Zbiór domknięty

Zbiór domknięty – w topologii, podzbiór przestrzeni topologicznej, którego dopełnienie jest zbiorem otwartym^[1]. W przestrzeniach topologicznych mogą istnieć podzbiory, które nie są ani domknięte ani otwarte. Na przykład, zbiór liczb wymiernych jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych (ze standardową topologią) nie jest ani otwarty ani domknięty.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Na prostej z metryką euklidesową przykładami zbiorów domkniętych są:
- przedziały domknięte,
- zbiory jednoelementowe,
- zbiory skończone,
- zbiór Cantora.
W dowolnej przestrzeni topologicznej zbiorami domkniętymi są zbiór pusty oraz cała przestrzeń, przy czym
- w przestrzeni antydyskretnej są to jedyne zbiory domknięte,
- w przestrzeni dyskretnej każdy inny podzbiór także jest zbiorem domkniętym.

Skończona suma zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
Dowolny iloczyn zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
W przestrzeni metrycznej zbiór $D$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu zbieżnego elementów z $D$ jego granica również należy do $D.$
W przestrzeni euklidesowej jeżeli zbiór domknięty jest dodatkowo ograniczony, to jest zwarty.

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Closed Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-09].

cechy zdefiniowane w dowolnej przestrzeni topologicznej	zbiór otwarty zbiór domknięty zbiór otwarto-domknięty zbiór brzegowy zbiór spójny spójny drogowo spójny łukowo jednospójny obszar zbiór borelowski zbiór gęsty zbiór nigdziegęsty zbiór wszędzie gęsty zbiór doskonały zbiór dyskretny zbiór zwarty continuum własność punktu stałego
cechy zdefiniowane w przestrzeniach metrycznych	zbiór ograniczony całkowicie ograniczony