이징 모형

통계역학
제2법칙에 따른 엔트로피의 증가
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통계역학 맥스웰-볼츠만 통계 · 분배 함수 · 특성 상태 함수 앙상블 (작은 바른틀 · 바른틀 · 큰 바른틀)
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초유체와 초전도체 헬륨-4 · 헬륨-3 · 그로스-피타옙스키 방정식 런던 방정식 · 긴즈부르크-란다우 이론 · BCS 이론
과학자 기브스 · 긴즈부르크 · 디랙 · 디바이 · 란다우 · 랑주뱅 · 맥스웰 · 보골류보프 · 보스 · 아인슈타인 · 이징 · 온사게르 · 줄 · 볼츠만 · 카다노프 · 카디 · 카라테오도리 · 카르노 · 켈빈 · 퀴리 · 클라우지우스 · 클라페롱 · 판데르 발스 · 페르미 · 헬름홀츠
v t e

통계역학에서 이징 모형(Ising模型, 영어: Ising model)은 자석의 간단한 격자 모형이다. 이징 모형은 강자성체를 위치가 고정되어 있는 자기 쌍극자의 격자로 나타낸다.^[1][2][3][4] 각 쌍극자는 +1 또는 −1 두 개의 상태를 가질 수 있고, 격자 위에서 바로 옆에 있는 쌍극자와 상호 작용한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$. 그 꼭짓점 집합을 ${\displaystyle {\mathsf {V}}(\Gamma )}$, 변 집합을 ${\displaystyle {\mathsf {E}}(\Gamma )}$라고 표기하자.
• 함수 ${\displaystyle h\colon {\mathsf {V}}(\Gamma )\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i\mapsto h_{i}}$
• 함수 ${\displaystyle \beta \colon {\mathsf {E}}(\Gamma )\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle ij\mapsto \beta _{ij}}$

그렇다면, 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$ 위의, 자기장 ${\displaystyle h}$에 대한 이징 모형은 다음과 같은 분배 함수로 정의된다.

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h)=\sum _{\sigma \in \{\pm 1\}^{{\mathsf {V}}(\Gamma )}}\exp \left(\sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\beta _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}+\sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}h_{i}\sigma _{i}\right)}$

여기서 합은 모든 함수

${\displaystyle \sigma \colon {\mathsf {V}}(\Gamma )\to \{\pm 1\}}$

${\displaystyle \sigma \colon i\mapsto \sigma _{i}}$

에 대한 것이다.

보통, ${\displaystyle \beta }$ 및 ${\displaystyle h}$는 상수 함수로 놓는다.

이징 모형은 다음과 같은 대칭을 갖는다.

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h_{i},h_{j\neq i})=Z_{\Gamma }(\beta ;-h_{i},h_{j\neq i})}$ (자기장의 한 성분을 뒤집음)

${\displaystyle Z_{\Gamma \sqcup \Gamma '}(\beta ;h)=Z_{\Gamma }(\beta \upharpoonright {\mathsf {E}}(\Gamma );h\upharpoonright {\mathsf {E}}(\Gamma ))Z_{\Gamma '}(\beta \upharpoonright {\mathsf {E}}(\Gamma ');h\upharpoonright {\mathsf {V}}(\Gamma '))}$

${\displaystyle Z_{\varnothing }(\beta ;h)=1}$

여기서 ${\displaystyle \sqcup }$은 그래프의 분리합집합이다.

평면 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$ 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 ${\displaystyle \Gamma '}$ 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, ${\displaystyle \Gamma }$의 고온 이징 모형은 ${\displaystyle \Gamma '}$의 저온 이징 모형에 대응한다.

특히, 평면 정사각형 격자 그래프 ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{\infty }\,\square \,{\mathsf {P}}_{\infty }}$는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 상전이 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.

특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.

만약 ${\displaystyle \Gamma ={\bar {\mathsf {K}}}_{N}}$가 ${\displaystyle N}$개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h)=\sum _{\sigma \in \{\pm 1\}^{N}}\exp(\sigma _{i}h_{i})=\prod _{i=1}^{N}(2\cosh h_{i})}$

이다. 이 경우 헬름홀츠 자유 에너지는

${\displaystyle F_{\Gamma }=-{\frac {1}{\beta }}\ln Z_{\Gamma }=-{\frac {1}{\beta }}\left(N\ln 2+\sum _{i=1}^{N}\ln \cosh h_{i}\right)}$

이다.

즉,

${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =-{\frac {\partial }{\partial h_{i}}}\ln Z=\tanh h_{i}}$

이다.

