Группа Янко J2

Группа Янко J₂, группа Холла — Янко (HJ) или группа Холла — Янко — Уэллса — это спорадическая группа порядка

   2⁷ · 3³ · 5² · 7 = 604800.

История и свойства[править | править код]

J₂ — это одна из 26 спорадических групп. Другое название — группа Холла — Янко — Уэллса. В 1969 Звонимир Янко предсказал J₂ как одну из двух простых групп, имеющих 2¹⁺⁴:A₅ в качестве централизатора инволюции (вторая — группа Янко J₃^[en]). Группу построили Холл и Уэллс^[1] как группу перестановок ранга 3 100 точек.

Как мультипликатор Шура, так и группа внешних автоморфизмов^[en] имеют порядок 2.

J₂ является единственной из 4 групп Янко, являющейся подфактором^[en] монстра, так что группа является частью семейства, которое Роберт Грисс^[en] назвал счастливым. Поскольку группа обнаружена в группе Конвея Co1, она является также частью второго счастливого семейства.

Представления[править | править код]

J₂ является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов графа Холла — Янко, что ведёт к перестановочному представлению порядка 100. Группа является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов почти восьмиугольника Холла — Янко^[2] что ведёт к перестановочному представлению порядка 315.

Группа имеет модулярное представление^[en] размерности шесть над полем из четырёх элементов. Если при характеристике два мы имеем w² + w + 1 = 0, то J₂ генерируется двумя матрицами

${\displaystyle {\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matrix}}\right)}$

и

${\displaystyle {\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matrix}}\right).}$

Эти матрицы удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.}$

J₂ является группой Гурвица^[en], конечным гомеоморфным образом группы треугольника (2,3,7).

Матричное представление, данное выше, формирует вложение в группу Диксона G₂(4). Имеется два класса смежности в G₂(4) и они эквивалентны по автоморфизму поля F₄. Их пересечение («действительная» подгруппа) является простой группой порядка 6048. G₂(4), в свою очередь, изоморфна подгруппе группе Конвея Co₁.

Максимальные подгруппы[править | править код]

Имеется 9 классов смежности максимальных подгрупп группы J₂. Некоторые описанные здесь в терминах действия на графе Холла — Янко.

• U₃(3) порядка 6048 – одноточечный стабилизатор с орбитами 36 и 63.

Простая группа, содержащая 36 простых подгрупп порядка 168 и 63 инволюций, все являются смежными классами, действующими на 80 точек. Указанные инволюции обнаруживаются в 12 168-подгрупп. Её централизатор имеет структуру 4.S₄, которая содержит 6 дополнительных инволюций.

• 3.PGL(2,9) порядка 2160 — имеет подфактор A₆
• 2¹⁺⁴:A₅ порядка 1920 — централизатор инволюции, действующей на 80 точек
• 2²⁺⁴:(3 × S₃) порядка 1152
• A₄ × A₅ порядка 720.

Содержит 2² × A₅ (порядка 240), централизатор 3 инволюций, каждая действует на 100 точках

• A₅ × D₁₀ порядка 600
• PGL(2,7) порядка 336
• 5²:D₁₂ порядка 300
• A₅ порядка 60

Классы сопряжённости[править | править код]

Максимальный порядок любого элемента не превосходит 15. Как перестановки, элементы действуют на 100 вершинах графа Холла — Янко.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• MathWorld: Janko Groups Архивная копия от 5 сентября 2017 на Wayback Machine
• Atlas of Finite Group Representations: J₂
• The subgroup lattice of J₂

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.