре окружность с фиксированным направлением обхода, ось ${\displaystyle Ox}$ выбирается произвольно, а ось ${\displaystyle Oy}$ — так, чтобы вращение от ${\displaystyle Ox}$ к ${\displaystyle Oy}$ через меньший угол происходило в направлении, заданном на окружности (см. рисунок справа с двумя разными классами систем координат)^[5].

Знак площадей, ограниченных ориентируемыми замкнутыми кривыми, и углов на плоскости зависит от выбора ориентации на этой плоскости^[2][6][3].

Рассмотрим, например, величину площади

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int _{C}xdy-ydx}$

фигуры, ограниченной ориентированной замкнутой кривой ${\displaystyle C}$, заданной параметрически. Получим два случая^[2][6][3]:

• в правой системе координат площадь фигуры положительна, если она ограничена кривой, ориентированной против часовой стрелки (см. первую фигуру на рисунке справа), и отрицательна для противоположной ориентации кривой (см. вторую фигуру на рисунке справа);
• в левой системе координат наоборот, площадь фигуры отрицательна, если она ограничена кривой, ориентированной против часовой стрелки (см. первую фигуру на рисунке справа), и положительна для противоположной ориентации кривой (см. вторую фигуру на рисунке справа).

На ориентированной плоскости любой угол между обычными (ненаправленными) прямыми характеризуется не только своей абсолютной величиной как скаляром, но ещё и знаком^[12].

Ориентированный, или направленный, угол на ориентированной плоскости — число, равное обычному углу между прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ со знаком плюс, если направление вращения от ${\displaystyle a}$ к ${\displaystyle b}$ совпадает с направлением ориентации плоскости, и со знаком минус в противном случае. Направленные углы обозначим следующим образом^[12]:

• ${\displaystyle \angle ab}$ — обычный (ненаправленный) угол;
• ${\displaystyle \sphericalangle ab}$ — направленный угол.

Например, на рисунке справа показаны два направленных угла^[12]:

• положительный угол между прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$;
• отрицательный угол между прямыми ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$.

Предложение 1. Простые углы ${\displaystyle \angle ab}$ и ${\displaystyle \angle ba}$ не различаются, но при этом направленные углы противоположны^[23]:

${\displaystyle \sphericalangle ab=-\sphericalangle ba}$.

Подобно обычному (ненаправленному) углу направленный угол однозначно не определён. Например, на рисунке справа изображены направленные углы ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$, для которых при правой ориентации плоскости выполняются следующие равенства^[24]:

• ${\displaystyle \alpha =\sphericalangle ab=\angle AOB}$,
• ${\displaystyle \beta =\sphericalangle ab=-\angle AOC}$,
• ${\displaystyle \beta =-\angle AOC=\angle AOB-\pi }$,
• ${\displaystyle \gamma =\angle AOB+\pi }$.

Эти равенства иллюстрируют следующее предложение^[24].

Предложение 1. Две прямые определяют направленный угол с точностью до произвольного кратного угла ${\displaystyle \pi }$^[24].

Как правило, под направленным углом между прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ подразумевают минимальный по модулю направленный угол^[24].

Минимальный по модулю направленный угол — направленный угол ${\displaystyle \sphericalangle ab}$ между прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, взятыми в указанной последовательности, наименьший по абсолютной величине. Для перпендикулярных прямых принимается ${\displaystyle \sphericalangle ab=+{\frac {\pi }{2}}}$^[24].

Равенство направленных углов — совпадение по абсолютной величине и знаку минимальных по модулю направленных углов между прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и между прямыми ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$^[24]:

${\displaystyle \sphericalangle ab=\sphericalangle cd}$.

Свойство независимости от ориентации плоскости произведения и отношения направленных углов подобно аналогичному свойству направленных отрезков^[23].

Предложение 1. Произведение и отношение двух направленных углов на плоскости не зависят от выбора ориентации плоскости^[24].

Доказательство. Пусть ${\displaystyle \angle ab}$ и ${\displaystyle \angle cd}$ — два простых угла на плоскости. Тогда независимо от ориентации плоскости произведение ${\displaystyle \sphericalangle ab\cdot \sphericalangle cd}$ и отношение ${\displaystyle {\frac {\sphericalangle ab}{\sphericalangle cd}}}$^[24]:

• положительны, если направления углов ${\displaystyle \sphericalangle ab}$ и ${\displaystyle \sphericalangle cd}$ совпадают;
• отрицательны, если направления углов ${\displaystyle \sphericalangle ab}$ и ${\displaystyle \sphericalangle cd}$ противоположны.

