프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.

가환환 ${\displaystyle R}$의 환의 표수가 ${\displaystyle p>0}$이며, ${\displaystyle p}$가 소수라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle R}$의 프로베니우스 사상 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{R}\colon R\to R}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{R}\colon r\mapsto r^{p}}$

이는 환 준동형을 이룬다. 이는

${\displaystyle (r+s)^{p}=\sum _{i=0}^{p}{\binom {p}{i}}r^{i}s^{p-i}=r^{p}+s^{p}\qquad \forall r,s\in R\qquad \left(\because p\mid {\binom {p}{i}}\qquad \forall 1\leq i\leq p-1\right)}$

이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, ${\displaystyle (1+1)^{p}=2^{p}\neq 2=1^{p}+1^{p}}$이다).

소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌을 때, 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 위의 스킴 ${\displaystyle X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle X}$의 임의 아핀 부분 스킴 ${\displaystyle U}$에 대하여, ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$는 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$-스킴 사상 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{X}\colon X\to X}$을 ${\displaystyle X}$의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.^{[1]:94, Definition 3.2.21} 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{/\mathbb {F} _{p}}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}\Rightarrow \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}}$는 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$-스킴의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}$의 항등 함자이다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$-스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 스킴 ${\displaystyle f\colon X\to S}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle S}$의 절대 프로베니우스 사상 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}\colon S\to S}$와의 올곱을 취하면

${\displaystyle X^{(p/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}}$

를 정의할 수 있다. 이는 함자

${\displaystyle \operatorname {Sch} /S\to \operatorname {Sch} /S}$

를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대(영어: extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {a} ,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X}$

을 산술 프로베니우스 사상(영어: arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} }{\to }}&S\end{matrix}}}$

만약 ${\displaystyle S}$의 절대 프로베니우스 사상 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}\colon S\to S}$이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, ${\displaystyle S}$가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}^{-1}}$에 대한 올곱

${\displaystyle X^{(p^{-1}/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}}$

을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X}$

을 기하 프로베니우스 사상(영어: geometric Frobenius morphism)이라고 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p^{-1}/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{g}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} ^{-1}}{\to }}&S\end{matrix}}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$-스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 스킴 ${\displaystyle f\colon X\to S}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{/S}\colon X\to X^{(p/S)}}$이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&X\\&{\scriptstyle f}\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !&\searrow \scriptstyle {\operatorname {Frob} }\\S&\leftarrow &X^{(p/S)}&{\underset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\&\scriptstyle {\operatorname {Frob} }\searrow &&\swarrow \scriptstyle f\\&&S\end{matrix}}}$

이를 상대 프로베니우스 사상(영어: relative Frobenius morphism)이라고 한다.^{[1]:94, Definition 3.2.23} 이는 자연 변환

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{/S}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}\to \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}}$

을 이룬다.

물론, ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}$라면 (또는 보다 일반적으로 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{S}=\operatorname {id} _{S}}$라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

소수 표수의 가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 ${\displaystyle R}$가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 ${\displaystyle K}$가 완전체인 것이다.

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).

${\displaystyle a^{p}=a\qquad \forall a\in \mathbb {F} _{p}}$

양의 표수 ${\displaystyle p>0}$의 체 ${\displaystyle K/\mathbb {F} _{p}}$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 ${\displaystyle x^{p}-x\in K[x]}$의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 ${\displaystyle p}$차 다항식의 근의 수는 ${\displaystyle p}$개 이하이며, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\subseteq K}$는 이미 ${\displaystyle p}$개의 근을 이루므로, ${\displaystyle K}$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$이다. 보다 일반적으로, 양의 표수 ${\displaystyle p>0}$의 정역 ${\displaystyle D}$에 대해서, 항상 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} D\supseteq D\supseteq \mathbb {F} _{p}}$를 취할 수 있으므로, 표수 ${\displaystyle p}$의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$이다.

