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해밀턴 역학 에서 좌표 변환에 쓰이는 함수에 관한 것입니다.
조합론 에서 쓰이는 생성함수(
generating function )에 대해서는
생성함수 (수학) 문서를 참고하십시오.
해밀턴 역학 에서 모함수 (母函數, generating function )는 두 개의 일반화 좌표 간의 정준변환 을 연결해주는 함수이다.
기존의 일반화 좌표 { p i , q i , t } {\displaystyle \{p_{i},q_{i},t\}} 정준변환 에 의한 새로운 좌표 { P i , Q i , t } {\displaystyle \{P_{i},Q_{i},t\}} 해밀턴 방정식 의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리 를 만족하면 된다.
δ ∫ t 1 t 2 [ ∑ i P i Q ˙ i − H ^ ( P i , Q i , t ) + d F d t ] d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-{\hat {H}}(P_{i},Q_{i},t)+{dF \over dt}\right]dt=0} 여기서 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} 해밀토니언 이고 F {\displaystyle F} F {\displaystyle F} 경로 의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분 하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식 은 F {\displaystyle F} F {\displaystyle F} 모함수 라 한다.
그런데 좌표변환 관계식
Q i = Q i ( p i , q i , t ) {\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(p_{i},q_{i},t)} P i = P i ( p i , q i , t ) {\displaystyle P_{i}=P_{i}(p_{i},q_{i},t)} 에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에 F {\displaystyle F} { q i , Q i , t } {\displaystyle \{q_{i},Q_{i},t\}} { q i , P i , t } {\displaystyle \{q_{i},P_{i},t\}} { p i , Q i , t } {\displaystyle \{p_{i},Q_{i},t\}} { p i , P i , t } {\displaystyle \{p_{i},P_{i},t\}}
기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.
종 모함수의 꼴 모함수의 미분 1종 F = F 1 ( q i , Q i , t ) {\displaystyle F=F_{1}(q_{i},Q_{i},t)\,\!} p i = ∂ F 1 ∂ q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}}} P i = − ∂ F 1 ∂ Q i {\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}}} 2종 F = F 2 ( q i , P i , t ) − Q P {\displaystyle F=F_{2}(q_{i},P_{i},t)-QP\,\!} p i = ∂ F 2 ∂ q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial q_{i}}}} Q i = ∂ F 2 ∂ P i {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{i}}}} 3종 F = F 3 ( p i , Q i , t ) + q p {\displaystyle F=F_{3}(p_{i},Q_{i},t)+qp\,\!} q i = − ∂ F 3 ∂ p i {\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p_{i}}}} P i = − ∂ F 3 ∂ Q i {\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q_{i}}}} 4종 F = F 4 ( p i , P i , t ) + q p − Q P {\displaystyle F=F_{4}(p_{i},P_{i},t)+qp-QP\,\!} q i = − ∂ F 4 ∂ p i {\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p_{i}}}} Q i = ∂ F 4 ∂ P i {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial F_{4}}{\partial P_{i}}}}
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![{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-{\hat {H}}(P_{i},Q_{i},t)+{dF \over dt}\right]dt=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd63d63a83f2ff61b7c295a64efe361b40df0d49)
