대수기하학에서 힐베르트 다항식(Hilbert多項式, 영어: Hilbert polynomial)은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.
체
위의 등급 벡터 공간
가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.


의 힐베르트 급수(Hilbert級數, 영어: Hilbert series) 또는 힐베르트-푸앵카레 급수(Hilbert-Poincaré級數, 영어: Hilbert–Poincaré series)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.
![{\displaystyle \operatorname {HS} _{S}(t)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(\dim _{K}S_{i})t^{i}\in \mathbb {Z} [[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175a155e11c2b043b0636ea323bc0256c6c8dcf0)
의 힐베르트 함수(Hilbert函數, 영어: Hilbert function)는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.[1]:42[2]:51


만약 다음 조건을 만족시키는 다항식
및 자연수
가 존재한다면, 이를
의 힐베르트 다항식이라고 한다.[1]:42[2]:52

위 조건을 만족시키는 최소의
를
의 힐베르트 정칙성(Hilbert正則性, 영어: Hilbert regularity)이라고 한다.
힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체
위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수
,
,
가 주어졌고, 이들이 등급
-가군의 짧은 완전열

을 이룬다면, 다음이 성립한다.


이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.
가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. 힐베르트-세르 정리(영어: Hilbert–Serre theorem)에 따르면,
는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.[1]:42, Theorem 1.11[2]:51, Theorem I.7.5
구체적으로, 생성원들이
라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서
는 양의 정수 계수의 다항식이다.

![{\displaystyle P_{S}=\sum _{i=0}^{\deg P_{S}}P_{i}t^{i}\in \mathbb {Z} [t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46389af39ff010f2aa4a2fe278e09c51ce351772)
만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

따라서,

이다. 이는
에 대한 다항식이므로,
![{\displaystyle \operatorname {HP} _{S}(t)=\sum _{j=0}^{\deg P_{S}}P_{j}{\frac {(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots (t-j)}{(h-1)!}}\in \mathbb {Q} [t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f8fb456e8efe006868e6052fa32888f47cb2ea)
로 놓으면

이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은
이하이다.
보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.
대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.
대수적으로 닫힌 체
위의
차원 사영 공간
![{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43986e5dfe7aa81296351f1c7c25f53e31a7de4e)
은 다항식 등급환
의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체
는 동차 아이디얼
에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체
![{\displaystyle X=\operatorname {Proj} (K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87003d945120ac21be9ebe0646d0fae6c7874d10)
의 동차 좌표환
의 힐베르트 다항식
는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.
의 (다항식으로서의) 차수는
의 차원과 같다.[2]:51, Theorem I.7.5
의 최고차항의 계수는
의 (대수다양체로서의) 차수와
의 차원의 계승 (수학)의 비이다.[2]:52–54 
대수적으로 닫힌 체
위의 비특이 대수다양체
위에 선다발
이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,
![{\displaystyle \chi ({\mathcal {L}}^{\otimes n})=\int _{X}\exp(c_{1}({\mathcal {L}}^{\otimes n})\operatorname {Td} (X)=\int _{X}\sum _{i=1}^{\dim X}{\frac {n^{i}}{i!}}c_{1}({\mathcal {L}})\operatorname {Td} (X)=P(n)\in \mathbb {Q} [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5445168d066fc715beff8e9c1189323249b78e)
이며,
은 차수
의 유리수 계수 다항식이다. 만약
이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰
에 대하여
이며, 또한 사영 공간으로의 매장


이 존재한다.
은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.[2]:170, Exercise II.7.6


이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은
의 오일러 지표가 된다.

보다 일반적으로, 만약
이 풍부한 선다발이라면, 여전히
은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.
뇌터 가환 국소환
의 유한 생성 가군
및
의 으뜸 아이디얼
가 주어졌을 때, 등급
-가군

을 정의하자. (여기서
로 정의한다.) 이 경우,
-가군을 가군의 길이로 측정한다면, 힐베르트-사뮈엘 함수(영어: Hilbert–Samuel function)

를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮈엘 다항식(영어: Hilbert–Samuel polynomial)이라고 한다.[1]:272, Proposition 12.2
힐베르트-사뮈엘 다항식
의 차수는
의 크룰 차원보다 1만큼 작다.[1]:274, Theorem 12.4

사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.[2]:52, Proposition I.7.6(c) 다항식환
![{\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c403f4d6df6ae4558d690d8e470913ca14b4d15)
에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.

따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.

대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는
차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.
다항식환
![{\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c403f4d6df6ae4558d690d8e470913ca14b4d15)
속에서,
차 동차다항식
로 생성되는 동차 아이디얼
에 대한 몫등급환
의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.[2]:52, Proposition I.7.6(d) 짧은 완전열

으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

이를 대수기하학적으로 해석하면
차 동차다항식의 영점 집합은
차원 사영 공간 속에서
차원
차 사영 대수다양체를 정의한다.
종수
의 비특이 대수 곡선
위의 매우 풍부한 선다발
을 통하여,
를 사영 공간에 매장하였다고 하자.


이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

여기서
은
을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.
산술 종수
의 대수 곡면
위에, 매우 풍부한 선다발
이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가
라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장


이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

여기서
는
의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수
이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는
과 표준 인자의 교차수의 절반이다.