부분파 방법

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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
개론 수학적 공식화 역사
배경 고전역학 초기 양자론 브라-켓 표기법 해밀토니언 간섭
기본 상보성 결어긋남 얽힘 에너지 준위 측정(measurement) 비국소성(nonlocality) 양자수 상태(state) 중첩 Symmetry 터널링 불확정성 파동 함수 붕괴
실험 벨 부등식 데이비슨-거머 이중슬릿 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman) 프랑크-헤르츠 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality) 마하-젠더(Mach–Zehnder) 포퍼(Popper) 양자 지우개(quantum eraser) 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 슈테른-게를라흐 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 묘사 행렬 Phase-space 슈뢰딩거 합계 기록(경로 적분)
방정식 디랙 클라인-고든 파울리(Pauli) 뤼드베리 슈뢰딩거
해석 베이지안 정합적 역사 코펜하겐 드 브로이-봄 앙상블 숨은 변수 국소적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계적 트랜잭션(transactional)
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장론 양자 정보 과학 양자 컴퓨팅 양자 카오스(quantum chaos) EPR 역설 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자 기계 학습(quantum machine learning)
과학자 아하로노프Aharonov 벨 베테 블래킷 블로흐 봄 보어 보른 보스 드브로이 콤프턴 디랙 데이비슨 디바이 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인먼 글라우버 구츠윌러Gutzwiller 하이젠베르크 힐베르트 요르단 크라머르스 파울리 램 란다우 라우에 모즐리 밀리컨 오너스 플랑크 라비 라만 뤼드베리 슈뢰딩거 시몬스Simmons 조머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 제이만 차일링거
v t e

물리학에서 부분파 방법(部分波方法, method of partial waves)은 산란 문제를 구면 조화 함수에 대한 성분인 부분파(部分波, partial wave)로 분해하여 푸는 방법이다.

파수 ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$를 가지고 ${\displaystyle z}$방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수 ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\phi \rangle =\exp(\mathrm {i} kz)}$가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 ${\displaystyle V(r)}$에 의하여 ${\displaystyle |\psi \rangle }$으로 산란된다고 하자.

${\displaystyle (H_{0}+V)|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$.

퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,\theta ,\phi )=0}$

을 따른다. 구면좌표계에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 구면 베셀 함수 ${\displaystyle j_{l}(x)}$, ${\displaystyle y_{l}(x)}$와 구면 조화 함수 ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$의 곱들의 선형결합이다.

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}B_{l}^{m}j_{l}(kr)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$.

여기서 ${\displaystyle B_{l}^{m}}$과 ${\displaystyle C_{l}^{m}}$은 미지의 계수이다.

레일리 공식(Rayleigh formula)에 따라

${\displaystyle \phi (r,\theta ,\phi )=\exp(ikr\cos \theta )=\sum _{l,m}i^{l}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}j_{l}(kr)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )}$

이고,

${\displaystyle ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)\approx \exp(ikr)/r}$ (${\displaystyle kr\gg 1}$)

은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다.

${\displaystyle B_{l}^{m}={\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}}$.

따라서

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(kr)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$

이다. 여기서 각각의 ${\displaystyle C_{l}^{m}i^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$ 성분을 부분파라고 하고, ${\displaystyle C_{l}^{m}}$을 부분파 산란 진폭이라고 한다.

부분파 방법은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 ${\displaystyle C_{l}^{m}}$을 구하면 그 총 산란 진폭 ${\displaystyle f(\theta ,\phi )}$는

${\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum _{l,m}C_{l}^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$

와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 단면적 ${\displaystyle \sigma }$와 미분 단면적 ${\displaystyle d\sigma /d\Omega }$를 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle \sigma =\oint |f|^{2}\,d\Omega =\sum _{l,m}|C_{l}^{m}|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d\sigma (\theta ,\phi )}{d\Omega }}=\sum _{l',m'}\sum _{l,m}C_{l}^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )(C_{l'}^{m'}Y_{l'}^{m'}(\theta ,\phi ))^{*}}$.

퍼텐셜의 "크기"가 대략 ${\displaystyle a}$라고 하자. 즉, ${\displaystyle V(r)}$가 대략 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle V(r)\approx {\begin{cases}0&r>a\\\infty &r<a.\end{cases}}}$

이런 경우에는 ${\displaystyle \psi (r=a,\theta ,\phi )\approx 0}$이므로, 다음과 같은 경계 조건을 부여한다.

${\displaystyle 0\approx \sum _{l,m}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(ka)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(ka)+iy_{l}(ka)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$.

이에 따라

${\displaystyle C_{l}^{m}\approx -{\frac {{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(ka)}{ki^{l+1}\left(j_{l}(ka)+iy_{l}(ka)\right)}}}$

이다.

이제, 입사 파동 함수의 에너지 ${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m}$가 퍼텐셜의 크기에 비하여 아주 작다고 하자. 즉,

${\displaystyle ka\ll 1}$

${\displaystyle E\ll {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}}$

라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle j_{l}(x)\propto x^{l}}$ (${\displaystyle x\ll 1}$)

${\displaystyle y_{l}(x)\propto x^{-l-1}}$ (${\displaystyle x\ll 1}$)

이므로,

${\displaystyle C_{l}^{m}\propto a(ka)^{2l}}$

이다. 따라서 ${\displaystyle ka\ll 1}$이므로 ${\displaystyle l=0}$인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는 ${\displaystyle l,m=0}$인 부분파만 고려하면 된다.

위에서 정의한 부분파 진폭 ${\displaystyle C_{m}^{l}}$은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 가진다.

${\displaystyle C_{m}^{l}={\sqrt {4\pi }}\exp(i\delta _{m}^{l})\sin \delta _{m}^{l}}$.

여기서 ${\displaystyle \delta _{m}^{l}}$을 ${\displaystyle (l,m)}$ 부분파의 위상 변화(phase shift)라고 한다.

• 베셀 함수
• 헬름홀츠 방정식
• 운죌트의 정리

• Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917. 
• Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927. 
• Peters, Klaus (2006). “A primer on partial wave analysis”. 《International Journal of Modern Physics A》 21 (27): 5618. arXiv:hep-ph/0412069. doi:10.1142/S0217751X06034811.