Следствие 1. Равенство или неравенство двух направленных углов на плоскости также не зависит от ориентации плоскости^[24].

Доказательство. Отношение двух равных направленных углов ${\displaystyle \sphericalangle ab}$ и ${\displaystyle \sphericalangle cd}$ равно единице^[24]:

${\displaystyle {\frac {\sphericalangle ab}{\sphericalangle cd}}=1.}$

Простая граница области — граница ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, состоящая из конечного числа кусочно-гладких замкнутых жордановых кривых (контуров)^[25].

• Простые границы
• 
  Только внешняя граница
• 
  Сложная внешняя граница
• 
  Внешняя граница и три внутренние компоненты

• Непростые границы
• 
  Три не замкнутых жордановых кривых
• 
  Бесконечная граница
• 
  Много не замкнутых жордановых кривых

Внешняя граница области — компонент простой границы области, замкнута кривая, отделяющая точки области от бесконечной точки плоскости. Остальные компоненты границы области называются внутренними (не спутайте с внутренней границей)^[26][25].

Ориентированная простая граница^[4] области — ориентация простой границы области такая, что область остаётся слева при её обходе вдоль границы. Другими словами, внешняя граница области ориентирована против часовой стрелки, а внутренние компоненты границы — по часовой стрелке^[26][25]. Такая ориентация границы области и такое направление её обхода называются положительными^[27][28]. Противоположная ориентация границы области и противоположное направление её обхода называются отрицательными^[29].

Обычно понятие ориентированной границы обобщают, снимая с жордановых кривых границы требование замкнутости. Такая граница области состоит не только из замкнутых жордановых кривых (то есть контуров), но также из жордановы дуг (то есть разрезов) и точек. Получается следующие определения^[27][30][31].

Кривая со складками — кривая комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, состоящая из конечного числа кусочно-гладких замкнутых жордановых кривых (контуров), конечного числа жордановых дуг (складок) и счётного числа изолированных точек^[31].

Складка кривой — компонента кривой со складками, а именно: жорданова дуга^[31].

Ориентированная граница со складками области — ориентация компонентов границы со складками области, состоящей из конечного числа кусочно-гладких жордановых кривых, такая, что область остаётся слева при её обходе вдоль границы. При таком обходе одни точки границы проходятся только один раз, другие — несколько раз^[27][30].

Ориентация произвольной поверхности, разбивающей трёхмерное пространство на две части (например, сферы), аналогична ориентации плоскости^[2][6][3].

Ориентация части поверхности, ограниченной простой замкнутой кривой — ориентация данной простой замкнутой кривой^[2][6][3].

Одинаковая ориентация двух частей поверхности — нахождение с одной и той же стороны частей поверхности, ограниченных замкнутыми кривыми, при обходе кривых в направлении, заданном их ориентацией (слева при обходе против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке). Например, на рисунке справа поверхности двух кубов ориентированы противоположно друг другу^[2][6][3].

Ориентированная поверхность — поверхность, разбивающая трёхмерное пространство на две части, на которой имеется ориентированная часть поверхности. Поверхность ориентирована соответственно ориентации кривой, ограничивающей часть поверхности (на рисунке справа поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым)^[2][6][3]:

• поверхность ориентирована правым (левым) образом, если эта кривая, наблюдаемая снаружи, ориентирована против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Бывают ориентируемые и неориентируемые поверхности.

Предложение 1. Поверхность, ограничивающая часть трёхмерного пространства, всегда ориентируема^[2][6][3].

Рассмотрим в трёхмерном пространстве гладкую поверхность ${\displaystyle S}$. Пусть^[32]:

• ${\displaystyle M_{0}\in S}$ — любая точка на поверхности ${\displaystyle S}$;
• ${\displaystyle {\vec {n_{0}}}}$ — нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle M_{0}}$;
• ${\displaystyle l\subset S}$ — любая замкнутая кривая на поверхности ${\displaystyle S}$ такая, что ${\displaystyle M_{0}\in l}$ и ${\displaystyle l}$ не имеет общих точек с границей поверхности ${\displaystyle S}$.

Обойдём кривую ${\displaystyle l}$, перемещая при этом вектор ${\displaystyle {\vec {n_{0}}}}$ вдоль ${\displaystyle l}$ непрерывно как нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$^[32].

