수론 에서 리우빌 수 (영어 : Liouville number )는 충분히 빠르게 수렴하는 유리수 수열로 근사할 수 있는 초월수 이다.
무리수 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 무리성 측도 (영어 : irrationality measure )는 다음과 같다.
μ ( x ) = inf { n ∈ R + : | { ( p , q ) ∈ Z 2 : | x − p q | < 1 q n } | < ℵ 0 } {\displaystyle \mu (x)=\inf \left\{n\in \mathbb {R} ^{+}\colon \left|\left\{(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\colon \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\right\}\right|<\aleph _{0}\right\}} 무리수 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 동치 이며, 이를 만족시키는 x {\displaystyle x} 리우빌 수 라고 한다.
μ ( x ) = ∞ {\displaystyle \mu (x)=\infty } n ∈ R + {\displaystyle n\in \mathbb {R} ^{+}} | x − p / q | < 1 / q n {\displaystyle |x-p/q|<1/q^{n}} p , q ∈ Z {\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} } 임의의 양의 정수 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} | x − p / q | < 1 / q n {\displaystyle |x-p/q|<1/q^{n}} q ≥ 2 {\displaystyle q\geq 2} p , q ∈ Z {\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} } 임의의 무리수 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } μ ( x ) ≥ 2 {\displaystyle \mu (x)\geq 2} x {\displaystyle x} 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, μ ( x ) = 2 {\displaystyle \mu (x)=2} 초월수 이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수 는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.
모든 리우빌 수가 초월수 임은 리우빌 정리 (영어 : Liouville’s theorem )를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} x {\displaystyle x} M ∈ Z + {\displaystyle M\in \mathbb {Z} ^{+}}
임의의 정수 p ∈ Z {\displaystyle p\in \mathbb {Z} } q ∈ Z + {\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}} | x − p / q | > 1 / ( M q n ) {\displaystyle \left|x-p/q\right|>1/(Mq^{n})} 정리의 조건에 따라 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} n {\displaystyle n} 기약 다항식 f ∈ Q [ t ] {\displaystyle f\in \mathbb {Q} [t]}
M ≥ sup y ∈ [ x − 1 , x + 1 ] | f ′ ( y ) | {\displaystyle M\geq \sup _{y\in [x-1,x+1]}|f'(y)|} 인 양의 정수 M ∈ Z + {\displaystyle M\in \mathbb {Z} ^{+}} p ∈ Z {\displaystyle p\in \mathbb {Z} } q ∈ Z + {\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}} | x − p / q | > 1 {\displaystyle |x-p/q|>1}
| x − p q | > 1 ≥ 1 M q n {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>1\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}} 이다. 만약 | x − p / q | ≤ 1 {\displaystyle |x-p/q|\leq 1} f {\displaystyle f} q n | f ( p / q ) | {\displaystyle q^{n}|f(p/q)|} 평균값 정리 에 따라
M q n | x − p q | ≥ q n | f ( p q ) − f ( x ) | = q n | f ( p q ) | ≥ 1 {\displaystyle Mq^{n}\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)-f(x)\right|=q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq 1} 이다.
이제, 귀류법 을 사용하여, 리우빌 수 x {\displaystyle x} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
2 k − n > M {\displaystyle 2^{k-n}>M} 인 양의 정수 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} p , q ∈ Z {\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
1 q k > | x − p q | > 1 M q n {\displaystyle {\frac {1}{q^{k}}}>\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{Mq^{n}}}} q ≥ 2 {\displaystyle q\geq 2} 따라서
M > q k − n ≥ 2 k − n > M {\displaystyle M>q^{k-n}\geq 2^{k-n}>M} 이며, 이는 모순이다.
리우빌 수의 집합의 크기 는 실수와 같은 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합 의 여집합이며, (실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 베르 공간 이므로) 특히 이는 조밀 집합 이다.
리우빌 수의 집합의 르베그 측도 는 0이며, 보다 일반적으로 임의의 차원의 하우스도르프 측도 는 0이다.
다음은 일부 무리수 의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.
μ ( e ) = 2 {\displaystyle \mu (e)=2} μ ( π ) ≤ 7.103205 ⋯ {\displaystyle \mu (\pi )\leq 7.103205\cdots } [ 1] μ ( π 2 ) ≤ 5.441243 {\displaystyle \mu (\pi ^{2})\leq 5.441243} μ ( π / 3 ) ≤ 4.230464 ⋯ {\displaystyle \mu (\pi /{\sqrt {3}})\leq 4.230464\cdots } μ ( ζ ( 2 ) ) = μ ( π 2 / 6 ) ≤ 5.09541178 ⋯ {\displaystyle \mu (\zeta (2))=\mu (\pi ^{2}/6)\leq 5.09541178\cdots } μ ( ζ ( 3 ) ) ≤ 5.513891 {\displaystyle \mu (\zeta (3))\leq 5.513891} μ ( ln 2 ) ≤ 3.8913998 {\displaystyle \mu (\ln 2)\leq 3.8913998} μ ( ln 3 ) ≤ 5.125 {\displaystyle \mu (\ln 3)\leq 5.125} μ ( arctan ( 1 / 3 ) ) ≤ 6.096755 ⋯ {\displaystyle \mu (\arctan(1/3))\leq 6.096755\cdots } 여기서 e {\displaystyle e} 자연 로그의 밑 , π {\displaystyle \pi } 원주율 , ζ {\displaystyle \zeta } 리만 제타 함수 , arctan {\displaystyle \arctan } 아크탄젠트 , ln {\displaystyle \ln } 자연 로그 이다.
리우빌 상수 (영어 : Liouville’s constant )
c = ∑ n = 1 ∞ 10 − n ! = 0.1100010000000000000000010 … {\displaystyle c=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}=0.1100010000000000000000010\dots } OEIS 의 수열 A012245 )는 리우빌 수이다.[ 2] [ 3] b ≥ 2 {\displaystyle b\geq 2} a 1 , a 2 , ⋯ ∈ { 0 , 1 , … , b − 1 } {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots \in \{0,1,\dots ,b-1\}} 0 = a n = a n + 1 = ⋯ {\displaystyle 0=a_{n}=a_{n+1}=\cdots } n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
∑ n = 1 ∞ a n b − n ! {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b^{-n!}} 은 리우빌 수이다.
순환 소수 가 아니므로 c {\displaystyle c} 무리수 이다.
임의의 n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
q = 10 n ! {\displaystyle q=10^{n!}} p = 10 n ! ∑ k = 1 n 10 − k ! {\displaystyle p=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}} 를 취하면
| c − p q | = ∑ k = n + 1 ∞ 10 − k ! < 1 q n {\displaystyle \left|c-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }10^{-k!}<{\frac {1}{q^{n}}}} 이다. 즉, c {\displaystyle c}
조제프 리우빌 의 이름을 땄다.
↑ Zeilberger, Doron; Zudilin, Wadim (2020년 1월 7일). “The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…”. 《Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory》 9 (4): 407–419. arXiv :1912.06345 . doi :10.2140/moscow.2020.9.407 . S2CID 209370638 . ↑ CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition (공)저: Eric W. Weisstein (P1782L30) ↑ What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Second Edition the late Richard Courant and Herbert Robbins Revised by Ian Stewart (Liouville number) 
![{\displaystyle f\in \mathbb {Q} [t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c961b70bb2b28401c8e7e5ae721524309e3f73f1)
![{\displaystyle M\geq \sup _{y\in [x-1,x+1]}|f'(y)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bf965dd8199255bfe8bd870056a8143f77c1b3)