임의의 그래프 위의 이징 모형에서, ${\displaystyle \beta \to 0}$일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다.

만약 ${\displaystyle \Gamma ={\mathsf {K}}_{N}}$가 ${\displaystyle N}$개의 꼭짓점을 갖는 완전 그래프라고 하자. (이 경우를 만약 다른 그래프의 근사로 여길 때 평균장 근사 平均場近似, 영어: mean-field approximation라고 한다.)

편의상, ${\displaystyle \beta }$와 ${\displaystyle h}$가 상수 함수라고 가정하자. 이 경우, +값의 스핀의 수를

${\displaystyle n=\sum _{i}{\frac {\sigma _{i}+1}{2}}}$

으로 적으면,

${\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}=2n-N}$

${\displaystyle \exp(\beta \sum _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})=\exp \left(\beta (2n-N)^{2}/2-N\beta /2\right)}$

${\displaystyle \exp \left(\beta \sum _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right)=\exp(\beta (2n-N)^{2}/2-\beta N/2+h(2n-N))}$

가 된다. 즉,

${\displaystyle Z_{{\mathsf {K}}_{N}}(\beta ,h)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\beta N\right)\sum _{n=0}^{N}{\binom {n}{N}}\exp \left({\frac {1}{2}}\beta (2n-N)^{2}+h(2n-N)\right)}$

이다.

열역학적 극한은

${\displaystyle N\to \infty }$

${\displaystyle \beta \propto 1/N}$

이다. 이 경우, 변수

${\displaystyle x=2n/N-1}$

${\displaystyle b=N\beta }$

를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{{\mathsf {K}}_{N}}\approx {\frac {1}{2}}N\exp(-\beta N/2)\int _{1}^{1}\mathrm {d} x\exp(NS(x;\beta ,h))}$

${\displaystyle S(x;\beta ,h)=-{\frac {1}{2}}(1+x)\ln(1+x)-{\frac {1}{2}}(1-x)\ln(1-x)+ln2+{\frac {1}{2}}bx^{2}+hx}$

만약 ${\displaystyle S}$가 하나의 최댓값을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법으로 근사할 수 있다. ${\displaystyle S}$의 최댓값의 위치는

${\displaystyle 0=\left|{\frac {\partial S}{\partial x}}\right|_{x=x_{0}}=-\operatorname {artanh} (x_{0})+bx_{0}+h}$

이므로

${\displaystyle h=\operatorname {artanh} (x_{0})-bx_{0}}$

이다. ${\displaystyle S}$의 최댓값 근처의 폭은

${\displaystyle -S''(X_{0};\beta ,h)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1+x_{0}}}+{\frac {1}{1-x_{0}}}\right)-b}$

에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는

${\displaystyle \ln Z_{{\mathsf {K}}_{N}}(b/N,h)={\frac {1}{2}}\ln(2\pi N)-{\frac {1}{2}}b-{\frac {1}{2}}\ln(-S''(x_{0}(b,h);b,h))+NS(x_{0}(b,h);b,h)+o(1)}$

가 된다.

이 경우 평균 스핀은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle \sigma \rangle ={\frac {1}{N}}{\frac {\partial \ln N}{\partial h}}=x_{0}(b,h)-{\frac {1}{2N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln(-S''(x_{0}(b,h);b,h))+o(1/N)}$

첫째 항만을 남기고, ${\displaystyle h}$에 대하여 풀면 상태 방정식

${\displaystyle b\langle \sigma \rangle +\operatorname {artanh} \langle \sigma \rangle =h}$

을 얻는다.

이 근사가 잘 성립하려면 (즉, ${\displaystyle S}$가 한 점에서 최댓값을 갖는다면), 함수

${\displaystyle (-1,+1)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle x\mapsto \operatorname {artanh} x-bx}$

가 치역의 값 ${\displaystyle h}$ 근처에서 단사 함수이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요 충분 조건은

${\displaystyle b\leq 1}$

이다. 만약 ${\displaystyle b>1}$일 경우, ${\displaystyle |h|}$가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상을 갖는다. 이 경우, ${\displaystyle S}$의 세 개의 임계점 가운데 ${\displaystyle S}$의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는 ${\displaystyle b=1}$에서 일어나는 2차 상전이를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도 ${\displaystyle T=\epsilon /k_{\mathrm {B} }}$에 해당한다.^{[2]:44, (3.2.3)}

만약 ${\displaystyle \Gamma ={\mathsf {C}}_{N}}$가 ${\displaystyle N}$개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프라고 하자. 이 경우