Ориентируемая, или двусторонняя, поверхность — поверхность ${\displaystyle S}$, на которой после обхода кривой ${\displaystyle l}$ нормаль возвращается в исходную точку ${\displaystyle M_{0}}$ с выбранным вначале направлением нормали ${\displaystyle {\vec {n_{0}}}}$ при любой точке ${\displaystyle M_{0}\in S}$ и любой замкнутой кривой ${\displaystyle l\subset S}$^[32].

Неориентируемая, или односторонняя, поверхность — поверхность ${\displaystyle S}$, на которой после обхода кривой ${\displaystyle l}$ нормаль возвращается в исходную точку ${\displaystyle M_{0}}$ с направлением нормали, противоположным выбранному вначале ${\displaystyle {\vec {n_{0}}}}$, для некоторой точки ${\displaystyle M_{0}\in S}$ и некоторой замкнутой кривой ${\displaystyle l\subset S}$^[32].

Перечислим односторонние поверхности^[33]:

• лист Мёбиуса,
• бутылка Клейна,
• модели вещественной проективной плоскости:
• римская поверхность,
• поверхность Боя,
• скрещенный колпак.

• Односторонние поверхности
• 
  Лист Мёбиуса
• 
  Бутылка Клейна
• 
  Римская поверхность
• 
  Поверхность Боя
• 
  Скрещенный колпак

Сторона двусторонней поверхности — двусторонняя поверхность с указанием для всех её точек направлений нормали. Для другой стороны поверхности нормали противоположны (см. рисунок справа с векторами нормалей)^[32].

Ориентация двусторонней поверхности — выбор стороны двусторонней поверхности^[32].

Ориентированная двусторонняя поверхность — двусторонней поверхности с выбранной стороной^[32].

Выбрать сторону двусторонней поверхности можно следующими способами^[32]:

• указанием нормали в любой точке поверхности;
• надлежащим описанием:

• верхняя — нижняя,
• левая — правая,
• ближняя — дальняя,
• внутренняя — внешняя;

• выбором знака плюс или минус во всех следующих формулах:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}.}$

Предложение 1. Ориентация двусторонней поверхности задаёт также ориентацию всех простых замкнутых кривых на этой поверхности (см. на рисунке справа ориентацию замкнутых кривых)^[32].

Ориентированный многогранник — многогранник (возможно, самопересекающийся, то есть с самопересекающимися гранями), у которого грани ориентированы таким образом, что каждое его ребро имеет в своих смежных гранях противоположные ориентации (см на рисунке справа противоположно ориентированные кубы)^[34][35][36].

Неориентируемый многогранник — многогранник, который нельзя сделать ориентированным^[34][35][36].

Определим площадь поверхности и объём ориентированного многоугольника, возможно, самопересекающегося с самопересекающимися гранями. Самопересекающийся многогранник внутренними кусками граней делит пространство на фиксированное количество связных кусков двух типов^[34][35][36]:

• внутренние конечные куски,
• внешний бесконечный кусок.

Площадь самопересекающегося ориентированного многогранника — сумма площадей самопересекающихся ориентированных граней этого многогранника^[34][35][36].

Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многогранника — сумма коэффициентов внутренних кусков самопересекающихся ориентированных граней, которые пересекает отрезок, соединяющий две точки^[34][35][36]:

• внешнюю точку по отношению к многограннику части пространства;
• внутреннюю точку выбранного куска.

Предложение 1. Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многогранника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулю^[34][35][36].

Объём самопересекающегося ориентированного многогранника — взвешенная сумма обычных объёмов всех внутренних кусков самопересекающегося многогранника, в которой обычный объём куска умножается на его коэффициент^[34][35][36].

Ориентированное трёхмерное пространство — трёхмерное пространство с выбранной в нём фиксированной ориентацией^[37][6][3].

Многомерные пространства также можно ориентировать^[38][6][3].

Трёхмерное пространство можно ориентировать следующими двумя способами^[37][6][3]:

• различными ориентированными геометрическими фигурами;
• выбором ориентированной системы декартовых координат.

Замкнутая поверхность без самопересечений в трёхмерном пространстве ориентирована соответственно ориентации кривой, ограничивающей её поверхности (на рисунке справа поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым)^[2][6][3].

Ориентация поверхности правым (левым) образом — ориентация кривой, которая ограничивает часть поверхности, при наблюдении снаружи против часовой стрелки (по часовой стрелке)^[2][6][3].

Ориентация трёхмерного пространства — выбор фиксированной ориентации замкнутых поверхностей без самопересечения^[38][6][3].

Правая (левая) ориентация трёхмерного пространства — выбор ориентации правым (левым) образом замкнутых поверхностей без самопересечения^[38][6][3].

