리만-로흐 정리

대수기하학에서 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

${\displaystyle M}$이 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. ${\displaystyle M}$ 위의 인자는 ${\displaystyle M}$의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 ${\displaystyle D}$는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle D=\sum _{i}n_{i}x_{i}}$ (${\displaystyle x_{i}\in M}$, ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} }$)

인자의 차수(degree)는 다음과 같다.

${\displaystyle \deg \sum _{i}n_{i}x_{i}=\sum _{i}n_{i}}$.

${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle M}$ 위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) ${\displaystyle \alpha }$는 극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이 ${\displaystyle p_{i}}$이고, 그 차수가 각각 ${\displaystyle -n(p_{i})}$라고 하자. 영점들이 ${\displaystyle q_{j}}$이고, 그 차수가 각각 ${\displaystyle n(q_{j})}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \alpha }$의 인자를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {div} (\alpha )=\sum _{i}n(p_{i})p_{i}+\sum _{j}n(q_{j})q_{j}}$.

유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자(canonical divisor)라고 한다.

인자 ${\displaystyle D}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {div} (f)+D}$의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 ${\displaystyle f}$들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 ${\displaystyle I(D)}$라고 하자.

${\displaystyle D}$가 ${\displaystyle M}$ 위의 인자이고, ${\displaystyle K}$가 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D+\chi (M)/2}$.

여기서 ${\displaystyle \chi (M)}$은 ${\displaystyle M}$의 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) ${\displaystyle g}$로 쓰면

${\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D-g+1}$

이다.

인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 ${\displaystyle M}$ 위에 정칙 선다발 ${\displaystyle L}$이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 (${\displaystyle L}$ 계수 돌보 코호몰로지) ${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))}$을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 ${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{k}=h^{k}}$로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \chi (M,L)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))=\deg L-g+1}$

(여기서 ${\displaystyle \chi (M,L)}$은 ${\displaystyle L}$의 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))^{*}\cong \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L^{-1}\otimes K))}$

따라서, ${\displaystyle L}$에 대응하는 인자류가 ${\displaystyle [D]}$라고 한다면

${\displaystyle h^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))=I(D)}$

${\displaystyle h^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))=I(K-D)}$

가 된다.

보다 일반적으로, 리만 곡면 ${\displaystyle M}$ 위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.

${\displaystyle \chi (M,E)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,E)=\deg E+(1-g)\operatorname {rk} E}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {rk} E}$는 ${\displaystyle E}$의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.)
• 정칙 벡터 다발의 차수는 ${\displaystyle \deg E=\deg(E^{\wedge \operatorname {rk} E})}$이다. 여기서 ${\displaystyle E^{\wedge \operatorname {rk} E}}$는 ${\displaystyle E}$의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다.

${\displaystyle x}$가 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 ${\displaystyle I(D)}$는 다음과 같다.

종수	${\displaystyle D=0}$	${\displaystyle D=x}$	${\displaystyle D=2x}$	${\displaystyle D=3x}$	${\displaystyle D=4x}$	${\displaystyle D=5x}$	…	${\displaystyle I(nx)}$의 생성원 (${\displaystyle n\geq g}$)
0 (리만 구)	1	2	3	4	5	6	…	${\displaystyle 1,z^{-1},\dots ,z^{-n}}$
1 (타원 곡선)	1	1	2	3	4	5	…	타원 함수 ${\displaystyle \wp ,\dots ,\wp ^{\lfloor n/2\rfloor },\wp \wp ',\dots ,\wp ^{\lfloor n-3\rfloor }\wp '}$
2	1	1	1	2	3	4	…
3	1	1	1	1	2	3	…

${\displaystyle g\geq 2}$이며 ${\displaystyle \deg D\leq g}$인 경우, 특수한 점에서 ${\displaystyle I(D)}$가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 ${\displaystyle I(K-D)>g-\deg D}$이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어, ${\displaystyle g=2}$인 경우 ${\displaystyle I(2x)=2}$인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수가 ${\displaystyle g}$인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 ${\displaystyle K}$의 차수가 ${\displaystyle \deg K=2g-2}$임을 보일 수 있다.

1. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, ${\displaystyle I(0)=1}$이다. 물론 ${\displaystyle \deg(0)=0}$이다.
2. ${\displaystyle D=0}$으로 놓자. 그렇다면 ${\displaystyle 1-I(K)=-g+1}$이다. 즉, ${\displaystyle I(K)=g}$이다.
3. ${\displaystyle D=K}$로 놓자. 그렇다면 ${\displaystyle I(K)-1=\deg K-g1}$이다. 즉, ${\displaystyle \deg K=2g-2}$이다.

예를 들어, ${\displaystyle g=0}$인 경우인 리만 구 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$를 생각하자. 이 경우, 각 차수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$가 존재하며, 그 단면의 차원은

${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\max\{k+1,0\}}$

${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2-k))=\max\{-k-1,0\}}$

이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.

• 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우, ${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(1))=1}$이다. 이는 상수 함수 ${\displaystyle f(z)=1}$에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수는 상수 함수 밖에 없다.)
• 2차 선다발은 정칙 접다발 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)\cong \mathrm {T} \mathbb {P} ^{1}}$이다. (예를 들어, 벡터장 ${\displaystyle \partial /\partial z}$는 ${\displaystyle w=1/z}$에서 ${\displaystyle -w^{2}\partial /\partial w}$가 된다.) 이 경우, ${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))=3}$이며, 그 기저는 ${\displaystyle \{\partial /\partial z,z\partial /\partial z,z^{2}\partial /\partial z\}}$이다.
• −2차 선다발은 표준 선다발 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)\cong \mathrm {T} ^{*}\mathbb {P} ^{1}}$이다. (예를 들어, 복소수 미분 형식 ${\displaystyle \mathrm {d} z}$는 ${\displaystyle w=1/z}$에서 ${\displaystyle -w^{-2}\mathrm {d} w}$가 된다.) 이 경우, ${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0}$이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면 ${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=1}$이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량 ${\displaystyle (1+z{\bar {z}})^{-2}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}}$로 주어진다.
• 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는 ${\displaystyle \textstyle \{{\sqrt {\partial /\partial z}},z{\sqrt {\partial /\partial z}}\}}$이다.

대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.^{[1]:362–363} 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle k}$에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(영어: complete) 대수다양체) ${\displaystyle X}$ 위에 베유 인자 ${\displaystyle D}$가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표를 ${\displaystyle \chi (D)}$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \chi (D)=1+p_{\text{a}}(X)+{\frac {1}{2}}D.(D-K(X))}$

여기서 ${\displaystyle K(X)}$는 ${\displaystyle X}$의 표준 인자이고, ${\displaystyle D.D'}$는 두 인자 사이의 교차수(영어: intersection number)이며, ${\displaystyle p_{\text{a}}}$는 ${\displaystyle X}$의 산술종수이다.

곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리나 그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 ${\displaystyle I(K-D)}$를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다.^[2] 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.^[3] 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

• 그로텐디크-리만-로흐 정리
• 히르체브루흐-리만-로흐 정리

• “Riemann-Roch theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemann-Roch theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.