${\displaystyle \exp(\sum _{i=1}^{\infty }\beta _{i}\sigma _{i}\sigma _{i+1}+\sum _{i}h_{i}\sigma _{i})=\prod _{i=1}^{N}V(\sigma _{i},\sigma _{i+1};\beta _{i},h_{i},h_{i+1})}$

${\displaystyle V(\sigma ,\sigma ';\beta ,h,h')=\exp \left(\beta \sigma \sigma '+{\frac {1}{2}}h\sigma +{\frac {1}{2}}h'\sigma '\right)}$

이다. 이는 2×2 대칭 행렬

${\displaystyle V(\beta ,h,h')={\begin{pmatrix}\exp(h/2+h'/2+\beta )&\exp(h/2+h'/2-\beta )\\\exp(-h/2+h'/2-\beta )&\exp(-h/2-h'/2+\beta )\end{pmatrix}}}$

로 표현될 수 있다. 그렇다면

${\displaystyle Z=\operatorname {tr} \prod _{i=1}^{N-1}V(\beta _{i};h_{i},h_{i+1})}$

이다.

만약 ${\displaystyle \beta }$와 ${\displaystyle h}$가 상수 함수라면, 모든 ${\displaystyle V(\beta _{i};h_{i},h_{i+1})}$들이 같아지며, 이 경우

${\displaystyle Z=\lambda _{1}(V)^{N}+\lambda _{2}(V)^{N}}$

이 된다. 여기서 ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$는 ${\displaystyle V}$의 두 (실수) 고윳값이다.

유한 나무 그래프 ${\displaystyle T}$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 어떤 임의의 꼭짓점 ${\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}$을 고르자. 그렇다면 모든 꼭짓점 ${\displaystyle i}$에 대하여, ${\displaystyle i_{0}}$까지의 최단 경로의 길이 ${\displaystyle \ell (i,i_{0})}$를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점 ${\displaystyle i\in {\mathsf {V}}(T)}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle i\neq i_{0}}$라면,

${\displaystyle \ell (\operatorname {prec} (i),i_{0})+1=\ell (i,i_{0})}$

${\displaystyle \operatorname {prec} (i)i\in {\mathsf {E}}(T)}$

인 ${\displaystyle \operatorname {prec} (i)\in {\mathsf {V}}(T)}$가 유일하게 존재한다.

그렇다면, 스핀 ${\displaystyle \sigma _{i}}$ 대신 다음과 같은 새 변수들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\tilde {\tau }}_{i_{0}}=\sigma _{i_{0}}}$

${\displaystyle {\tilde {\tau }}_{i}=\sigma _{v}\sigma _{\operatorname {prec} (i)}}$

또한, 임의의

${\displaystyle \beta \colon {\mathsf {E}}(T)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle h\colon {\mathsf {V}}(T)\to \mathbb {R} }$

에 대하여,

${\displaystyle {\tilde {\beta }}\colon {\mathsf {E}}(T)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\tilde {h}}\colon {\mathsf {V}}(T)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\beta }}_{\operatorname {prec} (i)i}=h_{i}}$

${\displaystyle {\tilde {h}}_{i}={\begin{cases}\beta _{\operatorname {prec} (i)i}&i\neq i_{0}\\h_{i_{0}}&i=i_{0}\end{cases}}}$

그렇다면,

${\displaystyle \sigma \leftrightarrow {\tilde {\sigma }}}$

변환 아래 다음이 성립한다.

${\displaystyle Z_{T}(\beta ,h)=Z_{T}({\tilde {\beta }},{\tilde {h}})}$

특히, 만약

${\displaystyle h_{i}={\begin{cases}0&i\neq i_{0}\\h_{i}&i=i_{0}\end{cases}}}$

인 경우 ${\displaystyle {\tilde {\beta }}=0}$이므로 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{T}(\beta ,h)=Z_{T}(0,{\tilde {h}})=(2\cosh \exp h_{i_{0}})\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(T)}(2\cosh \beta _{ij})}$

나무 그래프 ${\displaystyle T}$에서 원점 ${\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}$을 골랐을 때, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

• 원점 ${\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}$의 차수는 ${\displaystyle d_{N}}$이다.
• 원점 ${\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}$에서 거리가 ${\displaystyle N-n}$인 모든 꼭짓점의 차수는 ${\displaystyle d_{n}+1}$이다. (즉, ${\displaystyle d_{n}}$개의 가지들을 가진다.)
• ${\displaystyle d_{0}=0}$이다. (즉, 모든 꼭짓점은 원점에서 거리 ${\displaystyle N}$ 이하이다.)

