Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji f ( x ) = sin ( x ) {\displaystyle {\color {BurntOrange}f(x)}={\color {BurntOrange}\sin(x)}} i g ( x ) = − 0 , 5 x : {\displaystyle {\color {Red}g(x)}={\color {Red}-0{,}5x}{:}} funkcja h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) {\displaystyle {\color {Brown}h(x)}={\color {BurntOrange}f(x)}/{\color {Red}g(x)}} jest nieokreślona w punkcie x = 0 , {\displaystyle x=0,} ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } z wykorzystaniem definicji h ( 0 ) = f ′ ( 0 ) / g ′ ( 0 ) = − 2. {\displaystyle {\color {Brown}h(0)}={\color {RoyalBlue}f'(0)}/{\color {Blue}g'(0)}=-2.} Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala [a] – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego , które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony .
Guillaume de l’Hospital Reguła ta została opisana po raz pierwszy przez Johanna Bernoulliego , opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala [a] . W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes , w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia[potrzebny przypis ] , niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.
Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:
Jeżeli funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a {\displaystyle a} oraz lim x → a f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0,} lim x → a g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0,} oraz istnieją (skończone) pochodne f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} i g ′ ( a ) , {\displaystyle g'(a),} przy czym g ′ ( a ) ≠ 0 , {\displaystyle g'(a)\neq 0,} wówczas lim x → a f ( x ) g ( x ) = f ′ ( a ) g ′ ( a ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.} Jeśli dodatkowo f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} mają ciągłe pochodne w punkcie a , {\displaystyle a,} to[1] : lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.} Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.
lim x → 0 e x − e − x ln ( e − x ) + x − 1 = lim x → 0 ( e x + e − x ) − 1 e − x + 1 = lim x → 0 ( e x + e − x ) − 1 + ( e − x ) e − x = lim x → 0 ( e x + e − x ) ( e − x ) − 1 + ( e − x ) = 2 e e − 1 . {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{{\tfrac {-1}{e-x}}+1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{\tfrac {-1+(e-x)}{e-x}}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}}={\tfrac {2e}{e-1}}.} Często zdarza się jednak, że funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} nie są określone w punkcie a , {\displaystyle a,} jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala :
Wersja podstawowa (dla granic w punkcie) [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} będą określone w przedziale ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} oraz
lim x → a + f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,} lim x → a + g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,} lub
lim x → a + f ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,} lim x → a + g ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,} oraz istnieją (skończone) pochodne f ′ {\displaystyle f'} i g ′ {\displaystyle g'} w przedziale ( a , b ] , {\displaystyle (a,b],} przy czym g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} dla x ∈ ( a , b ] . {\displaystyle x\in (a,b].}
Wówczas, jeśli istnieje granica
lim x → a + f ′ ( x ) g ′ ( x ) = K , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,} to wtedy również
lim x → a + f ( x ) g ( x ) = K . {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.} Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.
Wersja dla granic w nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} będą określone w przedziale [ c , ∞ ) {\displaystyle [c,\infty )} oraz
lim x → ∞ f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0,} lim x → ∞ g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0,} lub
lim x → ∞ f ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,} lim x → ∞ g ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,} oraz istnieją (skończone) pochodne f ′ {\displaystyle f'} i g ′ {\displaystyle g'} w przedziale [ c , ∞ ) , {\displaystyle [c,\infty ),} przy czym g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} dla x ∈ [ c , ∞ ) . {\displaystyle x\in [c,\infty ).}
Wówczas, jeśli istnieje granica
lim x → ∞ f ′ ( x ) g ′ ( x ) = K , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,} to wtedy również
lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) = K . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.} Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy x → − ∞ . {\displaystyle x\to -\infty .}
Wersja twierdzenia dla funkcji n -krotnie różniczkowalnych [ edytuj | edytuj kod ] Jeżeli funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} są określone w przedziale otwartym I {\displaystyle I} zawierającym punkt a {\displaystyle a} oraz
w przedziale I {\displaystyle I} istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do n {\displaystyle n} włącznie funkcji f {\displaystyle f} i g , {\displaystyle g,} f ( a ) = f ′ ( a ) = … = f ( n − 1 ) ( a ) = 0 , {\displaystyle f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,} g ( a ) = g ′ ( a ) = … = g ( n − 1 ) ( a ) = 0 , {\displaystyle g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,} oraz g ( n ) ( a ) ≠ 0 , {\displaystyle g^{(n)}(a)\neq 0,} g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} dla x ∈ I ∖ { a } , {\displaystyle x\in I\setminus \{a\},} wówczas
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( n ) ( x ) g ( n ) ( x ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}.}
↑ a b Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal]. Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , L'Hospital's Rule , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2022-06-20]. L'Hospital rule (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].