스토크스 변수 는 (가시광선 등을 포함한) 전자기파 의 편광 상태를 설명하기 위해 도입된 값이다. 이 변수들은 1852년 조지 가브리엘 스토크스 에 의해, 결맞지 않거나 부분 편광된 광선에서 전체 광량 (Intensity, I ), 편광도(Degree of polarization, p ), 그리고 편광 타원 의 모양변수 등에 대한 일반적인 설명을 간편하게 수학적으로 대체하기 위해 도입되었다. 스토크스 변수와 광량, 편광 타원의 매개변수들 사이의 관계는 다음의 관계식과 그림에 나타나 있다.
포앵카레 구면 S 0 = I S 1 = I p cos 2 ψ cos 2 χ S 2 = I p sin 2 ψ cos 2 χ S 3 = I p sin 2 χ {\displaystyle {\begin{matrix}S_{0}&=&I\\S_{1}&=&Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=&Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=&Ip\sin 2\chi \end{matrix}}} 여기에서 I p {\displaystyle Ip} , 2 ψ {\displaystyle 2\psi } , 2 χ {\displaystyle 2\chi } 는 스토크스 변수 S 1 {\displaystyle S_{1}} , S 2 {\displaystyle S_{2}} , S 3 {\displaystyle S_{3}} 를 3차원 공간 상에 표현했을 때 편광 상태의 구면 좌표계 성분들이다. 위 식에서 ψ {\displaystyle \psi } 앞의 상수 2는 어떤 편광 타원이든 180°회전시 구분할 필요가 없음을 뜻하고, χ {\displaystyle \chi } 앞의 2는 타원의 반축 길이가 90°회전과 연계되어 바뀜을 가리킨다. 네 스토크스 변수들은 각각 I , Q , U , V 로 쓰이기도 한다.
스토크스 변수들이 주어지면 각각의 구면 좌표계 성분은 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.
편광 타원 I = S 0 2 ψ = tan − 1 S 2 S 1 2 χ = tan − 1 cos 2 ψ S 1 p = s 3 I sin 2 χ {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&S_{0}\\2\psi &=&\tan ^{-1}{\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=&\tan ^{-1}{\frac {\cos 2\psi }{S_{1}}}\\p&=&{\frac {s3}{I\sin 2\chi }}\\\end{matrix}}}
스토크스 변수들은 종종 스토크스 벡터 라 불리는 벡터 의 형태로 사용된다.
S → = ( S 0 S 1 S 2 S 3 ) = ( I Q U V ) {\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}} 스토크스 벡터는 무편광(unpolarized), 부분편광(partially polarized), 또는 완전편광(totally polarized)된 빛의 공간을 생성(span)한다. 참고로, 존스 벡터 는 완전편광된 빛의 공간만 생성할 뿐이지만 결맞은 빛의 문제를 해결하는 데에는 더 유용하기 때문에 널리 쓰인다. 사실 네 개의 스토크스 변수는 공간에서의 축요소(basis)로 쓸 수 있는 것도 아니지만, 측정하거나 계산하기 쉽기 때문에 선택한 것이다.
광학계의 편광 효율는 입사광의 스토크스 벡터 집합에 뮬러 행렬 을 곱하면 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.
다음 예시는 일반적인 빛의 몇몇 편광 상태를 스토크스 벡터로 표현한 것이다.
편광형태 선형편광 (수평) 선형편광 (수직) 선형편광 (+45˚) 선형편광 (-45˚) 스토크스 벡터 ( 1 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}} ( 1 − 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}} ( 1 0 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}} ( 1 0 − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}} 편광형태 우원편광 좌원편광 무편광 스토크스 벡터 ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}} ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}} ( 1 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}
단색 평면파 는 전파되는 방향의 벡터(propagation vector) k → {\displaystyle {\vec {k}}} 와 축요소가 ( ϵ ^ 1 , ϵ ^ 2 ) {\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})} 일 때 전기장 의 복소수 진폭 E 1 {\displaystyle E_{1}} , E 2 {\displaystyle E_{2}} 의 관계식으로 표현할 수 있다. 또한, 전파 벡터, 위상 ϕ {\displaystyle \phi } , (그리고 고정된 평면에서 전기장의 변화 곡선을 투영한) 편광 상태 Ψ {\displaystyle \Psi } 의 관계식으로 표현할 수도 있다. 널리 알려진 편광 상태인 직선편광 과 원편광 은 가장 일반적인 타원편광 의 특수한 경우라 할 수 있다.
일반적인 타원편광은 편광 타원의 반장축 (半長軸; 타원의 장축 길이 절반) A와 반단축 (半短軸; 타원의 단축 길이 절반) B인 타원이 x 축에서 θ {\displaystyle \theta } 만큼 회전한 것으로 설명할 수 있다 (오른쪽 그림 참조). 스토크스 변수 I , Q , U , V 는 실험적으로 편광 상태를 설명할 때 편리하게 사용되는데, 각 변수들이 측정된 광도의 합이나 차와 바로 연관되기 때문이다. 다음 그래프들은 특수한 경우 스토크스 변수들의 예이다.
스토크스 변수는 다음과 같이 정의된다.