Ориентация трёхмерного пространства — выбор осей декартовой системы координат ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$, при которой треугольник ${\displaystyle ABC}$ ориентируется в порядке ${\displaystyle ABC}$, то есть от оси ${\displaystyle Ox}$ к оси ${\displaystyle Oy}$ и потом к оси ${\displaystyle Oz}$ (см. рисунок справа с ориентацией треугольника ${\displaystyle ABC}$). Этот треугольник ${\displaystyle ABC}$ лежит на поверхности тетраэдра ${\displaystyle OABC}$ с вершиной ${\displaystyle O}$ в начале координат и вершинами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ на положительных лучах осей ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$ соответственно^[38][6][3].

Ориентация трёхмерного пространства зависит от выбора его координатный осей^[38][6][3].

Правая (левая) ориентация трёхмерного пространства — такой выбор осей декартовой системы координат ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$, при которой треугольник ${\displaystyle ABC}$, наблюдаемый снаружи тетраэдра ${\displaystyle OABC}$, ориентируется против часовой стрелки (по часовой стрелке)^[38][6][3].

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором определитель матрицы замены положителен^[5].

Предложение 1. Две декартовы системы координат ${\displaystyle Oxyz}$ и ${\displaystyle O'x'y'z'}$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует такое семейство координатных систем ${\displaystyle O_{t}x_{t}y_{t}z_{t}}$, которое^[5]:

• непрерывно зависит от параметра ${\displaystyle t\in [0,1]}$;
• связывает системы ${\displaystyle Oxyz}$ и ${\displaystyle O'x'y'z'}$, то есть ${\displaystyle O_{0}x_{0}y_{0}z_{0}}$ совпадает с ${\displaystyle Oxyz}$, а ${\displaystyle O_{1}x_{1}y_{1}z_{1}}$ — с ${\displaystyle O'x'y'z'}$.

Предложение 2. Декартова система координат переходит в другой класс при зеркальном отражении трёхмерного пространства^[5].

Задание правой ориентации системы координат с помощью правила винта. Координатная ось ${\displaystyle Ox}$ следует по направлению ввинчивания, вращение от положительного направления оси ${\displaystyle Oy}$ к положительному направления оси ${\displaystyle Oz}$ совпадает с вращением при ввинчивании. При этом все винты должны находиться в положительной связи друг с другом^[22].

Задание правой ориентации системы координат с помощью правила трёх первых пальцев правой руки. Указанное правило достаточно хорошо известно и поэтому здесь не описывается (см. рисунок справа с правилом правой руки)^[39].

Выбор ориентации трёхмерного пространства определяет^[38][6][3]:

• знак объёмов, ограниченных ориентированными поверхностями;
• смысл векторного произведения двух векторов
• и так далее

В классическом понимании ориентация пространства — это выбор одного из классов систем координат пространства, причём^[5]:

• системы координат одного класса положительно связаны между собой;
• каждая система координат задает некоторую ориентацию, тем самым определяя свой класс.

Рассмотрим вещественное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ конечной размерности (более общо — конечномерное векторное пространство над произвольным упорядоченным полем). Здесь две системы координат связаны положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой^[5].

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве^[англ.] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексный базис ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ сводится к вещественному базису ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}}$ в том же пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, которое при этом отождествляется с вещественным векторным пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, и все такие базисы связаны попарно положительными переходами. Другими словами, комплексная структура задаёт ориентацию в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$^[5].

Ориентацию аффинного пространства можно задать ориентацией системы координат. Пусть в вещественном аффинном пространстве ${\displaystyle E^{n}}$ определена система координат, образованная точкой ${\displaystyle O}$ — началом координат и репером ${\displaystyle e}$. Тогда переход между различными системами координат задаётся вектором переноса начала ${\displaystyle O}$ и заменой репера ${\displaystyle e}$^[5].

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера)^[5].

Одинаковая ориентация двух систем координат — общая ориентация двух систем координат в случае, когда одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть найдётся непрерывно зависящее от одного параметра ${\displaystyle t\in [0,1]}$ семейство координатных систем ${\displaystyle (O_{t},e_{t})}$, которая связывает данные системы, то есть одна система совпадает с ${\displaystyle (O_{0},e_{0})}$, другая — с ${\displaystyle (O_{1},e_{1})}$^[5].

При отражении относительно гиперплоскости системы двух классов координат переходят друг в друга^[5].