원점에서 거리 ${\displaystyle N-n}$의 꼭짓점 ${\displaystyle i}$의 높이가

${\displaystyle \operatorname {ht} (i)=\ell (i,i_{0})=n}$

이라고 하자.

예를 들어, 베테 그래프의 경우 ${\displaystyle N\to \infty }$이며 ${\displaystyle d_{N}-1=d_{N-1}=d_{N-2}=\dotsb =d_{1}}$의 꼴이다.

이제, 같은 높이에서 균등한 함수

${\displaystyle \beta _{i\operatorname {prec} (i)}=\beta _{\operatorname {ht} (i)}}$

${\displaystyle h_{i}=h_{\operatorname {ht} (i)}}$

를 생각하자. 즉,

${\displaystyle h_{0},\beta _{0},h_{1},\beta _{1},h_{2},\dotsc ,\beta _{N-1},h_{N}}$

이 존재한다.

이제, 이 그래프 위의 이징 모형의 분배 함수

${\displaystyle Z_{N}(h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\beta _{n-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})}$

를 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 재귀적 관계가 성립한다.

${\displaystyle Z_{N}(h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\beta _{n-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})=\exp(h_{N})Z_{N-1}(h_{N-1}+\beta _{N-1},\beta _{N-2},h_{N-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})^{d_{n}}+\exp(-h_{N})Z_{N-1}(h_{N-1}-\beta _{N-1},\beta _{N-2},h_{N-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})^{d_{n}}}$

${\displaystyle Z_{0}(h_{0})=2\cosh h_{0}}$

편의상 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle C_{N}(\beta _{N},h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )={\frac {1}{2}}\left(Z_{N}(\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )+Z_{N}(-\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )\right)}$

${\displaystyle S_{N}(\beta _{N},h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )={\frac {1}{2}}\left(Z_{N}(\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )-Z_{N}(-\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )\right)}$

그렇다면 이 재귀 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle C_{N}=2\cosh \beta _{N}\left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}+(C_{N-1}-S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}\right)}$

${\displaystyle S_{N}=2\sinh \beta _{N}\left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}-(C_{N-1}-S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}\right)}$

${\displaystyle Z_{N}(h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )=\exp(h_{N})(C_{N-1}+S_{N-1})^{d_{N}}+\exp(-h_{N})(C_{N-1}-S_{N-1})^{d_{N}}}$

만약 ${\displaystyle d_{i}}$, ${\displaystyle h_{i}}$, ${\displaystyle \beta _{i}}$가 상수 함수라면, 이는 ${\displaystyle (C_{N},S_{N})\in \mathbb {R} ^{2}}$에 대한 이산 시간 동역학계

${\displaystyle {\binom {c}{s}}\mapsto {\binom {(2\cosh \beta )((c+s)^{d}+(c-s)^{d})}{(2\sinh \beta )((c+s)^{d}-(c-s)^{d})}}}$

로 여길 수 있다. ${\displaystyle N\to \infty }$ 극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점에 해당한다.

특히, 만약 ${\displaystyle d=1}$일 때 (경로 그래프), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한 ${\displaystyle N}$의 경우에도 풀 수 있다.

유한 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$가 주어졌으며, 그래프 데카르트 곱

${\displaystyle \Gamma \,\square \,{\mathsf {C}}_{L}}$

위의 이징 모형을 생각하자. (여기서 ${\displaystyle {\mathsf {C}}_{L}}$은 크기 ${\displaystyle L}$의 순환 그래프이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간

${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{\{\pm 1\}^{{\mathsf {V}}(\Gamma )}}}$

을 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle 2^{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}$차원 실수 힐베르트 공간이다. 임의의 함수

${\displaystyle \sigma \colon {\mathsf {V}}(\Gamma )\to \{\pm 1\}}$

에 대하여, 기저 벡터

${\displaystyle |\sigma \rangle \in V}$

를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은 ${\displaystyle V}$의 정규 직교 기저를 이룬다.

