회전변환행렬

원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 두 선분을 예약하고,^[1][2]

${\displaystyle P=(x,y)\;\;,\;\;P'=(x',y')}$

${\displaystyle {\overline {OP}}=l={\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}}$ 두 점 사이의 거리,

${\displaystyle {\overline {OP}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle cos\alpha ={{x} \over {\overline {OP}}}}$

${\displaystyle {{x} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={cos\alpha }}$

그리고,

${\displaystyle sin\alpha ={{y} \over {\overline {OP}}}}$

${\displaystyle {{y} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={sin\alpha }}$

그리고,

${\displaystyle P'=(x',y')}$는 ${\displaystyle P=(x,y)}$를 ${\displaystyle +\theta }$만큼 회전시킨 것이다.

${\displaystyle x'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}cos(\alpha +\theta )}}$

${\displaystyle y'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}sin(\alpha +\theta )}}$

삼각함수의 덧셈정리에서,

${\displaystyle x'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}cos(\alpha +\theta )}}$는,

${\displaystyle x'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta )}}$

${\displaystyle x'=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{x} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\cos \theta \right)-\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{y} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\sin \theta \right)}$

${\displaystyle x'={x}\cos \theta -{y}\sin \theta }$

${\displaystyle y'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}sin(\alpha +\theta )}}$는,

${\displaystyle y'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta )}}$

${\displaystyle y'=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{y} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\cos \theta \right)+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{x} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\sin \theta \right)}$

${\displaystyle y'={y}\cos \theta +{x}\sin \theta }$

x,y 순서로 정리하면,

${\displaystyle y'={x}\sin \theta +{y}\cos \theta }$

연립방정식 형태로 나타내면,

${\displaystyle {x}\cos \theta -{y}\sin \theta =x'}$

${\displaystyle {x}\sin \theta +{y}\cos \theta =y'}$

따라서,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}}$