그로텐디크 군

K이론에서 그로텐디크 군(Grothendieck群, 영어: Grothendieck group)은 아벨 범주 또는 퀼런 완전 범주로부터 정의되며, 그 짧은 완전열들에 대한 정보를 담고 있는 아벨 군이다. 0차 대수적 K군과 같다.

작은 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 아벨 범주) ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 짧은 완전열

${\displaystyle A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C}$

에 대하여, 형식적 관계

${\displaystyle [A]+[C]=[B]}$

를 정의하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 그로텐디크 군이라고 하며, ${\displaystyle \operatorname {K} ({\mathcal {A}})}$로 표기한다. (이 기호 ${\displaystyle \operatorname {K} (-)}$는 K이론에서 딴 것이다.)

작은 가법 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 주자.

${\displaystyle A\to A\oplus B\to B}$

(여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. ${\displaystyle \oplus }$는 곱=쌍대곱이다.) 이는 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다.

이 경우, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

우선, 일반적으로, 가환 모노이드의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CMon} }$와 아벨 군의 아벨 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$ 사이의 포함 함자

${\displaystyle \operatorname {Ab} \to \operatorname {CMon} }$

는 (둘 다 대수 구조 다양체이므로) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 함자를

${\displaystyle F\colon \operatorname {CMon} \to \operatorname {Ab} }$

라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다.

그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Iso} ({\mathcal {A}})}$을 생각하면, ${\displaystyle (\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 그로텐디크 군은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {K} ({\mathcal {A}})=F(\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$

간혹 일부 문헌에서는 함자 ${\displaystyle F}$ 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.

 이 부분의 본문은 위상 K이론입니다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 유한 차원 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 다발들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Vect} (X)}$를 생각하자. 이는 가법 범주이며, 그 대상(들의 동형류)들은 집합을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 K이론이라고 한다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주 ${\displaystyle \operatorname {fgMod} _{R}}$를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 ${\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgMod} _{R})}$를 취할 수 있다.

또한, 가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주 ${\displaystyle \operatorname {fgpMod} _{R}}$를 생각하자. 이는 아벨 범주가 아니지만, 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군 ${\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} _{R})}$를 취할 수 있다.

또한, 가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 모든 단순군들의 동형류들은 집합을 이루며, 따라서 이로 생성되는 자유 아벨 군 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} _{R})}}$을 생각할 수 있다.

만약 ${\displaystyle R}$가 어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 위의 세 아벨 군은 서로 동형이다.

${\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgMod} _{R})\cong \operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} _{R})\cong \mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} _{R})}}$

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주 ${\displaystyle \operatorname {fgMod} _{K}}$를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 자연수의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다.

${\displaystyle \dim _{K}\colon \operatorname {Iso} (\operatorname {fgMod} _{K})\to \mathbb {N} }$

${\displaystyle \dim _{K}\colon K^{\oplus n}\mapsto n}$

벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, ${\displaystyle \operatorname {fgMod} _{K}}$의 그로텐디크 군은 무한 순환군 ${\displaystyle F(\mathbb {N} )=\mathbb {Z} }$이다.

알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 정의하였다.

• 분수체
• 국소화 (환론)
• 위상 K이론

• “Grothendieck group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Group completion”. 《nLab》 (영어). 
• “Grothendieck group”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition of a Grothendieck ring” (영어). Math Overflow.