산란 행렬

양자장론

파인만 도형의 예 (전자와 양전자의 쌍소멸로 인한 중간자 생성)

대칭 시공간 병진 대칭 로런츠 군 푸앵카레 군 등각 대칭 이산 대칭 전하 켤레 대칭 (C) 반전성 (P) 시간 역전 대칭 (T) 기타 게이지 이론 초대칭 대칭 깨짐 자발 대칭 깨짐 골드스톤 보손 힉스 메커니즘 변칙

도구 기본 개념 전파 인자 윅 정리 (표준 순서) LSZ 축약 공식 상관 함수 양자화 정준 양자화 경로 적분 산란 이론 산란 행렬 만델스탐 변수 섭동 이론 파인만 도형 질량껍질 가상 입자 조절과 재규격화 파울리-빌라르 조절 차원 조절 최소뺄셈방식 재규격화군 유효 이론 (유효 작용) 게이지 이론 공변미분 파데예프-포포프 유령 BRST 대칭 워드-다카하시 항등식

이론 장난감 모형 사승 상호작용 콜먼-와인버그 모형 시그마 모형 베스-추미노 모형 게이지 이론 양자 전기역학 양-밀스 이론 양자 색역학 전기·약 이론 표준 모형 대통일 이론 대통일 이론 페체이-퀸 이론 시소 메커니즘 최소 초대칭 표준 모형 테크니컬러

학자 초기 학자 위그너 마요라나 바일 전자기력 디랙 슈윙거 도모나가 파인만 다이슨 강한 상호작용 유카와 겔만 그로스 폴리처 윌첵 약한 상호작용 양전닝 리정다오 난부 글래쇼 살람 와인버그 고바야시 마스카와 힉스 앙글레르 재규격화 펠트만 엇호프트 윌슨

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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
개론 수학적 공식화 역사
배경 고전역학 초기 양자론 브라-켓 표기법 해밀토니언 간섭
기본 상보성 결어긋남 얽힘 에너지 준위 측정(measurement) 비국소성(nonlocality) 양자수 상태(state) 중첩 Symmetry 터널링 불확정성 파동 함수 붕괴
실험 벨 부등식 데이비슨-거머 이중슬릿 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman) 프랑크-헤르츠 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality) 마하-젠더(Mach–Zehnder) 포퍼(Popper) 양자 지우개(quantum eraser) 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 슈테른-게를라흐 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 묘사 행렬 Phase-space 슈뢰딩거 합계 기록(경로 적분)
방정식 디랙 클라인-고든 파울리(Pauli) 뤼드베리 슈뢰딩거
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산란 이론에서 산란 행렬(散亂行列, 영어: scattering matrix) 또는 S행렬이란 산란 과정을 겪는 소립자^[1] 또는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬이다. 기호는 S. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• 자기 수반 작용소 ${\displaystyle H_{0}\colon \operatorname {dom} H_{0}\to {\mathcal {H}}}$, ${\displaystyle \operatorname {dom} H_{0}\subseteq {\mathcal {H}}}$. 이를 자유 해밀토니언(영어: free Hamiltonian)이라고 하자.
• 자기 수반 작용소 ${\displaystyle H\colon \operatorname {dom} H\to {\mathcal {H}}}$, ${\displaystyle \operatorname {dom} H\subseteq {\mathcal {H}}}$. 이를 상호 작용 해밀토니언(영어: interacting Hamiltonian)이라고 하자.

복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 ${\displaystyle A}$에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$를

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{{\text{ac}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{sc}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{pp}},A}}$

로 분해할 수 있다. 여기서

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},A}}$는 완전 연속 스펙트럼(영어: purely continuous spectrum)에 대응한다.
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{sc}},A}}$는 특이 연속 스펙트럼(영어: singular continuous spectrum)에 대응한다.
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{pp}},A}}$는 순수 점 스펙트럼(영어: purely point spectrum)에 대응한다.

마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소

${\displaystyle \operatorname {proj} _{{\text{ac}},A},\operatorname {proj} _{{\text{sc}},A},\operatorname {proj} _{{\text{pp}},A}\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

를 정의할 수 있다.

또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학(영어: Borel functional calculus)을 통해, ${\displaystyle x\mapsto \exp(\mathrm {i} tx)}$는 유계 함수이므로, 임의의 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 대하여 유니터리 작용소

${\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

를 정의할 수 있다.

