Группа Конвея Co₁

Группа Конвея Co₁ — это спорадическая простая группа порядка

${\displaystyle 2^{21}{\cdot }3^{9}{\cdot }5^{4}{\cdot }7^{2}{\cdot }11{\cdot }13{\cdot }23}$

= 4157776806543360000

≈ 4⋅10¹⁸.

История и свойства[править | править код]

Co₁ является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джоном Хортоном Конвеем в 1968. Группа является самой большой из трёх спорадических групп Конвея и может быть получена как факторгруппа Co₀ (группа автоморфизмов решётки Лича ${\displaystyle \Lambda }$, сохраняющих начало координат) по её центру, который состоит из скалярных матриц ±1^[1]. Группа также возникает на вершине группы автоморфизмов чётной 26-мерной унимодулярной решётки II_25,1^[en]. Некоторые, не совсем понятные, комментарии в коллекции работ Витта позволяют полагать, что он нашёл решётку Лича и, возможно, порядок её группы автоморфизмов в неопубликованной работе 1940 года.

Группа внешних автоморфизмов^[en]группы Co₁ тривиальна, а мультипликатор Шура имеет порядок 2.

Инволюции[править | править код]

Co₀ имеет 4 класса смежности инволюций. Они стягиваются к 2 в Co₁, но есть 4-элементы в Co₀, которые соответствуют третьему классу инволюций в Co₁.

Образ 12-элементных множеств (додекады) имеет централизатор типа 2¹¹:M₁₂:2, который содержится в максимальной подгруппе типа 2¹¹:M₂₄.

Образ октад или 16-элементных множеств имеет централизатор вида 2¹⁺⁸.O₈⁺(2), максимальная подгруппа.

Представления[править | править код]

Наименьшее точное перестановочное представление группы Co₁ состоит из 98280 пар {v,–v} векторов с нормой 4.

Централизатор инволюции типа 2B в монстре имеет вид ${\displaystyle 2^{1+24}\mathrm {Co} _{1}}$.

Диаграмма Дынкина чётной Лоренцевой унимодулярной решётки II_1,25^[en] изометрична (аффинной) решётке Лича ${\displaystyle \Lambda }$, так что группа авоморфизмов диаграммы является расщепляемым расширением ${\displaystyle \Lambda }$,Co₀ аффинных изометрий решётки Лича.

Максимальные подгруппы[править | править код]

Уилсон^[2] нашёл 22 смежных классов максимальных подгрупп группы Co₁, хотя в его изначальном списке имеется несколько ошибок, которые он исправил позже^[3].

• Co₂^[en]
• 3.Suz:2 Подъём до ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$ фиксирует комплексную структуру или изменяет её в сопряжённую структуру. Вершина башни Судзуки.
• 2¹¹:M₂₄ Подъём до ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$ фиксирует каркас векторов^[4]. Образ мономиальной подгруппы^[5] группы ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$
• Co₃^[en]
• ${\displaystyle 2^{1+8}.\mathrm {O} _{8}^{+}(2)}$ централизатор инволюции (образ октад из ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$)
• ${\displaystyle \mathrm {U} _{6}(2):\mathrm {S} _{3}}$
• ${\displaystyle (\mathrm {A} _{4}\times \mathrm {G} _{2}(4)):2}$ в цепочке Судзуки^[en][6].
• ${\displaystyle 2^{2+12}:(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{3})}$
• ${\displaystyle 2^{4+12}.(\mathrm {S} _{3}\times 3.\mathrm {S} _{6})}$
• ${\displaystyle 3^{2}.\mathrm {U} _{4}(3).\mathrm {D} _{8}}$
• 3⁶:2.M₁₂ (голоморф троичного кода Голея)
• (A₅ × J₂):2 в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle 3^{1+4}:2.\mathrm {PSp} _{4}(3).2}$
• ${\displaystyle (\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {U} _{3}(3)).2}$ в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle 3^{3+4}:2.(\mathrm {S} _{4}\times \mathrm {S} _{4})}$
• ${\displaystyle \mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3}}$ в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle (\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {L} _{2}(7)):2}$ в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle (\mathrm {D} _{10}\times (\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}).2).2}$
• ${\displaystyle 5^{1+2}:\mathrm {GL} _{2}(5)}$
• ${\displaystyle 5^{3}:(4\times \mathrm {A} _{5}).2}$
• ${\displaystyle 7^{2}:(3\times 2.\mathrm {S} _{4})}$
• ${\displaystyle 5^{2}:2\mathrm {A} _{5}}$

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• MathWorld: Conway Groups Архивная копия от 29 октября 2017 на Wayback Machine
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ Архивная копия от 27 марта 2008 на Wayback Machine version 3

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.