설리번 대수

호모토피 이론에서 설리번 대수(Sullivan代數, 영어: Sullivan algebra)는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다. 이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분(즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 유리수 호모토피 이론(有理數homotopy理論, 영어: rational homotopy theory)이라고 한다.^[1][2]

체 ${\displaystyle K}$ 위의 설리번 대수 ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^{[3]:Definition 1.10}

• 정렬 집합 ${\displaystyle (B,\leq )}$. 이로부터 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}B}$을 정의할 수 있다.
• 함수 ${\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }$. 이로부터 등급 벡터 공간 ${\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}$, ${\displaystyle \textstyle V_{i}=\operatorname {Span} \{b\in B\colon \deg b=i\}}$을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$를 정의할 수 있으며, 이는 가환 ${\displaystyle K}$-등급 대수를 이룬다.
• 함수 ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon B\to \bigwedge (V)}$. 이는 선형성 및 곱 규칙을 사용하여 미분 연산 ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)}$로 연장된다.

이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 ${\displaystyle b\in B}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} b\in \bigwedge (\operatorname {Span} _{K}\{c\in B\colon c<b\})}$이다.
• ${\displaystyle \textstyle (\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm {d} )}$는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

설리번 대수 ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 최소 설리번 대수(最少Sullivan代數, 영어: minimal Sullivan algebra)라고 한다.

${\displaystyle \deg \colon (B,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}$는 증가 함수이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle b,c\in B}$에 대하여 ${\displaystyle b\leq c}$라면 ${\displaystyle \deg b\leq \deg c}$이다.^{[3]:Definition 1.10}

보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 가환 미분 등급 대수 ${\displaystyle A}$ 위의 상대 설리번 대수(相對Sullivan代數, 영어: relative Sullivan algebra)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 정렬 집합 ${\displaystyle (B,\leq )}$. 이로부터 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}B}$을 정의할 수 있다.
• 함수 ${\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }$. 이로부터 등급 벡터 공간 ${\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}$, ${\displaystyle \textstyle V_{i}=\operatorname {Span} \{b\in B\colon \deg b=i\}}$을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$를 정의할 수 있으며, 이는 가환 ${\displaystyle K}$-등급 대수를 이룬다.
• 함수 ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon B\to A\otimes _{K}\bigwedge (V)}$. 이를 선형성 및 곱 규칙에 따라 ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon A\otimes _{K}\bigwedge (V)\to A\otimes _{K}\bigwedge (V)}$로 연장시킬 수 있다.

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 ${\displaystyle a\in A}$ 및 ${\displaystyle b\in B}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} b\in A\otimes _{K}\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}\{c\in B\colon c<b\})}$이다.
• ${\displaystyle \textstyle (A\otimes _{K}\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm {d} )}$는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이 정의에서, 만약 ${\displaystyle \deg \colon (B,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}$가 증가 함수라면, 이를 최소 상대 설리번 대수(最小相對Sullivan代數, 영어: minimal relative Sullivan algebra)라고 한다.

설리번 대수는 ${\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)}$ 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 ${\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)}$ 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.

가환 미분 등급 대수 ${\displaystyle A}$에 대한 임의의 상대 설리번 대수 ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}$에 대하여, 임의의 ${\displaystyle b\in B}$에 대하여, ${\displaystyle B'=\{b'\in B\colon b'<b\}}$를 정의하면, ${\displaystyle (B',\leq \upharpoonright B'^{2},\deg \upharpoonright B',\mathrm {d} \upharpoonright B')}$ 역시 ${\displaystyle A}$ 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 ${\displaystyle \upharpoonright }$은 함수의 제한을 뜻한다.)

또한, 만약 ${\displaystyle B}$가 최소 상대 설리번 대수라면 ${\displaystyle B'}$ 역시 최소 상대 설리번 대수이다.