${\displaystyle \{a\in D\colon a^{p}=a\}=\mathbb {F} _{p}}$

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$의 유한 확대 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$의 갈루아 군은 순환군이다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n}$

프로베니우스 자기 동형

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{n}}}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})}$

은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$의 유한 확대 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{p^{m}}}$의 갈루아 군은 순환군

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{p^{m}})\cong \mathbb {Z} /n}$

이며, 프로베니우스 자기 동형의 ${\displaystyle m}$제곱

${\displaystyle \overbrace {\operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}\circ \cdots \circ \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}} ^{m}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{m})}$

은 그 생성원을 이룬다.

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ 위의 스킴 ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p^{n}}}$가 주어졌다고 하자. 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$은 완전체이므로 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, ${\displaystyle X^{(p/\mathbb {F} _{p^{n}})}}$ 및 ${\displaystyle X^{(p^{-1}/\mathbb {F} _{p^{n}})}}$은 ${\displaystyle X}$와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 ${\displaystyle X}$ 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$-점들의 집합 ${\displaystyle X(\mathbb {F} _{p^{n}})}$ 위에는 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n}$(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {\operatorname {Frob} }}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)}$

또한, ${\displaystyle X(\mathbb {F} _{p^{n}})}$ 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X{\xrightarrow {\operatorname {Frob_{a}} }}X)}$

이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {a} ,X/\mathbb {F} _{p^{n}}}\colon (X^{(p/\mathbb {F} _{p^{n}})}\cong X)\to X}$은 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$-점의 집합 위의 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n}$의 작용을 나타낸다.

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 위의 스킴 ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\bar {X}}=X\otimes _{\mathbb {F} _{p}}\operatorname {Spec} {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ 위의 작은 에탈 위치 ${\displaystyle {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}$를 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$ 위의 상대 프로베니우스 사상

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}}$

과 기하 프로베니우스 사상

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}X\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}}$

은 토포스 ${\displaystyle {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}$ 위의 같은 기하학적 사상

${\displaystyle f\colon \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}=\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}\colon {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }\to {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}$을 유도한다.

특히, ${\displaystyle {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}$ 위의 아벨 군 값의 층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}=\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}\colon \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};{\mathcal {F}})\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};f^{*}{\mathcal {F}})}$

대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소(영어: Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 비아르키메데스 국소체 ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle K}$ 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 ${\displaystyle L/K}$

대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$의 유일한 극대 아이디얼을 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$라고 하고, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 유일한 극대 아이디얼을 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}$라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$는 둘 다 유한체이며,

${\displaystyle [{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}]=[L:K]}$

이다. (여기서 ${\displaystyle [:]}$는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{L/K}\in \operatorname {Gal} \left({\frac {{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}{{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}}\right)}$

가 존재하며, 이를 ${\displaystyle L/K}$의 프로베니우스 원소라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{L/K}(x)\equiv x^{|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}|}{\pmod {\mathfrak {P}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{L}}$

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$가 갈루아 확대인 대수적 수체 ${\displaystyle K}$
• 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}_{K})}$ (${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$는 대수적 정수환). 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid p}$이며, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid p}$가 비분기라고 하자.

${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$은 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$를 고정시킨다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에서의 분해군(영어: decompsition group)

${\displaystyle G_{\mathfrak {p}}=\{g\in \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\colon g\cdot {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\}}$

은 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$ 전체이다.

이 경우,

${\displaystyle g(x)\equiv x^{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}}$

를 만족시키는 유일한 원소

${\displaystyle g\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} _{p})}$

가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$의 프로베니우스 원소 ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} _{p})}$라고 한다.

유한체 계수의 유리 함수체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}$의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, ${\displaystyle t}$는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}$는 완전체가 아니다.

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.^[2]

• 완전체

• “Frobenius endomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Frobenius automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius automorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Frobenius morphism”. 《nLab》 (영어). 
• Ben-Zvi, David. “The Frobenius page” (영어). 
• 이철희. “프로베니우스 원소”. 《수학노트》. 
• “Geometric vs arithmetic Frobenius” (영어). Math Overflow. 2016년 4월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 10일에 확인함.