각 두 꼭짓점 ${\displaystyle i,j\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}$에 대하여, 연산자

${\displaystyle S_{i}(\beta ,h)\colon V\to V}$

${\displaystyle T_{ij}(\beta )\colon V\to V}$

${\displaystyle \langle \sigma |S_{i}(\beta ,h)|\sigma '\rangle =\exp(h(\sigma _{i}+\sigma '_{i})/2+\beta \sigma _{i}\sigma '_{i})\prod _{k\neq i}\delta (\sigma _{k},\sigma '_{k})}$

${\displaystyle \langle \sigma |T_{ij}(\beta )|\sigma '\rangle =\exp(\beta \sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{k\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}\delta (\sigma _{k},\sigma '_{k})}$

를 정의할 수 있다. 즉, ${\displaystyle S_{i}}$는 ${\displaystyle {\mathsf {C}}_{L}}$ 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, ${\displaystyle T_{ij}}$는 ${\displaystyle \Gamma }$ 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자를 이룬다.

그렇다면, 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$ 위에서, ${\displaystyle \beta }$와 ${\displaystyle h}$가 상수 함수인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h=0)=\sum _{\sigma ^{1},\sigma ^{2},\dotsc ,\sigma ^{L}}\langle \sigma ^{1}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{1}\rangle \langle \sigma ^{1}|\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)|\sigma ^{2}\rangle \langle \sigma ^{2}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{2}\rangle \dotsm \langle \sigma ^{L}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{L}\rangle \langle \sigma ^{L}|\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)|\sigma ^{1}\rangle }$

여기서

${\displaystyle \sum _{\sigma ^{a}}|\sigma ^{a}\rangle \langle \sigma ^{a}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{a}\rangle \langle \sigma ^{a}|\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta )=\sum _{\sigma ^{a}}|\sigma ^{a}\rangle \langle \sigma ^{a}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta )=\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta )}$

이다. 즉,

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h=0)=\operatorname {tr} \left(\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)\right)^{L}}$

이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자

${\displaystyle \prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)}$

의 고윳값을 구하는 것으로 귀결된다.

1차원에서는 양의 온도에서 상전이 현상이 일어나지 않는다. (다만, 절대 영도 ${\displaystyle \beta =\infty }$에서 상전이가 발생하는 것으로 간주할 수 있다.) 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상전이가 일어나며, 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다.^[5] 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론으로 주어진다.

구체적으로, 다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자.

⋮

⋮

⋮

╲

╱

╲

╱

╲

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●

●

●

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╲

╱

╲

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○

○

○

○

⋯

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╲

╱

╲

╱

⋯

●

●

●

⋯

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╲

╱

╲

╱

╲

○

○

○

○

╲

╱

╲

╱

╲

╱

⋮

⋮

⋮

편의상 꼭짓점을 두 색으로 칠하였다. 이 경우, 두 종류의 행들이 있게 된다. 총 ${\displaystyle 2L}$개의 행이 있다고 하자. (즉, ${\displaystyle L}$개의 ○행과 ${\displaystyle L}$개의 ●행이 있다.) 각 행의 길이가 ${\displaystyle N}$이라고 하고, ○행의 꼭짓점을

${\displaystyle \{0,1,\dotsc ,N-1\}{\pmod {N}}}$

이라고 하고, ●행의 꼭짓점을

${\displaystyle \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}+1,\dotsc ,N-{\tfrac {1}{2}}\}{\pmod {N}}}$

라고 하자.

두 종류의 행에 대응하는 실수 힐베르트 공간을 각각

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bullet }\cong \mathbb {R} ^{\{\pm 1\}^{N}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\circ }\cong \mathbb {R} ^{\{\pm 1\}^{N}}}$

라고 하자.

이제, 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle V_{\bullet \circ }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\bullet }}$

${\displaystyle V_{\circ \bullet }\colon {\mathcal {H}}_{\bullet }\to {\mathcal {H}}_{\circ }}$

${\displaystyle \langle \sigma ^{\bullet }|V_{\bullet \circ }|\sigma ^{\circ }\rangle =\exp \sum _{i=1}^{N}(\beta _{\nearrow }\sigma _{i+1/2}^{\bullet }\sigma _{i}^{\circ }+\beta _{\nwarrow }\sigma _{i-1/2}^{\bullet }\sigma _{i}^{\circ })}$

${\displaystyle \langle \sigma ^{\circ }|V_{\circ \bullet }|\sigma ^{\bullet }\rangle =\exp \sum _{i=1}^{N}(\beta _{\nearrow }\sigma _{i}^{\circ }\sigma _{i-1/2}^{\bullet }+\beta _{\nwarrow }\sigma _{i}^{\circ }\sigma _{i+1/2}^{\bullet })}$

이들을 전이 행렬(轉移行列, 영어: transition matrix)이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.