집합 ${\displaystyle B}$ 및 함수

${\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }$

및 임의의 함수

${\displaystyle \mathrm {d} \colon B\to V=\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}B)}$

가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여

${\displaystyle \mathrm {d} \colon V\to V}$

로 연장시킬 수 있다. ${\displaystyle (V,\mathrm {d} ,\wedge )}$가 미분 등급 대수를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{[3]:Remark 1.11}

• 만약 ${\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2}$라면, ${\displaystyle B}$ 위에는 항상 ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}$가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 ${\displaystyle \leq }$를 부여할 수 있다.
• 만약 ${\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2}$이며, 임의의 ${\displaystyle b\in B}$에 대하여 ${\displaystyle \mathrm {d} b\in \textstyle \bigoplus _{n\geq 2}(\operatorname {Span} _{K}B)^{\wedge n}}$이라면 (즉, ${\displaystyle \mathrm {d} b}$가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합이라면), ${\displaystyle B}$ 위에는 항상 ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}$가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 ${\displaystyle \leq }$를 부여할 수 있다.

또한, 만약 ${\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2}$일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.

임의의 단체 복합체(와 호모토피 동치인 위상 공간) ${\displaystyle X}$에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 ${\displaystyle A_{\text{PL}}(X)}$를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. 형식적 공간(영어: formal space)은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 유리수 호모토피 동치(영어: rational homotopy equivalence)와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수가 설리번 대수 ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}$와 유사동형이라고 하자. 또한, ${\displaystyle X}$가 멱영 공간이라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \operatorname {Span} _{\mathbb {Q} }\deg ^{-1}(i)}$

즉, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle i}$차 호모토피 군의 계수는 차수 ${\displaystyle i}$를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.

코호몰로지

${\displaystyle \bigoplus _{i}\operatorname {H} ^{i}(X)}$

의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 ${\displaystyle X}$는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.

• 타원형(영어: elliptic): ${\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus _{i}\pi _{i}(X)<\infty }$
• 쌍곡형(영어: hyperbolic): ${\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus _{i}\pi _{i}(X)=\infty }$

타원형 최소 설리번 대수 ${\displaystyle X}$에 대하여, 그 생성원의 차수들이

${\displaystyle 2a_{1},2a_{2},\dotsc ,2a_{p}}$

및

${\displaystyle 2b_{1}-1,2b_{2}-2,\dotsc ,2b_{q}-1}$

라고 하자. 즉, ${\displaystyle p}$개의 짝수 차수 생성원과 ${\displaystyle q}$개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{[3]:Theorem 2.27}

${\displaystyle \sum _{i}(2b_{i}-1)-\sum _{j}(2a_{j}-1)=\operatorname {fdim} X}$

${\displaystyle \sum _{j}a_{j}\leq {\frac {1}{2}}\operatorname {fdim} X}$

${\displaystyle \sum _{i}(2b_{i}-1)\leq 2(\operatorname {fdim} X)-1}$

${\displaystyle p\leq q}$

여기서

${\displaystyle \operatorname {fdim} X=\max\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {H} ^{n}(X)\neq 0\}}$

은 ${\displaystyle X}$의 형식적 차원(영어: formal dimension)이다.

쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.

• 호모토피 군들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉, ${\displaystyle \forall n\geq N\colon \sum _{i}^{n}\pi _{n}(X)\geq C^{n}}$이 되는 실수 ${\displaystyle C>1}$ 및 자연수 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$이 존재한다.^{[3]:Theorem 2.33}
• 임의의 ${\displaystyle k\geq 1}$에 대하여, ${\displaystyle \pi _{i}(X)\neq 0}$이며 ${\displaystyle k<i<k+n}$인 ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$가 존재한다.^{[3]:Theorem 2.34}
• 임의의 ${\displaystyle k\gg 1}$에 대하여, ${\displaystyle \forall n\geq N\colon \sum _{i=k+1}^{k+n-1}\dim \pi _{i}(X)\geq {\frac {\dim \pi _{k}(X)}{\dim \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}}}$인 ${\displaystyle k<i<k+n}$가 존재한다.^{[3]:Theorem 2.34}

임의의 정렬 집합 ${\displaystyle (B,\leq )}$ 및 임의의 증가 함수

${\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }$

에 대하여, 자명한 미분

${\displaystyle \mathrm {d} b=0}$

을 부여하자. 그렇다면, ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,0)}$은 최소 설리번 대수를 이룬다.

