Общее положение

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

Конфигурация из пяти прямых общего положения.

О́бщее положе́ние[1] — свойство, которое выполняется для почти для всех рассматриваемых объектов, при этом точное значение слова почти определяется из контекста[2].

Обычно этот термин применяется в следующих словосочетаниях: «объекты общего положения, имеют свойство S», «S есть свойство общего положения», «приведём объекты в общее положение». Типичный пример использования: «Рассмотрим прямых общего положения на плоскости, то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.» Заметим, что при необходимости условие общего положения можно усилить или ослабить, добавив например, что ни одна прямая не проходит через начало координат или убрав условие на параллельные прямые[2].

Также используется термин типичный объект, или объект общего положения, — объект, обладающий одним или несколькими «типичными свойствами» (какими именно — выясняется из контекста)[2].

Примеры использования

[править | править код]
Два общих положения прямой и окружности

Следующий пример типичен для понятия «общее положение»[2]. Прямая и окружность в общем положении либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. Иначе говоря, почти всегда прямая либо проходит вне окружности, либо пересекает её в двух точках, и почти никогда её не касается. В количественных соотношениях, если на плоскости есть окружность и прямая, то имеется бесконечное количество прямых, параллельных данной прямой, которые либо проходят вне окружности, либо пересекают её в двух точках, и всего две параллельные прямые, которые касаются окружности[3].

Другой пример свойства общего положения: трансверсальность двух многообразий в объемлющем многообразии.[3].

Общее положение в пространстве набора точек — свойство точек в -мерном аффинном пространстве, может заключаться в том, что никакие из них не лежат в подпространстве размерности , где . В частности, точки на плоскости находятся в общем положении, если никакие три не лежат на одной прямой[4]. Требование этого определения избыточно для большинства наборов. В частности, если , то достаточно предположить, что никакой набор из точки не лежит в гиперплоскости[4].

Общее положение в трёхмерном пространстве двух прямых — прямые не пересекаются. Другими словами, вложение прямой в трёхмерное пространство трансверсально тогда и только тогда, когда прямые не пересекаются[5].

Функция Морса на гладком многообразии является гладкой функцией общего положения.[6].

Два подпространства. Рассмотрим вещественное линейное пространство и два его подпространства, сумма размерностей которых больше размерности исходного пространства[7].

Общее положение в линейном пространстве двух подпространств — алгебраическая сумма подпространств совпадет со всем пространством[7].

В частности, два подмногообразия дополнительной размерности в общем положении пересекаются трансверсально[8].

Варианты определений

[править | править код]

В зависимости от контекста множество всех рассматриваемых объектов имеет некоторую структуру, которая позволяет говорить о «малых», «пренебрежимых» или, наоборот, «больших», «массивных» подмножествах. В этом случае считается, что некоторое свойство общего положения, если обладающие им объекты образуют в «большую» подсовокупность[2].

Совокупность , как правило, обладает одной из следующих структур[2]:

(1) алгебраического многообразия;
(2) гладкого многообразия (возможного, бесконечномерного);
(3) топологического пространства, чаще всего пространства второй категории Бэра, в частности полные метрические пространства.
(4) пространства с мерой.

В перечисленных случаях «малыми» подмножествами считаются соответственно[2]:

(1) алгебраические подмногообразия меньшей размерности;
(2) гладкие подмногообразия и их конечные или счётные объединения;
(3) нигде не плотные множества или множества первой категории Бэра;
(4) множества меры нуль.

Подмножество считается «большим», если дополнение к нему — «малое»[2].

Типичное свойство, или свойство общего положения, — свойство , которое выполняется почти для всех объектов из множества .[2].

В случаях (3) и (4) «большое» подмножество может означать соответственно подмножество второй категории Бэра в непустом открытом подмножестве пространства или подмножество положительной меры. В этих случаях говорят, что «этим множеством объектов нельзя пренебречь», но уже не говорят о «типичности»[2].

Использование в разделах математики

[править | править код]

Использование в геометрической топологии

[править | править код]

В геометрической топологии[англ.], которая изучает как кусочно линейные, так и топологические многообразия и соответствующие классы отображений, термин «общее положение» используется почти исключительно как синоним термина «трансверсальность»[3].

Использование в алгебраической геометрии

[править | править код]

В алгебраической геометрии несложные случаи, аналогичные прямой и окружности на плоскости, легко анализируются с помощью теории исключения[англ.], при этом основное поле произвольно (но обычно алгебраически замкнуто). В более сложных ситуациях имеются следующие теоремы[3]:

Кроме того, при рассмотрении действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии большое значение имеют точки общего положения[3].

Использование в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений

[править | править код]

Понятие общего положения применяется очень широко в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений. При доказательстве результатов обычно используются следующие теоремы об общем положении, или теоремы о трансверсальной регулярности[3][9]:

Указанная теорема Сарда при бесконечной размерности не верна, но этот недостаток компенсируется более слабыми результатами[3].

Использование в теории гладких динамических систем

[править | править код]

Несколько теорем о «типичных» свойствах есть в в теории гладких динамических систем. Как правило, эти теоремы доказываются при помощи теоремы Сарда, особенно в локальной теории бифуркаций[англ.]. Есть немногочисленные положительные результаты, не связанные с этой редукцией[3].

Существенная особенность теории гладких динамических систем — это существенное различие понятия общего положения в топологическом и метрическом смысле, соответственно случаи (3) и (4)[3].

Использование в дифференциальной геометрии многообразий

[править | править код]

Понятие общего положения используется также в дифференциальной геометрии многообразий[3][11][12].

Типичное свойство римановой метрики — множество римановых метрик, удовлетворяющих этому свойству, остаточно[13].

Предложение. Следующее свойство типично[13]:


Примечания

[править | править код]
  1. Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Аносов Д. В. Общее положение, 1982, стб. 1144.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Аносов Д. В. Общее положение, 1982, стб. 1145.
  4. 1 2 Yale P. B. Geometry and symmetry, 1968, p. 164.
  5. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 1978, § 29. Семейства и деформации, с. 207.
  6. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 89.
  7. 1 2 Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 76.
  8. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 78—79.
  9. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 75—89.
  10. 1 2 Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 82.
  11. Wall C. T. C. Geometric properties of generic differentiable manifolds, 1977.
  12. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических, 1982.
  13. 1 2 Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических, 1982, 3.3. Свойства отображения Пуанкаре. 3.3.6. Дополнение, с. 210.
  • Аносов Д. В. Общее положение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 1144—1145.
  • Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с., ил.
  • Клингенберг, В. Лекции о замкнутых геодезических / Пер. с англ. А. И. Грюнталя под ред. Д. В. Аносова. М.: Мир, 1982. 414 с., ил. [Klingenberg Wilhelm. Lectures on closed geodesics. Berlin·Heidelberg·New York: Springer-Verlag, 1978.]
  • Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1978. 352 с., ил.
  • Wall C. T. C. Geometric properties of generic differentiable manifolds // Geometry and Topology. Proceedings of the School Held at the Instituto de Matematica Pura e Aplicada CNPq, Rio de Janeiro, July 1976. Conference proceedings, 1977. (Lecture Notes in Mathematics (LNM, volume 597).) P. 707–774.
  • Yale P. B. Geometry and symmetry. San Francisco·Cambridge·London·Amsterdam: Holden-Day, 1968. Pp. xi, 288. (Holden-Day series in mathematics)