${\displaystyle Z_{N,L}(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })=\operatorname {tr} _{{\mathcal {H}}_{\circ }}(V_{\circ \bullet }V_{\bullet \circ })^{L}=\sum _{i=1}^{2^{N}}\lambda _{i}^{L}}$

여기서 ${\displaystyle \lambda _{i}}$는 ${\displaystyle V_{\circ \bullet }V_{\bullet \circ }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\circ }}$의 고윳값들이다. (다만 이는 일반적으로 대칭 행렬이 아니다.) 즉, 분배 함수의 계산은 ${\displaystyle VW}$의 고윳값들을 계산하는 것으로 귀결된다.

두 힐베르트 공간 사이에 다음과 같은 두 동형 사상을 정의할 수 있다.

${\displaystyle P_{\bullet \circ }^{\pm }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\bullet }}$

${\displaystyle \langle \sigma ^{\bullet }|P_{\bullet \circ }^{\pm }|\sigma ^{\circ }\rangle =\prod _{i=1}^{N}\delta (\sigma _{i\pm 1/2}^{\bullet },\sigma _{i}^{\circ })}$

${\displaystyle P_{\circ \bullet }^{\pm }=(P_{\bullet \circ }^{\mp })^{-1}}$

물론

${\displaystyle (P_{\circ \bullet }^{\pm }P_{\bullet \circ }^{\pm })^{N}=1}$

${\displaystyle (P_{\bullet \circ }^{\pm }P_{\circ \bullet }^{\pm })^{N}=1}$

이다.

또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle R_{\bullet \bullet }\colon {\mathcal {H}}_{\bullet }\to {\mathcal {H}}_{\bullet }}$

${\displaystyle R_{\circ \circ }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\circ }}$

${\displaystyle \langle {\sigma '}^{\circ }|R_{\circ \circ }|\sigma ^{\circ }\rangle =\prod _{i=1}^{N}\delta ({\sigma '}_{i}^{\circ },-{\sigma '}_{i}^{\circ })}$

${\displaystyle R_{\bullet \bullet }=P_{\bullet \circ }^{\pm }R_{\circ \circ }P_{\circ \bullet }^{\mp }}$

즉, 이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이다. 물론

${\displaystyle R_{\bullet \bullet }^{2}=1}$

${\displaystyle R_{\circ \circ }^{2}=1}$

이다.

이제, 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 가진다.

${\displaystyle V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })=V_{\bullet \circ }(\beta _{\nwarrow },\beta _{\nearrow })^{\top }}$^{[2]:95, (7.4.1)}

만약

${\displaystyle \sinh(2\beta _{\nearrow })\sinh(2\beta _{\nwarrow })=\sinh(2\beta '_{\nearrow })\sinh(2\beta '_{\nwarrow })}$

라면,

${\displaystyle V(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })W(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })=V(\beta '_{\nearrow },\beta '_{\nwarrow })W(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })}$

이다. 또한, 다음이 성립한다.

${\displaystyle [V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow }),V_{\bullet \circ }(\beta '_{\nearrow },\beta '_{\nwarrow })]=0}$

${\displaystyle [V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow }),V_{\circ \bullet }(\beta '_{\nearrow },\beta '_{\nwarrow })]=0}$

${\displaystyle V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })R_{\circ \circ }=R_{\bullet \bullet }V_{\bullet \circ }(-\beta _{\nearrow },-\beta _{\nwarrow })}$^{[2]:95, (7.4.3)}

${\displaystyle V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })R_{\bullet \bullet }=R_{\circ \circ }V_{\circ \bullet }(-\beta _{\nearrow },-\beta _{\nwarrow })}$

${\displaystyle V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })P_{\bullet \circ }^{\pm }=P_{\circ \bullet }^{\pm }V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })}$

${\displaystyle V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })V_{\circ \bullet }(\beta _{\nwarrow }+\mathrm {i} \pi /2,-\beta _{\nearrow })=(2\mathrm {i} \sinh(2\beta _{\nwarrow }))^{N}+(2\mathrm {i} \sinh(2\beta _{\nearrow }))^{N}R_{\bullet \bullet }}$

이다.

${\displaystyle N}$이 짝수일 때, 행렬 ${\displaystyle V_{\circ \bullet }V_{\bullet \circ }}$의 ${\displaystyle 2^{N}}$개의 고윳값들은 다음과 같다. (대칭 행렬이 아니므로, 일부 고윳값들은 복소수이다.)

