Przestrzeń Hewitta

Przestrzeń Hewitta (albo Q-przestrzeń; w literaturze anglojęzycznej realcompact space) – przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna z podzbiorem domkniętym produktu ${\displaystyle \kappa }$ kopii prostej rzeczywistej dla pewnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa .}$ Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka, Edwina Hewitta, który rozważał tego typu przestrzenie w swojej pracy z roku 1948^[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń Tichonowa ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje taka przestrzeń Tichonowa ${\displaystyle Y,}$ że

1. istnieje zanurzenie homeomorficzne ${\displaystyle r\colon X\to Y}$ takie, że ${\displaystyle r(X)\neq {\mbox{cl}}_{Y}r(X)=Y,}$
2. dla każdego przekształcenia ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ istnieje przekształcenie ${\displaystyle g\colon Y\to \mathbb {R} }$ takie, że ${\displaystyle g\circ r=f.}$

Z definicji przestrzeni Hewitta wynikają następujące własności:

• domknięty podzbiór przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
• produkt dowolnej rodziny przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
• granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
• przekrój rodziny podprzestrzeni będących przestrzeniami Hewitta, pewnej przestrzeni topologicznej jest przestrzenią Hewitta.

Inną charakteryzację tej klasy przestrzeni można podać w języku uzwarceń Čecha-Stone’a:

• przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ${\displaystyle x_{0}\in \beta X\setminus X}$ istnieje funkcja ${\displaystyle f\colon \beta X\to \mathbb {R} }$ taka, że ${\displaystyle f(x_{0})=0}$ oraz ${\displaystyle f(x)>0}$ dla ${\displaystyle x\in X.}$

Wnioskiem z tego twierdzenia jest następujący fakt:

• Każda przestrzeń Lindelöfa jest przestrzenią Hewitta.

Twierdzenie Hewitta[edytuj | edytuj kod]

Istnieje charakteryzacja klasy przestrzeni Hewitta w języku dwuwartościowych miar Baire’a. Jest to tzw. twierdzenie Hewitta:

• Przestrzeń Tichonowa jest przetrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy każda miara ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to \{0,1\}}$ jest miarą Diraca,

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ oznacza rodzinę podzbiorów ${\displaystyle X}$ o własności Baire’a. Nie każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta – np. miara Dieudonnégo, określona na ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\omega _{1}),}$ nie jest miarą Diraca. Ponadto, przestrzeń ${\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}$ jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą niemierzalną.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 266–274.