반단순 리 대수

리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, 영어: semisimple Lie algebra)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, 영어: simple Lie algebra)라고 한다.^[1]:32

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 리 대수 아이디얼은 ${\displaystyle \{0\}}$과 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 전체 밖에 없다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, ${\displaystyle [x,y]\neq 0}$인 ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$가 존재한다.

${\displaystyle K}$의 표수가 0이라고 하고, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 가해(영어: solvable) 아이디얼은 ${\displaystyle \{0\}}$밖에 없다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근기(영어: radical)가 ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {g}}}=\{0\}}$이다.^[1]:32
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 아벨 아이디얼은 ${\displaystyle \{0\}}$밖에 없다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 단순 리 대수들의 직합이다.
• (카르탕 반단순성 조건 영어: Cartan’s criterion for semisimplicity) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식 ${\displaystyle K(x,y)=\operatorname {tr} _{K}\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)}$는 비퇴화 쌍선형 형식이다.^{[1]:50, Theorem 1.45}

반단순 리 군(半單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.^[1]:105 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.

복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{k}={\mathfrak {sl}}(k+1,\mathbb {C} )={\mathfrak {su}}(k+1)\otimes \mathbb {C} }$, ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ (복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수)
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}={\mathfrak {so}}(2k+1,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle k=2,3,\dots }$ (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
• ${\displaystyle {\mathfrak {c}}_{k}={\mathfrak {sp}}(2k,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle k=2,3,\dots }$ (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수)
• ${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{k}={\mathfrak {so}}(2k,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle k=4,5,\dots }$ (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
• 𝖊₆, 𝖊₇, 𝖊₈
• 𝖋₄
• 𝖌₂

이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 경우, 우선 그 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$ 위의 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\bar {K}}}$를 분류한 뒤, 이를 ${\displaystyle {\bar {K}}}$에서 ${\displaystyle K}$로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체 ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화(영어: complexification) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} }$라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 실수 형식(영어: real form)이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.

복소수 리 대수	차원	실수 리 대수	로마 숫자 표기	다른 이름	극대 콤팩트 부분 리 대수
An	${\displaystyle n^{2}+2n}$	An(−n2−2n) (콤팩트)		${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n+1;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n+1)}$
		An(n) (분할)	AⅠ	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n+1)}$
		An(−n−2)	AⅡ	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {H} )}$, ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2m)}$ (${\displaystyle 2m-1=n}$)	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2m)}$
			AⅢ	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,q)}$ (${\displaystyle p+q=n+1}$)	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p)\oplus {\mathfrak {su}}(q)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$
Bn	${\displaystyle 2n^{2}+n}$	Bn(−2n2−n) (콤팩트)		${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n+1;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n+1)}$
		Bn(n) (분할)	BⅠ	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,n+1;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)\oplus {\mathfrak {o}}(n+1)}$
			BⅡ	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q+1;\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle p+q=n}$)	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p)\oplus {\mathfrak {o}}(q)}$
Cn	${\displaystyle 2n^{2}+n}$	Cn(−2n2−n) (콤팩트)		${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2n)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2n)}$
		Cn(n) (분할)	CⅠ	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$
			CⅡ	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2p,2q)}$ (${\displaystyle p+q=n}$)	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2p)\oplus {\mathfrak {usp}}(2q)}$
Dn	${\displaystyle 2n^{2}-n}$	Dn(−2n2+n) (콤팩트)		${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n)}$
		Dn(n) (분할)	DⅠ	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)\oplus {\mathfrak {o}}(n)}$
			DⅡ	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q;\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle p+q=2n}$)	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p)\oplus {\mathfrak {o}}(q)}$
		Dn(−n)	DⅢ	${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$
E6	78	E6(−78) (콤팩트)			${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$
		E6(6) (분할)	EⅠ		${\displaystyle {\mathfrak {su}}(8)}$
		E6(2)	EⅡ		${\displaystyle {\mathfrak {su}}(6)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
		E6(−14)	EⅢ		${\displaystyle {\mathfrak {o}}(10)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$
		E6(−26)	EⅣ		${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$
E7	133	E7(−133) (콤팩트)			${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$
		E7(7) (분할)	EⅤ		${\displaystyle {\mathfrak {su}}(8)}$
		E7(−5)	EⅥ		${\displaystyle {\mathfrak {o}}(12)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
		E7(−25)	EⅦ		${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$
E8	248	E8(−248) (콤팩트)			${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$
		E8(8) (분할)	EⅧ		${\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}$
		E8(−24)	EⅨ		${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
F4	52	F4(−52) (콤팩트)			${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$
		F4(4) (분할)	FⅠ		${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(3)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
		F4(−20)	FⅡ		${\displaystyle {\mathfrak {o}}(9)}$
G2	14	G2(−14) (콤팩트)			${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$
		G2(2) (분할)	GⅠ		${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$

위 표에서,

• ${\displaystyle n}$은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
• ${\displaystyle A_{n(k)}}$과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 ${\displaystyle (p,q)}$일 때, ${\displaystyle k=p-q}$이다. 즉, ${\displaystyle k}$는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 ${\displaystyle n=k}$이며, 콤팩트 형식의 경우 ${\displaystyle k}$는 −1 × 리 대수의 차원이다.

위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {C} )}$ (3차원 회전군)
  • ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {sl}}(1;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )}$
  • ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(1,1)\cong {\mathfrak {o}}(1,2)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {C} )}$ (5차원 회전군)
  • ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )}$
  • ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(1,4)}$
  • ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(2,3)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {C} )}$ (6차원 회전군)
  • ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )}$
  • ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(5,1)}$
  • ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(4,2)}$
  • ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(3,3)}$
  • ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(8)\cong {\mathfrak {o}}(2,6)}$ (8차원 회전군)

또한, ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)^{\oplus 2}}$는 단순 리 대수가 아니다.

복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다.^[2] 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(러시아어: Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер)가 1939년에 분류하였다.^[3]

• 리 대수
• 근계
• 리 대수의 표현

• “Lie algebra, semi-simple”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Simple lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Semisimple Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Simple Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Semisimple Lie group”. 《nLab》 (영어).