${\displaystyle \lambda (r,\gamma ;\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow },N)=(-4\alpha ^{2s-1})^{N/2}\left(\sinh ^{N}2\beta _{\nwarrow }-(-)^{2s}\sinh ^{N}2\beta _{\nearrow }\right)\prod _{i\in \mathbb {Z} /(N)+s}\mu _{i}^{\gamma _{i}}}$^{[2]:109, (7.9.7)}

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {\cosh(2\beta _{\nearrow })\cosh(2\beta _{\nwarrow })+{\sqrt {1+\sinh ^{2}\beta _{\nearrow }\sinh ^{2}\beta _{\nwarrow }-(\alpha ^{2i}+\alpha ^{-2i})\sinh \beta _{\nearrow }\sinh \beta _{\nwarrow }}}}{\alpha ^{i}\sinh(2\beta _{\nearrow })+\alpha ^{-i}\sinh(2\beta _{\nwarrow })}}\qquad (i\in \mathbb {Z} /(N)+s)}$^{[2]:109, (7.9.8)}

여기서

${\displaystyle s\in \{1/2,0\}}$

${\displaystyle \gamma \in \{\pm 1\}^{\mathbb {Z} /(N)+s},\qquad \sum _{i\in \mathbb {Z} /(N)+s}^{N}\gamma _{i}\equiv N{\pmod {4}}}$

${\displaystyle \alpha (N)=\exp {\frac {\mathrm {i} \pi }{N}}}$

이다. ${\displaystyle (-1)^{2s+1}\in \{\pm 1\}}$는 ${\displaystyle R_{\circ \circ }}$의 고윳값에 해당한다.

이징 모형은 다음과 같이 여러 가지로 해석될 수 있다.

• 이징 모형은 자석(강자성체)의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 퀴리 온도에서의 상전이에 해당한다.
• 이징 모형은 반강자성체의 간단한 모형으로 여길 수 있다.
• 이징 모형은 기체의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 기체와 액체 사이의 상전이에 해당한다.

${\displaystyle N}$개의 자기 쌍극자 ${\displaystyle \mu }$를 포함하는 강자성체에 (상수 함수가 아닐 수 있는) 외부 자기장 ${\displaystyle H}$가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 ${\displaystyle +\mu }$ 또는 반평행한 방향 ${\displaystyle -\mu }$ 둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지 ${\displaystyle -\epsilon }$을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지 ${\displaystyle \epsilon }$을 가진다고 하자. 그렇다면, 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다.

${\displaystyle E=-\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{i}H_{i}\sigma _{i}}$

여기서 ${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고, ${\displaystyle \langle ij\rangle }$은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 ${\displaystyle i}$와 ${\displaystyle j}$를 나타낸다.

이 경우 볼츠만 분포는

${\displaystyle \exp(-E/\mathrm {k} _{\mathrm {B} }T)=\exp \left({\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}+{\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}H_{i}\sigma _{i}\right)}$

이다.

따라서, 이는

${\displaystyle \beta ={\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}$

${\displaystyle h_{i}={\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}H_{i}}$

인 이징 모형에 해당한다.

${\displaystyle N}$개의 자기 쌍극자 ${\displaystyle \mu }$를 포함하는 반강자성체가 주어졌다고 하자. 즉, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리킬 때 에너지가 ${\displaystyle +\epsilon }$이며, 반대 방향을 가리킬 때 에너지가 ${\displaystyle -\epsilon }$이라고 하자. 또한, 외부 자기장이 ${\displaystyle H}$라고 하자. 이 경우, 에너지는

${\displaystyle E=\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}H_{i}\sigma _{i}}$

가 된다. 즉, 볼츠만 분포는

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{ij\in \mathrm {E} (\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}+{\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{i\in \mathrm {V} (\Gamma )}H_{i}\sigma _{i}\right)}$

가 된다.

이는

${\displaystyle \beta =-{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}$

${\displaystyle h_{i}={\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}H_{i}}$

가 되는 이징 모형에 해당한다.

기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜 ${\displaystyle V(r)}$은 일반적으로 다음과 같은 특성을 갖는다.

• 두 입자가 매우 가까울 때, 매우 강한 척력이 작용한다. 즉, ${\displaystyle r\to 0}$일 때 ${\displaystyle V(r)\to +\infty }$이다.
• 두 입자가 매우 가깝지 않을 경우, 인력이 작용한다. 즉, 어떤 거리 ${\displaystyle r\sim r_{0}}$ 근처에서 퍼텐셜 우물이 존재한다. 이 근처에서 퍼텐셜은 음수이다.
• 두 입자가 매우 멀 경우, 서로 힘을 가하지 않는다. 즉, ${\displaystyle r\to \infty }$일 때 ${\displaystyle V}$는 0으로 수렴한다.

