에어리 함수의 그래프 수학 에서 에어리 함수 (Airy function )는 특수 함수 의 한 종류다. 두 개가 있으며, 기호는 Ai와 Bi다. 조지 비델 에어리 가 광학을 연구하기 위해 1838년에 도입하였다.[ 1]
다음과 같은 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 상미분 방정식 을 에어리 미분 방정식 (Airy differential equation )이라고 한다.
f ″ ( x ) = x f ( x ) {\displaystyle f''(x)=xf(x)} 에어리 함수 는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해로, 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 선형결합 이다. 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.
Ai ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ cos ( t 3 / 3 + x t ) d t {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(t^{3}/3+xt)\,dt} Bi ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ [ exp ( − 1 3 t 3 + x t ) + sin ( 1 3 t 3 + x t ) ] d t {\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\right]\,dt} x ≫ 1 {\displaystyle x\gg 1}
A i ( x ) ≈ exp ( − 2 3 x 3 / 2 ) 2 π x 1 / 4 {\displaystyle Ai(x)\approx {\frac {\exp(-{\frac {2}{3}}x^{3/2})}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} B i ( x ) ≈ exp ( 2 3 x 3 / 2 ) π x 1 / 4 {\displaystyle Bi(x)\approx {\frac {\exp({\frac {2}{3}}x^{3/2})}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} A i ( − x ) ≈ sin ( 2 3 x 3 / 2 + π / 4 ) π x 1 / 4 {\displaystyle Ai(-x)\approx {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} B i ( − x ) ≈ cos ( 2 3 x 3 / 2 + π / 4 ) π x 1 / 4 {\displaystyle Bi(-x)\approx {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}} ℜ [ A i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]} ℑ [ A i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]} | A i ( x + i y ) | {\displaystyle |\mathrm {Ai} (x+iy)|\,} a r g [ A i ( x + i y ) ] {\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,}
ℜ [ B i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]} ℑ [ B i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]} | B i ( x + i y ) | {\displaystyle |\mathrm {Bi} (x+iy)|\,} a r g [ B i ( x + i y ) ] {\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}
↑ Airy, George Biddell (1838). “On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic ”. 《Transactions of the Cambridge Philosophical Society》 6 : 379–402. Olver, Frank W.J. (1997). 《Asymptotics and Special Functions》 2판. A. K. Peters/CRC Press. ISBN 1568810695 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), 〈Section 6.6.3. Airy Functions〉 , 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》 3판, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 원본 문서 에서 보존된 문서, 2012년 9월 12일에 확인함 Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), 《Airy functions and applications to physics》 , London: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9 MR 2114198 , 2010년 1월 13일에 원본 문서 에서 보존된 문서, 2012년 9월 12일에 확인함 Weisstein, Eric Wolfgang. “Airy Functions” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research. Wolfram Functions Site: Ai , Bi .
![{\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\right]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399df89c262ba0b1afc6cb814015af2b045f7c17)
![{\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505e2f06e2e8d14027c46f1f4b1ac72367f85b58)
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![{\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a86d49867d1f711cbe25936ea7982c44f005c53)
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![{\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6398901714ff29a82ca26b13f90f473377a731)
