힐베르트 다항식

대수기하학에서 힐베르트 다항식(Hilbert多項式, 영어: Hilbert polynomial)은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 등급 벡터 공간 ${\displaystyle S}$가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }S_{i}}$

${\displaystyle \dim _{K}S_{i}<\aleph _{0}\forall i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle S}$의 힐베르트 급수(Hilbert級數, 영어: Hilbert series) 또는 힐베르트-푸앵카레 급수(Hilbert-Poincaré級數, 영어: Hilbert–Poincaré series)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.

${\displaystyle \operatorname {HS} _{S}(t)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(\dim _{K}S_{i})t^{i}\in \mathbb {Z} [[t]]}$

${\displaystyle S}$의 힐베르트 함수(Hilbert函數, 영어: Hilbert function)는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.^[1]:42[2]:51

${\displaystyle \operatorname {HF} _{S}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {HF} _{S}\colon i\mapsto \dim _{K}S_{i}}$

만약 다음 조건을 만족시키는 다항식 ${\displaystyle \operatorname {HP} _{S}(t)\in \mathbb {Q} [t]}$ 및 자연수 ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$가 존재한다면, 이를 ${\displaystyle S}$의 힐베르트 다항식이라고 한다.^[1]:42[2]:52

${\displaystyle \operatorname {HP} _{S}(i)=\operatorname {HF} _{S}(i)\forall i\geq r}$

위 조건을 만족시키는 최소의 ${\displaystyle r}$를 ${\displaystyle S}$의 힐베르트 정칙성(Hilbert正則性, 영어: Hilbert regularity)이라고 한다.

힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$가 주어졌고, 이들이 등급 ${\displaystyle K}$-가군의 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

을 이룬다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {HS} _{A}(t)+\operatorname {HS} _{C}(t)=\operatorname {HS} _{B}(t)}$

${\displaystyle \operatorname {HP} _{A}(t)+\operatorname {HP} _{C}(t)=\operatorname {HP} _{B}(t)}$

이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

${\displaystyle S}$가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. 힐베르트-세르 정리(영어: Hilbert–Serre theorem)에 따르면, ${\displaystyle S}$는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.^{[1]:42, Theorem 1.11[2]:51, Theorem I.7.5}

구체적으로, 생성원들이 ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{h}\in S_{1}}$라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 ${\displaystyle P_{S}(t)}$는 양의 정수 계수의 다항식이다.

${\displaystyle \operatorname {HS} _{S}(t)=P_{S}(t)\prod _{k=1}^{h}(1-t^{\deg s_{i}})^{-1}}$

${\displaystyle P_{S}=\sum _{i=0}^{\deg P_{S}}P_{i}t^{i}\in \mathbb {Z} [t]}$

만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {HS} _{S}(t)={\frac {P_{S}(t)}{(1-t)^{h}}}=P_{S}(t)\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {i+h-1}{h-1}}t^{i}}$

따라서,

${\displaystyle \operatorname {HF} _{S}(i)=\sum _{j=0}^{\deg P_{S}}P_{j}{\binom {i-j+h-1}{h-1}}}$

이다. 이는 ${\displaystyle i}$에 대한 다항식이므로,

${\displaystyle \operatorname {HP} _{S}(t)=\sum _{j=0}^{\deg P_{S}}P_{j}{\frac {(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots (t-j)}{(h-1)!}}\in \mathbb {Q} [t]}$

로 놓으면

${\displaystyle \operatorname {HF} _{S}(i)=\operatorname {HP} _{S}(i)\quad \forall i\geq \deg P_{S}+1-h}$

이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 ${\displaystyle \deg P_{S}+1-h}$ 이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n}$차원 사영 공간

${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$

은 다항식 등급환 ${\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]}$의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 ${\displaystyle \operatorname {Proj} (K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I)}$는 동차 아이디얼 ${\displaystyle I\subset K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I)}$

의 동차 좌표환 ${\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$의 힐베르트 다항식 ${\displaystyle \operatorname {HP} _{X}}$는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.

• ${\displaystyle \operatorname {HP} _{X}}$의 (다항식으로서의) 차수는 ${\displaystyle X}$의 차원과 같다.^{[2]:51, Theorem I.7.5}
• ${\displaystyle \operatorname {HP} _{X}}$의 최고차항의 계수는 ${\displaystyle X}$의 (대수다양체로서의) 차수와 ${\displaystyle X}$의 차원의 계승 (수학)의 비이다.^[2]:52–54

  ${\displaystyle \operatorname {HP} _{X}(d)={\frac {\deg X}{(\dim X)!}}d^{\dim X}+{\mathcal {O}}(d^{\dim X-1})}$

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 비특이 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위에 선다발 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,

${\displaystyle \chi ({\mathcal {L}}^{\otimes n})=\int _{X}\exp(c_{1}({\mathcal {L}}^{\otimes n})\operatorname {Td} (X)=\int _{X}\sum _{i=1}^{\dim X}{\frac {n^{i}}{i!}}c_{1}({\mathcal {L}})\operatorname {Td} (X)=P(n)\in \mathbb {Q} [n]}$

이며, ${\displaystyle P(n)}$은 차수 ${\displaystyle \dim X}$의 유리수 계수 다항식이다. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=0\forall i>0}$이며, 또한 사영 공간으로의 매장

${\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{k}}$

${\displaystyle \iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {L}}}$

이 존재한다. ${\displaystyle P(n)}$은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.^{[2]:170, Exercise II.7.6}

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)\qquad \forall n}$

${\displaystyle \dim \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n}=\chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)\qquad \forall n\gg 1}$

이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 ${\displaystyle X}$의 오일러 지표가 된다.

