K이론에서 그로텐디크 군(Grothendieck群, 영어: Grothendieck group)은 아벨 범주 또는 퀼런 완전 범주로부터 정의되며, 그 짧은 완전열들에 대한 정보를 담고 있는 아벨 군이다. 0차 대수적 K군과 같다.
작은 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 아벨 범주)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 짧은 완전열

에 대하여, 형식적 관계
![{\displaystyle [A]+[C]=[B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75926f30de3c894339f0a2307e85d51a722c2fd)
를 정의하자. 그렇다면,
의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을
의 그로텐디크 군이라고 하며,
로 표기한다. (이 기호
는 K이론에서 딴 것이다.)
작은 가법 범주
위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 주자.

(여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다.
는 곱=쌍대곱이다.) 이는
위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다.
이 경우,
의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.
우선, 일반적으로, 가환 모노이드의 범주
와 아벨 군의 아벨 범주
사이의 포함 함자

는 (둘 다 대수 구조 다양체이므로) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 함자를

라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다.
함자
의 구성 (자유 아벨 군의 몫군):
가환 모노이드
의 상은 다음과 같다.

여기서

은 집합
으로 생성된 자유 아벨 군이며,
은
꼴의 원소들로 생성된 아이디얼이다.
두 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형
의 상은 다음과 같다.
![{\displaystyle F(f)\colon [1\cdot m]\mapsto [1\cdot f(m)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830d10c8c85e290e87246bda92f2072084a6c9cb)
함자
의 구성 (모노이드의 직접곱의 몫):
가환 모노이드
의 상은 다음과 같다.


![{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }+[(m',n')]_{\sim }=[(m+m',n+n')]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f68f53b87d19245fefa0b5d8de005253d1c1341)
여기서 순서쌍
의 동치류는 보통
으로 표기된다. 위 연산에서,
의 의 동치류의 역원은
의 동치류이며, 덧셈 항등원은 (임의의
에 대하여)
의 동치류이다.
만약
의 연산이 소거 법칙을 만족시킬 때,
의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이 경우, 소거 법칙은
이 추이적 관계임을 보일 때 사용된다.
두 소거 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형
의 상은 다음과 같다.
![{\displaystyle F(f)\colon [(m,m')]_{\sim }\mapsto [(f(m),f(m')]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d695698ecf0eb2ae389ed60deab0ad177e9e6118)
그렇다면,
의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합
을 생각하면,
는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우
의 그로텐디크 군은 다음과 같다.

간혹 일부 문헌에서는 함자
자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.
라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간
위의 유한 차원
-벡터 다발들의 범주
를 생각하자. 이는 가법 범주이며, 그 대상(들의 동형류)들은 집합을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를
의
-위상 K이론이라고 한다.
가환환
위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주
를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군
를 취할 수 있다.
또한, 가환환
위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주
를 생각하자. 이는 아벨 범주가 아니지만, 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군
를 취할 수 있다.
또한, 가환환
위의 모든 단순군들의 동형류들은 집합을 이루며, 따라서 이로 생성되는 자유 아벨 군
을 생각할 수 있다.
만약
가 어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 위의 세 아벨 군은 서로 동형이다.

체
위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주
를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 자연수의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다.


벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서,
의 그로텐디크 군은 무한 순환군
이다.
알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 정의하였다.