Topologia Vietorisa
Topologia Vietorisa – dla danej przestrzeni topologicznej topologia w rodzinie złożonej ze wszystkich niepustych podzbiorów domkniętych (w hiperprzestrzeni przestrzeni ) zadana przez podbazę składającą się ze zbiorów postaci:
gdzie jest dowolnym zbiorem otwartym w [1]. Baza tej topologii składa się ze zbiorów postaci
gdzie są otwartymi podzbiorami
Nazwa topologii pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka Leopolda Vietorisa.
Kwestia przynależności zbioru pustego do hiperprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]
Wyżej przedstawioną konstrukcję można przeprowadzić w taki sam sposób w przypadku gdy oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych w tj. deklarując, by zbiór pusty był również elementem [2]. Wówczas jest on punktem izolowanym w z topologią Vietorisa ponieważ z otwartoci zbioru pustego wynika, że
Symbolem (zob. kwestię oznaczeń) oznacza się podprzestrzeń przestrzeni złożoną z niepustych podzbiorów zwartych przestrzeni [3], chociaż niektórzy autorzy symbol ten rezerwują do wyżej zdefiniowanej przestrzeni [2][4].
Związek z metryką Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]
Jeśli jest przestrzenią metryczną a jest metryką Hausdorffa na związaną z metryką to topologia Vietorisa jest zgodna z metryką Hausdorffa.
Wynika stąd następujący wniosek:
- Jeśli jest metryzowalna, to topologia Vietorisa na też jest metryzowalna.
Własności[edytuj | edytuj kod]
- Jeśli jest ośrodkowa, to też jest ośrodkowa. Istotnie, jeśli jest przeliczalnym gęstym podzbiorem to jest skończony, jest przeliczalnym gęstym podzbiorem
- Jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny, to też jest metryzowalna w sposób zupełny.
- Jeśli jest zwarta, to też jest zwarta.
- Jeśli jest zerowymiarowa, to też jest zerowymiarowa.
- Jeśli jest przestrzenią homeomorficzną ze zbiorem Cantora, to też jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora.
- Przestrzeń zawiera homeomorficzną kopię przestrzeni Istotnie, dla każdych dwóch funkcji mamy gdzie i to wykresy funkcji odpowiednio i
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Illanes, Nadler 1999 ↓, s. 3.
- ↑ a b Mizokami i Shimane 2004 ↓, s. 49.
- ↑ Illanes, Nadler 1999 ↓, s. 6.
- ↑ Engelking 1989 ↓, s. 120.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, s. 156, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-94374-9.
- Ryszard Engelking: General Topology. T. 6. Berlin: Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, 1989. ISBN 3-88538-006-4. OCLC 20464424.
- Takemi Mizokami, Norihito Shimane: Hyperspaces (b-6). W: red. K.P. Hart, J. Nagata, J.E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 2004, s. 49–52. ISBN 978-0-444-50355-8. OCLC 4934231474.
- A. Illanes, S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, „Pure and Applied Mathematics”, Marcel Dekker, Inc., New York, 1999.
- S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, „Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math.”, Vol. 49, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y., 1978.