С помощью любого полупространства ${\displaystyle E_{+}^{n}}$ ориентированного аффинного пространства ${\displaystyle E^{n}}$ можно определить ориентацию граничной гиперплоскости ${\displaystyle E^{n-1}}$, например, следующим образом^[39].

Ориентация гиперплоскости ${\displaystyle E^{n-1}}$ — ориентация, определяемая последними векторами репера аффинного пространства ${\displaystyle E^{n}}$, лежащими в гиперплоскости ${\displaystyle E^{n-1}}$, когда первый вектор репера смотрит наружу из полупространства ${\displaystyle E_{+}^{n}}$^[39].

Ориентацию аффинного пространства ${\displaystyle E^{n}}$ можно задать порядком вершин ${\displaystyle n}$-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае ${\displaystyle E^{2}}$, тетраэдра в трёхмерном ${\displaystyle E^{3}}$). Репер задаётся следующим образом: в первую вершину помещается начало, в остальные вершины направляются векторы репера^[39].

Предложение 1. Два порядка вершин симплекса задают одну ориентацию тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку^[39].

Ориентированный симплекс — симплекс с фиксированным порядком вершин с точностью до чётной перестановки^[39].

Индуцированная ориентация — ориентация произвольной ${\displaystyle (n-1)}$-грани ${\displaystyle n}$-мерного ориентированного симплекса, причём в случае, когда первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный^[39].

Хира́льность (англ. chirality, от др.-греч. χείρ — рука) — свойство геометрической фигуры, состоящее в отсутствии её совместимости со своей идеальной зеркальной копией^[40][41]. Другими словами, хиральность — отсутствие зеркальной симметрии у геометрической фигуры^[41].

Ахиральность — наличие зеркальной симметрии у геометрической фигуры^[41].

Произвольный невырожденный неравнобедренный треугольник — одна из простейших хиральных фигур на плоскости. Такой треугольник нельзя наложить на его зеркально симметричное изображение посредством комбинацией параллельных переносов и поворотов плоскости. Произвольный равнобедренный треугольник ахирален на плоскости^[41].

Однако хиральные треугольники на плоскости ахиральны в трёхмерном пространстве, поскольку всегда существует комбинация параллельного переноса и поворота трёхмерного пространства, идеально накладывающие треугольник на его зеркально симметричное изображение в плоскости^[41].

Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово «энантиоморф» происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный объект также называется амфихиральным.

Винтовая линия (а также витая пряжа, штопор, пропеллер и т. п.) и лента Мёбиуса — это трёхмерные хиральные объекты. Фигурки тетрамино в форме букв J, L, S и Z из популярной игры «Тетрис» также обладают хиральностью, но только в двумерном пространстве.

Некоторым хиральным объектам, таким как винт, можно приписать правую (левую) ориентацию, в соответствии с правилом правой руки (правилом левой руки).

Рассмотрим координатную систему связного многообразия — атлас, то есть набор карт, покрывающих многообразие ${\displaystyle M}$^[39].

Ориентирующий атлас — атлас многообразия, для которого все координатные преобразования положительны. Другими словами, степени координатных преобразований равны ${\displaystyle +1}$, а если многообразие дифференцируемо, то положительны якобианы преобразования во всех точках^[39].

Ориентируемое многообразие — многообразие ${\displaystyle M}$ с ориентирующим атласом^[39].

Рассмотрим ориентируемое многообразие. Все его ориентирующие атласы распадаются на два класса ориентации, следовательно, переход от карт одного атласа к картам другого положителен тогда и только тогда, когда оба атласа принадлежат одному классу ориентации^[39].

Ориентация многообразия — выбор одного из двух ориентирующих классов^[39].

Выбор ориентации многообразия осуществляется также ещё двумя способами^[39]:

• выбором одной из карт одного из ориентирующих классов;
• выбором локальной ориентации в точке ${\displaystyle x_{0}}$, поскольку связные карты, содержащие точку ${\displaystyle x_{0}}$, естественным образом также распадаются на два ориентирующих класса.

Кроме того, для дифференцируемого многообразия локальная ориентация определяется выбором репера в касательной плоскости в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Например, вращение на окружности определяется только одним касательным вектором^[39].

Если связное ориентированное многообразие ${\displaystyle M}$ имеет край, то этот край также ориентируем^[39].

Ориентирующий репер края многообразия — второй и последующие векторы репера, ориентирующего многообразие, которые лежат в касательной плоскости края, при первом векторе репера, направленном из края ${\displaystyle \partial M}$ во внешнее многообразие^[39].

