삼각 함수의 덧셈 정리 이 문서는 삼각함수의 덧셈 정리에 대해 설명한다. sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y {\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y} sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y {\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y} cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y {\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y} cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y {\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y} tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{\tan x+\tan y} \over {1-\tan x\tan y}}} tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y {\displaystyle \tan \left(x-y\right)={{\tan x-\tan y} \over {1+\tan x\tan y}}} 사인함수의 덧셈정리[편집] 예각 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 넓이 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 에 대해서,[1][2] △ A B C = △ A H B + △ A H C {\displaystyle \triangle ABC=\triangle AHB+\triangle AHC} △ A B C = 1 2 b c sin ( α + β ) {\displaystyle \triangle ABC={1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )} △ A H B + △ A H C {\displaystyle \triangle AHB+\triangle AHC} = 1 2 B H ¯ A H ¯ + 1 2 C H ¯ A H ¯ {\displaystyle ={1 \over {2}}\;{\overline {BH}}\;{\overline {AH}}+{1 \over {2}}\;{\overline {CH}}\;{\overline {AH}}} = 1 2 c sin α b cos β + 1 2 b sin β c cos α {\displaystyle ={1 \over {2}}c\sin \alpha \;b\cos \beta +{1 \over {2}}b\sin \beta \;c\cos \alpha } = 1 2 c b ( sin α cos β + sin β cos α ) {\displaystyle ={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )} 따라서, 1 2 b c sin ( α + β ) = 1 2 c b ( sin α cos β + sin β cos α ) {\displaystyle {1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )} sin ( α + β ) = ( sin α cos β + sin β cos α ) {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )} 코사인의 덧셈정리[편집] 둔각삼각형 △ A B C {\displaystyle \triangle {ABC}} 에서 , B D ¯ {\displaystyle ,\;{\overline {BD}}} 의 임의의 한점 C {\displaystyle C} 에 대해서,[3][4] [5] B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) {\displaystyle {\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)} A B ¯ 2 = B D ¯ 2 + A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;} 그리고, A C ¯ 2 = C D ¯ 2 + A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;} A C ¯ 2 − C D ¯ 2 = A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}\;\;} 따라서, A B ¯ 2 = B D ¯ 2 + A D ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}} A B ¯ 2 = ( B C ¯ 2 + C D ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) ) + ( A C ¯ 2 − C D ¯ 2 ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}=\left({\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)\right)+\left({\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}\right)} A B ¯ 2 = B C ¯ 2 + A C ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)} 그리고 cos ( π − α ) = C D ¯ A C ¯ {\displaystyle \cos(\pi -\alpha )={{\overline {CD}} \over {\overline {AC}}}} C D ¯ = A C ¯ cos ( π − α ) {\displaystyle {\overline {CD}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\alpha )} C D ¯ = − A C ¯ cos α {\displaystyle {\overline {CD}}=-{\overline {AC}}\cos \alpha } 따라서, A B ¯ 2 = B C ¯ 2 + A C ¯ 2 + 2 ( B C ¯ ⋅ C D ¯ ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)} A B ¯ 2 = B C ¯ 2 + A C ¯ 2 − 2 ( B C ¯ ⋅ A C ¯ cos α ) {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-2\left({\overline {BC}}\cdot {{\overline {AC}}\cos \alpha }\right)} c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos α {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha } 이것은 제2코사인법칙이고, 유클리드 원론 3권 법칙3 에서,[6] 두 점 사이의 거리를 가정하면, l 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 {\displaystyle l^{2}={({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}} 이므로, P = ( cos α , sin α ) , Q = ( cos β , sin β ) {\displaystyle P=(\cos \;\alpha ,\sin \;\alpha )\;\;,\;\;Q=(\cos \beta ,\sin \beta )} 일때, P Q ¯ 2 = ( cos β − cos α ) 2 + ( sin β − sin α ) 2 {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=(\cos \beta -\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta -\sin \;\alpha )^{2}} = ( ( cos β − cos α ) ⋅ ( cos β − cos α ) ) + ( ( sin β − sin α ) ⋅ ( sin β − sin α ) ) {\displaystyle =\left((\cos \beta -\cos \;\alpha )\cdot (\cos \beta -\cos \;\alpha )\right)+\left((\sin \beta -\sin \;\alpha )\cdot (\sin \beta -\sin \;\alpha )\right)} = ( ( cos β ) 2 − 2 cos α cos β + ( cos α ) 2 ) + ( ( sin β ) 2 − 2 sin α sin β + ( sin α ) 2 ) {\displaystyle =\left((\cos \beta )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta +(\cos \;\alpha )^{2}\right)+\left((\sin \beta )^{2}-2\sin \alpha \sin \beta +(\sin \alpha )^{2}\right)} = ( cos β ) 2 + ( cos α ) 2 + ( sin β ) 2 + ( sin α ) 2 − 2 cos α cos β − 2 sin α sin β {\displaystyle =(\cos \beta )^{2}+(\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta )^{2}+(\sin \alpha )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta } = ( cos 2 β + sin 2 β ) + ( cos 2 α + sin 2 α ) − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\displaystyle =(\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+(\cos ^{2}\;\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)} 그리고 삼각 함수 항등식의 피타고라스 정리에서, sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1} 따라서, = 1 + 1 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\displaystyle =1+1-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)} P Q ¯ 2 = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)} 한편, 이것은, 제2코사인법칙에서는, P Q ¯ 2 = O P ¯ 2 + O Q ¯ 2 − 2 ( O P ¯ ⋅ O Q ¯ cos ( α − β ) ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2\left({\overline {OP}}\cdot {{\overline {OQ}}\cos(\alpha -\beta )}\right)} P Q ¯ 2 = 1 2 + 1 2 − 2 ( 1 ⋅ 1 cos ( α − β ) ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1\cos(\alpha -\beta )}\right)} P Q ¯ 2 = 2 − 2 ( cos ( α − β ) ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({\cos(\alpha -\beta )}\right)} 그리고 두 점 사이의 거리에서, P Q ¯ 2 = 2 − 2 ( cos ( α − β ) ) = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({\cos(\alpha -\beta )}\right)=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)} 따라서, cos ( α − β ) = ( cos α cos β + sin α sin β ) {\displaystyle {\cos(\alpha -\beta )}=\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)} 탄젠트의 덧셈정리[편집] tan x = sin x cos x {\displaystyle \tan x={{\sin x} \over {\cos x}}} tan ( x + y ) = sin ( x + y ) cos ( x + y ) {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{\sin \left(x+y\right)} \over {\cos \left(x+y\right)}}} tan ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y cos x cos y − sin x sin y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{\sin x\cos y+\cos x\sin y} \over {\cos x\cos y-\sin x\sin y}}} tan ( x + y ) = sin x cos y cos x cos y + cos x sin y cos x cos y cos x cos y cos x cos y − sin x sin y cos x cos y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{{{\sin x\cos y} \over {\cos x\cos y}}+{{\cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}} \over {{{\cos x\cos y} \over {\cos x\cos y}}-{{\sin x\sin y} \over {\cos x\cos y}}}}} tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y {\displaystyle \tan \left(x+y\right)={{{\tan x}+{\tan y}} \over {1-{\tan x\tan y}}}} 덧셈정리의 변형[편집] sin ( − θ ) = − sin θ , cos ( − θ ) = cos θ {\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta \;\;,\;\;\cos(-\theta )=\cos \theta } 따라서, sin ( x + ( − y ) ) = sin x cos ( − y ) + cos x sin ( − y ) {\displaystyle \sin \left(x+(-y)\right)=\sin x\cos(-y)+\cos x\sin(-y)} sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y {\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y} 그리고, cos ( x − ( − y ) ) = cos x cos ( − y ) + sin x sin ( − y ) {\displaystyle \cos \left(x-(-y)\right)=\cos x\cos(-y)+\sin x\sin(-y)} cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y {\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y} 그리고, tan ( − θ ) = sin ( − θ ) cos ( − θ ) = − sin θ cos θ = − tan θ {\displaystyle \tan(-\theta )={{\sin(-\theta )} \over {\cos(-\theta )}}={-{\sin \theta } \over {\cos \theta }}=-\tan \theta } tan ( x + ( − y ) ) = tan x + tan ( − y ) 1 − tan x tan ( − y ) {\displaystyle \tan(x+(-y))={{{\tan x}+{\tan(-y)}} \over {1-{\tan x\tan(-y)}}}} tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y {\displaystyle \tan(x-y)={{{\tan x}-{\tan y}} \over {1+{\tan x\tan y}}}} 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9를 이용한 정리[편집] 정삼각형에서 A E ¯ = 1 {\displaystyle {\overline {AE}}=1} 을 예약하고,[7] A F ¯ 1 = cos α {\displaystyle {{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }} E F ¯ 1 = sin α {\displaystyle {{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }} F D ¯ A F = sin β {\displaystyle {{\overline {FD}} \over {AF}}={\sin \beta }} F D ¯ = G C ¯ = sin β A F ¯ = sin β cos α {\displaystyle {\overline {FD}}={\overline {GC}}={\sin \beta {\overline {AF}}}={\sin \beta \cos \alpha }} E G ¯ E F ¯ = cos β {\displaystyle {{\overline {EG}} \over {\overline {EF}}}={\cos \beta }} E G ¯ = cos β E F ¯ = cos β sin α {\displaystyle {\overline {EG}}={\cos \beta }{\overline {EF}}={\cos \beta }{\sin \alpha }} sin ( α + β ) = E G ¯ + G C ¯ 1 {\displaystyle {\sin(\alpha +\beta )}={{{\overline {EG}}+{\overline {GC}}} \over {1}}} sin ( α + β ) = cos β sin α + sin β cos α {\displaystyle {\sin(\alpha +\beta )}={{\cos \beta }{\sin \alpha }}+{\sin \beta \cos \alpha }} 이것은 사인함수이다. 한편,예약된 정삼각형에서,[8] A E ¯ = 1 , ∠ A = ∠ E = ∠ B , ∠ A = ∠ α + ∠ β , ∠ α = ∠ β {\displaystyle {\overline {AE}}=1,\angle A=\angle E=\angle B,\angle A=\angle \alpha +\angle \beta ,\angle \alpha =\angle \beta } E F ¯ 1 = sin α {\displaystyle {{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }} A F ¯ 1 = cos α {\displaystyle {{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }} A D ¯ A F = cos β {\displaystyle {{\overline {AD}} \over {AF}}={\cos \beta }} A D ¯ = cos β A F ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}={\cos \beta }{\overline {AF}}} A D ¯ = cos β cos α {\displaystyle {\overline {AD}}={\cos \beta }{\cos \alpha }} G F ¯ E F ¯ = sin β {\displaystyle {{\overline {GF}} \over {\overline {EF}}}={\sin \beta }} G F ¯ = sin β E F ¯ {\displaystyle {\overline {GF}}={\sin \beta }{\overline {EF}}} G F ¯ = sin β sin α {\displaystyle {\overline {GF}}={\sin \beta }{\sin \alpha }} G F ¯ = C D ¯ = sin β sin α {\displaystyle {\overline {GF}}={\overline {CD}}={\sin \beta }{\sin \alpha }} cos ( α + β ) = A C ¯ 1 {\displaystyle {\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AC}} \over {1}}} cos ( α + β ) = A D ¯ − C D ¯ {\displaystyle {\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AD}}-{\overline {CD}}}} cos ( α + β ) = cos β cos α − sin β sin α {\displaystyle {\cos(\alpha +\beta )}={{\cos \beta }{\cos \alpha }}-{\sin \beta \sin \alpha }} 이것은 코사인함수이다. 