I = d e f | E x | 2 + | E y | 2 , = | E a | 2 + | E b | 2 , = | E l | 2 + | E r | 2 , Q = d e f | E x | 2 − | E y | 2 , U = d e f | E a | 2 − | E b | 2 , V = d e f | E l | 2 − | E r | 2 , {\displaystyle {\begin{matrix}I&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2},\end{matrix}}} 여기서 밑에 쓰인 문자들은 각각 세 축요소를 뜻한다. 데카르트 좌표 에서 ( x ^ , y ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}} ), 데카르드 좌표계 를 45°회전시킨 경우의 ( a ^ , b ^ {\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}} ), 원통 좌표계 에서 ( l ^ , r ^ {\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}} ). 원통 좌표계에서 l ^ = ( x ^ + i y ^ ) / 2 {\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}} 이다. 다음 그림은 스토크스 변수의 부호가 편광 타원의 반장축 방향과 회전방향에 따라 어떻게 바뀌는지 보여준다.
고정된 ( x ^ , y ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}} )에 대해, 스토크스 변수는 다음과 같다.
I = | E x | 2 + | E y | 2 , Q = | E x | 2 − | E y | 2 , U = 2 Re ( E x ∗ E y ) , V = 2 Im ( E x ∗ E y ) , {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=&|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=&2{\mbox{Re}}(E_{x}^{*}E_{y}),\\V&=&2{\mbox{Im}}(E_{x}^{*}E_{y}),\\\end{matrix}}} 반면, ( a ^ , b ^ ) {\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})} 에 대해선,
I = | E a | 2 + | E b | 2 , Q = − 2 Re ( E a ∗ E b ) , U = | E a | 2 − | E b | 2 , V = 2 Im ( E a ∗ E b ) . {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=&-2{\mbox{Re}}(E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=&|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=&2{\mbox{Im}}(E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{matrix}}} 이고, ( l ^ , r ^ ) {\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})} 에 대해선
I = | E l | 2 + | E r | 2 , Q = 2 Re ( E l ∗ E r ) , U = − 2 Im ( E l ∗ E r ) , V = | E l | 2 − | E r | 2 . {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=&2{\mbox{Re}}(E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=&-2{\mbox{Im}}(E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=&|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}.\\\end{matrix}}} 이 된다.
순수한 단색 의 결맞은 빛(monochromatic coherent light)의 경우엔
Q 2 + U 2 + V 2 = I 2 , {\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},\end{matrix}}} 이지만, 보통의 백색광(결맞지 않은)의 경우에 스토크스 변수는 평균값으로 정의되고, 위의 등식은 다음과 같은 부등식이 된다.
Q 2 + U 2 + V 2 ≤ I 2 . {\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.\end{matrix}}} 그러나, 여기에서 총 편광량(total polarized intensity) I p {\displaystyle I_{p}} 를 정의해서
Q 2 + U 2 + V 2 = I p 2 , {\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},\end{matrix}}} 로 쓸 수 있고, I p / I {\displaystyle I_{p}/I} 는 전체 편광 비율이 된다.
선형편광시 복소 광량을 다음과 같이 정의해보자.
L = d e f | L | e i 2 θ = d e f Q + i U . {\displaystyle {\begin{matrix}L&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|L|e^{i2\theta }\\&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &Q+iU.\\\end{matrix}}} 편광 타원에서 θ → θ + θ ′ {\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '} 로 회전했을 때, I 와 V 는 불변이지만,
L → e i 2 θ ′ L , Q → Re ( e i 2 θ ′ L ) , U → Im ( e i 2 θ ′ L ) . {\displaystyle {\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}} 이 되어, 스토크수 변수들의 다음과 같은 경향성을 추론할 수 있다.
I ≥ 0 , V ∈ R , L ∈ C , {\displaystyle {\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}} 여기서 I 는 전체 광량을 의미하고, | V | {\displaystyle |V|} , | L | {\displaystyle |L|} 은 각각 원편광, 선형편광된 광량을 뜻한다. 이때 전체 편광된 광량 I p = L 2 + V 2 {\displaystyle I_{p}={\sqrt {L^{2}+V^{2}}}} 이고, 타원축의 방향과 회전은 다음과 같이 주어지게 된다.
θ = 1 2 arg ( L ) , h = sgn ( V ) . {\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}} 여기서 Q = Re ( L ) {\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)} 이고 U = Im ( L ) {\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)} 이기 때문에,
| L | = Q 2 + U 2 , θ = 1 2 tan − 1 ( U / Q ) . {\displaystyle {\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}} 이 된다.
편광 타원에서 매개변수들은 스토크스 변수인
I p = A 2 + B 2 , Q = ( A 2 − B 2 ) cos ( 2 θ ) , U = ( A 2 − B 2 ) sin ( 2 θ ) , V = 2 A B h . {\displaystyle {\begin{matrix}I_{p}&=&A^{2}+B^{2},\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=&2ABh.\\\end{matrix}}} 를 가리키며, 위 식을 통해
A = 1 2 ( I p + | L | ) B = 1 2 ( I p − | L | ) θ = 1 2 arg ( L ) h = sgn ( V ) . {\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}} 임을 알 수 있다.