Любой путь ${\displaystyle q:[0,1]\to M}$ в многообразии ${\displaystyle M}$ обладает тем свойством, что вдоль него можно выбрать такую цепочку карт, что две соседние карты связаны положительно. Следовательно, ориентация в точке ${\displaystyle q(0)}$ посредством цепочки карт определяет ориентацию в точке ${\displaystyle q(1)}$, причём эта связь зависит от пути ${\displaystyle q}$ с фиксированными концами лишь с точностью до его непрерывной деформации. Для замкнутого пути ${\displaystyle q(0)=q(1)=x_{0}}$^[39].

Дезориентирующий путь, или контур^[33], — замкнутый путь в многообразии, при обходе которого локальная ориентация меняет знак, то есть ориентации в начальной точке ${\displaystyle q(0)}$ пути и в конечной ${\displaystyle q(1)}$ противоположны^[42][39][43].

Неориентируемое, или одностороннее, многообразие — многообразие, в котором существует дезориентирующий путь^[42][33].

Для дезориентирующего пути однозначно определён некоторый гомоморфизм фундаментальной группы ${\displaystyle \pi _{1}(M,x_{0})}$ многообразия ${\displaystyle M}$ на кольцо вычетов по модулю 2 порядка 2 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ с ядром, состоящим из классов замкнутых не дезориентирующих путей, другими словами, гомоморфизм ${\displaystyle \pi _{1}(M,x_{0})}$ в группу порядка 2, при котором дезориентирующие пути переходят в ${\displaystyle -1}$, а остальные замкнутые пути — в ${\displaystyle +1}$^[42][39].

Предложение 1. Накрывающее пространство накрытия, построенного по описанному гомоморфизму, ориентируемо^[39].

Ориентирующее накрытие — накрытие, имеющее ориентируемое нарывающее пространство. В случае неориентируемого многообразия это накрытие двулистно^[англ.] (см. анимацию справа с двулистным накрытие листа Мёбиуса)^[39].

Этот же гомоморфизм из предыдущего раздела определяет над многообразием ${\displaystyle M}$ одномерное расслоение, тривиальное тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ ориентируемо^[39].

Для дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$ это одномерное расслоение определяется как расслоение ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$ дифференциальных форм порядка ${\displaystyle n=\operatorname {dim} M}$. Это расслоение имеет ненулевое сечение только в ориентируемом случае и при этом задаёт как форму объёма на ${\displaystyle M}$, так и ориентацию^[39].

Отображение ${\displaystyle k\colon M\to \mathbb {R} P^{n}}$ многообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle n}$-мерное вещественное проективное пространство есть классифицирующее отображение этого одномерного расслоения^[39].

Предложение 1. Многообразие ${\displaystyle M}$ ориентируемо тогда и только тогда, когда класс ${\displaystyle \mu \in H^{n-1}(M,\mathbb {Z} )}$ не равен нулю. Этот класс есть образ класса, двойственного к гиперплоскости ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n-1}\subset \mathbb {R} P^{n}}$, то есть двойственного циклу с многообразием-носителем — прообразом гиперплоскости ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n-1}}$ при отображении ${\displaystyle k}$, которое приведено в общее положение^[44].

Ориентирующий цикл — цикл из предложения 1, поскольку дополнение к нему ориентируемо: если по этому циклу разрезать многообразие ${\displaystyle M}$, то полученное подмногообразие будет ориентируемым^[45].

Предложение 2. Многообразие ${\displaystyle M}$ ориентируемо (неориентируемо) тогда и только тогда, когда после разреза по циклу возникает (не возникает) несвязное подмногообразие^[45].

Например, ориентирующий цикл на проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ — проективная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$^[45].

Ориентированное псевдомногообразие, то есть ориентированное триангулированное многообразие ${\displaystyle M}$, — псевдомногообразие, у которого все его ${\displaystyle n}$-мерные симплексы ориентированы таким образом, что любые два симплекса с общей ${\displaystyle (n-1)}$-мерной гранью индуцируют на этой грани противоположные ориентации^[45].

Дезориентирующая замкнутая цепочка ${\displaystyle n}$-мерных симплексов — замкнутая цепочка ${\displaystyle n}$-мерных симплексов такая, что^[45]:

• у любых двух соседей цепочки имеется общая ${\displaystyle (n-1)}$-мерная грань;
• симплексы цепочки ориентированы следующим образом:

• ориентации, индуцированные первым и последним симплексами на их общей грани, совпадают;
• ориентации, индуцированные остальными соседями на их общих гранях, противоположны.