특히, ${\displaystyle B=\varnothing }$일 때, ${\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)}$은 ${\displaystyle K}$ 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.

${\displaystyle n}$차원 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {S} ^{n})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}}$

따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 ${\displaystyle n}$의 생성원 ${\displaystyle a}$ 하나만을 가지며, 이 경우 ${\displaystyle \mathrm {d} a=0}$이다.^{[2]:259–260, Example 19.1} 즉,

${\displaystyle B=\{a\}}$

${\displaystyle \deg \colon a\mapsto 1}$

${\displaystyle \mathrm {d} a=0}$

이다.

짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 ${\displaystyle n}$의 생성원 ${\displaystyle a}$를 가지지만, ${\displaystyle a}$가 짝수 차수를 가지므로 ${\displaystyle a^{2}\neq 0}$이다. 따라서, ${\displaystyle a^{2}}$가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해, ${\displaystyle 2n-1}$차의 생성원 ${\displaystyle b}$를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.^{[2]:260, Example 19.2}

${\displaystyle B=\{a,b\}}$

${\displaystyle a<b}$

${\displaystyle \deg \colon a\mapsto n}$

${\displaystyle \deg \colon b\mapsto 2n-1}$

${\displaystyle \mathrm {d} a=0}$

${\displaystyle \mathrm {d} b=a^{2}}$

이에 따라, 초구의 호모토피 군의 계수를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)

복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$의 유리수 계수 코호몰로지는

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {CP} ^{n})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,2,\dots ,2n\\0&k\neq 0,2,\dots ,2n\end{cases}}}$

이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.^{[2]:260, Example 19.3}

${\displaystyle B=\{a,b\}}$

${\displaystyle a<b}$

${\displaystyle \deg a=2}$

${\displaystyle \deg b=2n+1}$

${\displaystyle \mathrm {d} a=0}$

${\displaystyle \mathrm {d} b=a^{n+1}}$

무한 차원 복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 ${\displaystyle b}$가 없어져 더 간단하다.

${\displaystyle \deg a=2}$

${\displaystyle \mathrm {d} a=0}$

형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.

${\displaystyle B=\{a,b,x,y\}}$

${\displaystyle a<b<x<y}$

${\displaystyle \deg a=2,\quad \deg b=\deg x=3,\quad \deg y=4}$

${\displaystyle \mathrm {d} a=\mathrm {d} b=0,\qquad \mathrm {d} x=a^{2},\qquad \mathrm {d} y=ab}$

이 설리번 대수의 코호몰로지는 ${\displaystyle [a]}$, ${\displaystyle [b]}$, ${\displaystyle [xb-ay]}$로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 ${\displaystyle f}$는 차수의 제약에 따라

${\displaystyle f(a)\propto [a]}$

${\displaystyle f(y)=0}$

${\displaystyle f(b)\propto [b]}$

${\displaystyle f(x)\propto [b]}$

가 되는데, 따라서

${\displaystyle f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0}$

이 된다. 따라서, ${\displaystyle f}$는 유사동형이 될 수 없다.

다음과 같은 구성을 생각하자.

${\displaystyle B=\{x,y,z\}}$

${\displaystyle \deg x=\deg y=\deg z=1}$

${\displaystyle V=\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}B)}$

${\displaystyle \mathrm {d} x=yz}$

${\displaystyle \mathrm {d} y=zx}$

${\displaystyle \mathrm {d} z=xy}$

이는 가환 미분 등급 대수를 이루며, ${\displaystyle V}$는 ${\displaystyle B}$로 생성되는 외대수이지만, ${\displaystyle B}$ 위에는 ${\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}$가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 ${\displaystyle \leq }$를 줄 수 없으며, ${\displaystyle \operatorname {Span} _{K}B}$의 다른 기저를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.^{[3]:Example 1.12}

데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.^[4]

• “Rational homotopy theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sullivan minimal model”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Rational homotopy theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Rational topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Rationalization”. 《nLab》 (영어). 
• “Rational homotopy equivalence”. 《nLab》 (영어). 
• “Sullivan model”. 《nLab》 (영어). 
• “Real homotopy theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on dg-algebras”. 《nLab》 (영어).