${\displaystyle \chi (X)=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(0)}$

보다 일반적으로, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 풍부한 선다발이라면, 여전히 ${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

뇌터 가환 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$의 유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle R}$의 으뜸 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$가 주어졌을 때, 등급 ${\displaystyle R}$-가군

${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }{\mathfrak {q}}^{i}M/{\mathfrak {q}}^{i+1}M}$

을 정의하자. (여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{0}=R}$로 정의한다.) 이 경우, ${\displaystyle R}$-가군을 가군의 길이로 측정한다면, 힐베르트-사뮈엘 함수(영어: Hilbert–Samuel function)

${\displaystyle \operatorname {HF} _{M}^{\mathfrak {q}}(i)=\operatorname {length} \left({\mathfrak {q}}^{i}M/{\mathfrak {q}}^{i+1}M\right)}$

를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮈엘 다항식(영어: Hilbert–Samuel polynomial)이라고 한다.^{[1]:272, Proposition 12.2}

힐베르트-사뮈엘 다항식 ${\displaystyle \operatorname {HP} _{M}^{\mathfrak {q}}(t)}$의 차수는 ${\displaystyle M}$의 크룰 차원보다 1만큼 작다.^{[1]:274, Theorem 12.4}

${\displaystyle \deg \operatorname {HP} _{M}^{\mathfrak {q}}(t)=\dim M-1}$

사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.^{[2]:52, Proposition I.7.6(c)} 다항식환

${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$

에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \dim _{K}R_{d}={\binom {n+d}{n}}={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)}$

따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.

${\displaystyle \operatorname {HP} _{R}(d)={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)={\frac {1}{n!}}d^{n}+\cdots }$

대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 ${\displaystyle n}$차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

다항식환

${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$

속에서, ${\displaystyle k}$차 동차다항식 ${\displaystyle f\in R_{k}}$로 생성되는 동차 아이디얼 ${\displaystyle (f)}$에 대한 몫등급환 ${\displaystyle R/(f)}$의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.^{[2]:52, Proposition I.7.6(d)} 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to R(-k){\xrightarrow {\cdot f}}R\to R/(f)\to 0}$

으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {HP} (d)=\dim _{K}(R/(f))_{d}=\dim _{K}R_{d}-\dim _{K}R_{d-k}={\binom {n+d}{n}}-{\binom {n+d-k}{n}}={\frac {k}{(n-1)!}}d^{n-1}+{\mathcal {O}}(d^{n-2})}$

이를 대수기하학적으로 해석하면 ${\displaystyle k}$차 동차다항식의 영점 집합은 ${\displaystyle n}$차원 사영 공간 속에서 ${\displaystyle n-1}$차원 ${\displaystyle k}$차 사영 대수다양체를 정의한다.

종수 ${\displaystyle g}$의 비특이 대수 곡선 ${\displaystyle C}$ 위의 매우 풍부한 선다발 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$을 통하여, ${\displaystyle C}$를 사영 공간에 매장하였다고 하자.

${\displaystyle \iota \colon C\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)}$

이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {HF} _{C}(t)=(\deg {\mathcal {L}})t+(g-1)}$

여기서 ${\displaystyle \deg {\mathcal {L}}}$은 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

산술 종수 ${\displaystyle p_{\text{a}}=\chi (X;{\mathcal {O}}_{X})-1}$의 대수 곡면 ${\displaystyle X}$ 위에, 매우 풍부한 선다발 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가 ${\displaystyle D}$라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장

${\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{\dim \Gamma (X,{\mathcal {L}})-1}}$

${\displaystyle \iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {L}}}$

이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)=\chi (X;{\mathcal {L}}^{\otimes n})={\frac {1}{2}}n^{2}D.D-{\frac {1}{2}}nD.K+p_{\text{a}}(X)+1}$

여기서 ${\displaystyle K_{X}}$는 ${\displaystyle X}$의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 ${\displaystyle D.D}$이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 ${\displaystyle \iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)}$과 표준 인자의 교차수의 절반이다.

• 힐베르트 스킴

• Schenck, Hal (2003). 《Computational Algebraic Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53650-9. MR 011360. 
• Stanley, Richard (1978). 《Hilbert functions of graded algebras》. 《Advances in Mathematics》 (영어) 28. 57–83쪽. doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2. MR 0485835. 

• Danilov, V.I. (2001). “Hilbert polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Siegel, Charles (2008년 1월 9일). “The Hilbert polynomial”. 《Rigorous Trivialities》 (영어). 
• Siegel, Charles (2008년 10월 9일). “The Hilbert polynomial explained”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).