행렬을 이용한 정리[편집] : sin ( − θ ) = − sin θ , cos ( − θ ) = cos θ {\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta \;\;,\;\;\cos(-\theta )=\cos \theta } 이고, 삼각함수의 점의 좌표 ( cosine , sine ) {\displaystyle ({\text{cosine}},{\text{sine}})} 에서, P = ( x , y ) , P ′ = ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle P=(x,y)\;\;,\;\;P'=(x',y')} P = ( cos , sin ) , P ′ = ( cos ′ , sin ′ ) {\displaystyle P=(\cos ,\sin )\;\;,\;\;P'=(\cos ',\sin ')} 이고, θ = 90 ∘ {\displaystyle \theta =90^{\circ }} 로, P ′ = ( α + θ , α + θ ) {\displaystyle P'=(\alpha +\theta ,\alpha +\theta )} 을 예약해보면,[9][10] P ′ = ( α + π 2 , α + π 2 ) {\displaystyle P'=(\alpha +{{\pi } \over {2}},\alpha +{{\pi } \over {2}})} P ′ = ( x cos α + x cos θ , y cos α + y sin θ ) {\displaystyle P'=(x\cos \alpha +{x}\cos \theta ,y\cos \alpha +{y}\sin \theta )} P ′ = ( x cos α + x cos π 2 , y cos α + y sin π 2 ) {\displaystyle P'=\left(x\cos \alpha +{x}\cos {{\pi } \over {2}},y\cos \alpha +{y}\sin {{\pi } \over {2}}\right)} 삼각함수의 값에서, P ′ = ( x cos α + y sin ( − θ ) , y cos α + x cos ( − θ ) ) {\displaystyle P'=(x\cos \alpha +{y}\sin(-\theta ),y\cos \alpha +{x}\cos(-\theta ))} P ′ = ( x cos α − y sin θ , y cos α + x cos θ ) {\displaystyle P'=(x\cos \alpha -{y}\sin \theta ,y\cos \alpha +{x}\cos \theta )} 그리고, x ′ = x cos α − y sin θ {\displaystyle x'={x}\cos \alpha -{y}\sin \theta } y ′ = x sin α + y cos θ {\displaystyle y'={x}\sin \alpha +{y}\cos \theta } 따라서, α = 90 ∘ {\displaystyle \alpha =90^{\circ }} 로 변형해서, θ = α = 90 ∘ {\displaystyle \theta =\alpha =90^{\circ }} x cos θ − y sin θ = x ′ {\displaystyle {x}\cos \theta -{y}\sin \theta =x'} x sin θ + y cos θ = y ′ {\displaystyle {x}\sin \theta +{y}\cos \theta =y'} ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( x y ) = ( x ′ y ′ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}} ( cos y − sin y sin y cos y ) ( cos x sin x ) = ( cos ( x + y ) sin ( x + y ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos y&-\sin y\\\sin y&\cos y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos x\\\sin x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(x+y)\\\sin(x+y)\end{pmatrix}}} c o s x cos y − sin x sin y = cos ( x + y ) {\displaystyle cosx\cos y-\sin x\sin y=\cos \left(x+y\right)} cos x sin y + sin x cos y = sin ( x + y ) {\displaystyle \cos x\sin y+\sin x\cos y=\sin \left(x+y\right)} 같이 보기[편집] 삼각 함수 항등식 예각삼각형 둔각삼각형 삼각함수 회전행렬 유클리드 원론 각주[편집] ↑ 유클리드 기하학 원론 2권 법칙13 (구텐베르크 프로젝트,John Casey, 퍼블릭 도메인) ↑ 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) ↑ 유클리드 기하학 원론 2권 법칙12 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) ↑ 유클리드 기하학 원론 2권 법칙4 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) ↑ 유클리드 기하학 원론 2권 법칙7 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) ↑ 유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) ↑ 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain) ↑ 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain) ↑ (유클리드 기하학 원론 3권 법칙9 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain) ↑ (유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)
이고, 
에서, 
이고,
로,
을 예약해보면,[9][10]
로 변형해서,