물론, ${\displaystyle V=0}$일 경우는 이상 기체에 해당한다. ${\displaystyle V}$의 퍼텐셜 우물은 기체-액체 상전이를 가능하게 한다.

이제, 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$ 위에 기체 분자들이 놓여 있다고 하자. 이 경우,

• ${\displaystyle \sigma _{i}=+1}$인 것은 꼭짓점 ${\displaystyle i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}$에 기체 분자가 하나 존재함을 나타낸다.
• ${\displaystyle \sigma _{i}=-1}$인 것은 꼭짓점 ${\displaystyle i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}$에 기체 분자가 없음을 나타낸다.
• ${\displaystyle \sigma _{i}=\{\pm 1\}}$인 것은 같은 꼭짓점에 기체 분자가 두 개 이상 존재할 수 없음을 나타낸다. 즉, ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\to 0}V(r)\gg 1}$이다.
• 변 ${\displaystyle ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}$에 대응하는 해밀토니언의 항 ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}}$은 두 입자 사이의 퍼텐셜 우물을 나타낸다.
• 해밀토니언에서 서로 변으로 연결되어 있지 않은 꼭짓점은 서로 상호 작용하지 않는다. 이는 원거리의 입자가 상호 작용하지 않음을 나타낸다.

즉, 총 분자 수는

${\displaystyle N=\sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}{\frac {\sigma _{i}+1}{2}}}$

이다. 두 분자 사이의 퍼텐셜 우물의 깊이가 ${\displaystyle -\epsilon _{0}}$이라고 하자. 그렇다면, 총 에너지는

${\displaystyle E=-\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}{\frac {(\sigma _{i}+1)(\sigma _{j}+1)}{4}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}-{\frac {1}{4}}\epsilon |{\mathsf {E}}(\Gamma )|-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}\sigma _{i}\deg _{\Gamma }(i)}$

이다. 즉, 큰 바른틀 앙상블의 성분은

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}+{\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\beta \sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}{\frac {(\sigma _{i}+1)}{2}}\right)}$

이다. 이는

${\displaystyle \beta ={\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}$

${\displaystyle h_{i}={\frac {\mu }{2k_{\mathrm {B} }T}}+{\frac {\epsilon }{4k_{\mathrm {B} }T}}\deg _{\Gamma }(i)}$

가 되는 이징 모형에 해당한다. 여기서 ${\displaystyle \mu }$는 화학 퍼텐셜이며, ${\displaystyle \deg _{\Gamma }(i)}$는 꼭짓점 ${\displaystyle i}$에 연결된 변의 수이다. 특히, 만약 ${\displaystyle \Gamma }$가 정규 그래프일 경우, ${\displaystyle h}$ 역시 상수 함수가 된다.

크기 ${\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}$를 다양하게 조절할 수 있는 그래프의 족에서, 분배 함수

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h)}$

가 그래프의 크기 ${\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}$에 대한 매끄러운 함수로 주어진다고 하자. 이제, 한 꼭짓점이 나타내는 부피가 ${\displaystyle v_{0}}$라고 할 때, 기체의 압력은

${\displaystyle P={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{v_{0}}}\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}\right)_{T}}$

에 해당한다. (여기서 ${\displaystyle v_{0}\sim r_{0}^{d}}$는 대략 퍼텐셜 우물의 위치 ${\displaystyle r_{0}}$의, 그래프 차원 ${\displaystyle d}$에 대한 거듭제곱이다.) 열역학적 극한 ${\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|\to \infty }$이 잘 정의된다면, 자유 에너지 ${\displaystyle -T\ln Z}$가

${\displaystyle \ln Z\propto |{\mathsf {V}}(\Gamma )|\qquad (|{\mathsf {V}}(\Gamma )|\gg 1)}$

이어야 한다. 즉, 이 경우

${\displaystyle P={\frac {k_{\mathrm {B} }T\ln Z}{v_{0}|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}}$

가 된다.

2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 정규 그래프 위의 이징 모형은 이합체 모형으로 해석될 수 있다.

빌헬름 렌츠(독일어: Wilhelm Lenz, 1888-1957)가 제자 에른스트 이징(독일어: Ernst Ising, 1900-1998)에게 연습 문제로 제안하였다.^[6] 이징은 1925년 박사 학위 논문^[7]에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.^[8][9]

• 볼츠만 머신
• 포츠 모형

• “Ising model”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ising model”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “1차원 이징 모형(Ising model)”. 《수학노트》.