이제, ${\displaystyle H_{0}}$와 ${\displaystyle H}$에 대한 파동 연산자(波動演算子, 영어: wave operator)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.^{[2]:Definition 1.1}

${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})=\lim _{t\to \infty }\exp(\pm \mathrm {i} Ht)\exp(\mp \mathrm {i} H_{0}t)\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}}}$

여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 ${\displaystyle W_{\pm }(H,H_{0})}$의 치역이 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}}$라면 파동 연산자를 완비 파동 연산자(完備波動演算子, 영어: complete wave operator)라고 하며,^{[2]:Definition 1.2} 이는 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}}$ 사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다.

${\displaystyle H_{0}}$와 ${\displaystyle H}$에 대한 산란 연산자(散亂演算子, 영어: scattering operator) 또는 산란 행렬은 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})=\operatorname {W} _{+}^{*}(H,H_{0})\operatorname {W} _{-}(H,H_{0})}$

만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환

${\displaystyle (\operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}})\colon {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}}$

를 정의한다.

간혹 T 연산자를 ${\displaystyle \operatorname {T} (H,H_{0})=-\mathrm {i} (\operatorname {S} (H,H_{0})-\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}})}$ 로 정의한다. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}$에 제한하면, ${\displaystyle \operatorname {S} =\mathrm {i} T}$이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})H_{0}=H\operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})}$

산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})H_{0}=H_{0}\operatorname {S} (H,H_{0})}$

위그너 정리에 따라, 만약 ${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})}$가 둘 다 완비라면,

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}$

는 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}}$ 유니터리 작용소이다.

르베그 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {C} )}$ 위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각해보자.

${\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)}$

${\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)+V(x)}$

${\displaystyle V_{0},V\in \operatorname {L} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}V(x)(1+x^{2})^{k/2}<\infty }$

여기서 ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$는 어떤 실수이며, ${\displaystyle \textstyle \Delta =-\sum _{i=1}^{n}\partial ^{2}/\partial x_{i}^{2}}$는 라플라스 연산자이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.

• ${\displaystyle k>n}$^{[2]:Theorem 1.7}
• ${\displaystyle V_{0}=0}$이며, ${\displaystyle k>1}$^{[2]:Theorem 2.4}

반면, 예를 들어 ${\displaystyle V_{0}=0}$, ${\displaystyle V(x)=(1+x^{2})^{-2}}$일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.^[2]:§3.1

하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{I}}}$와 나중 상태의 포크 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{F}}}$를 다음과 같이 적을 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{I}}=\operatorname {span} \{\left|k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|I,0\right\rangle _{\text{I}}\}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{F}}=\operatorname {span} \{\left|p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|F,0\right\rangle _{\text{F}}\}}$

이들은 자유 해밀토니언 ${\displaystyle H_{0}}$의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 ${\displaystyle S}$는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \left\langle \beta \right|_{\text{I}}S\left|\alpha \right\rangle _{\text{I}}=S_{\alpha \beta }=\left\langle \beta |_{\text{F}}|\alpha \right\rangle _{\text{I}}}$.

양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.

• ${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$ (진공에서의 항등성)
• ${\displaystyle S\left|k\right\rangle =\left|k\right\rangle }$ (단입자 상태에서의 항등성)

이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다.^[3]

• Yafaev, Dmitry R. (1995). 《Mathematical scattering theory: the general theory》. Translations of Mathematical Monographs (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0951-8. 
• Yafaev, Dmitry R. (2010). 《Mathematical scattering theory: analytic theory》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 158. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/158. 
• Baumgärtel, Hellmut; Wollenberg, Manfred (1983). 《Mathematical Scattering Theory》. Operator theory: advances and applications (영어) 9. ISBN 978-3-0348-5442-9. 
• Simon, Barry (1978). 〈An overview of rigorous scattering theory〉 (PDF). Nuttal, J. 《Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects》 (영어). University of West Ontario. 1–24쪽. 
• Reed, Michael; Simon, Barry (1979). 《Scattering Theory》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) 3. Academic Press. 

• 파인먼 도형
• LSZ 축약 공식
• 윅의 정리
• S행렬이론