대수적 K이론

수학에서 대수적 K이론(代數的K理論, 영어: algebraic K-theory)은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다. 대수적 K이론은 기하학, 위상 수학, 환론, 정수론과 연결된다. 기하, 대수 및 산술 대상에는 ${\displaystyle K}$군이라는 대상이 할당된다. 이들은 군이다. 여기에는 원래 대상에 대한 자세한 정보가 포함되어 있지만 계산하기가 아주 어렵다. 예를 들어, 정수의 ${\displaystyle K}$군을 계산하는 것은 중요한 미해결 문제이다.

${\displaystyle K}$이론은 1950년대 후반 알렉산더 그로텐디크가 대수다양체에 대한 교차 이론을 연구하면서 발전시켰다. 현대 수학에서 그로텐디크는 0번째 ${\displaystyle K}$군인 ${\displaystyle K_{0}}$만 정의했지만 이 군 하나에도 그로텐디크-리만-로흐 정리와 같은 많은 응용이 있다. 교차 이론은 모티브 코호몰로지, 특히 저우 군과의 연결을 통해 (고차) 대수적 ${\displaystyle K}$이론의 발전에 여전히 동기를 부여하는 힘이다. 이 주제는 또한 이차 상호성과 실수체와 복소수체 사이에 수체를 삽입하는 것과 같은 고전적인 정수론 주제뿐만 아니라 고차 조절자의 구성 및 L 함수의 특수 값과 같은 보다 현대적인 문제를 포함한다.

다른 대수 구조의 관점에서 이러한 군에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 부분 ${\displaystyle K}$군이 먼저 발견되었다. 예를 들어, ${\displaystyle F}$가 체인 경우 ${\displaystyle K_{0}(F)}$는 정수 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 동형이며 선형 공간 차원의 개념과 밀접하게 관련된다. 가환 환 ${\displaystyle R}$의 경우, 군 ${\displaystyle K_{0}(R)}$은 ${\displaystyle R}$의 피카드 군과 관련되며, ${\displaystyle R}$이 슈체에서 정수환일 때 이는 유군의 고전적 구성을 일반화한다. 군 ${\displaystyle K_{1}(R)}$은 단원군 ${\displaystyle R^{\times }}$과 밀접하게 관련되어 있으며 ${\displaystyle R}$이 체인 경우 정확히 단원군이다. 수체 ${\displaystyle F}$의 경우 군 ${\displaystyle K_{2}(F)}$는 유체론, 힐베르트 기호 및 완비화에 대한 2차 방정식의 해결 가능성과 관련된다. 대조적으로, 고차 ${\displaystyle K}$군의 환에 대한 정확한 정의를 찾는 것은 대니얼 퀼런의 어려운 업적이었고, 대수적 다형체의 고차 ${\displaystyle K}$군에 대한 많은 기본적 사실은 로버트 토마슨의 연구 이전까지는 알려지지 않았다.

대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군(영어: algebraic K-group) ${\displaystyle \operatorname {K} _{\bullet }(-)}$이다. 이들은 주어진 환 ${\displaystyle R}$에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K군은 다양하게 정의할 수 있다.

• 퀼런 플러스 구성(영어: Quillen plus-construction)은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 환의 무한 일반선형군의 분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다. 대니얼 퀼런이 도입하였다.
• 퀼런 Q-구성(영어: Quillen Q-construction) 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 퀼런 완전 범주라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다. Q-구성을 환 ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 사영 가군 범주 ${\displaystyle \operatorname {fgProjMod} _{R}}$에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
• 발트하우젠 S-구성(영어: Waldhausen S-construction)은 발트하우젠 범주(영어: Waldhausen category)라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다. 퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주 ${\displaystyle \operatorname {bCh} ({\mathcal {E}})}$는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen)이 도입하였다.

환 ${\displaystyle R}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (이산 공간으로 간주한) 그 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;R)}$들의 귀납적 극한

${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;R)=\varinjlim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n;R)}$

을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간 ${\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))}$을 취하자.

위상 공간 ${\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))}$ 위에 플러스 구성 ${\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}}$을 가할 수 있다. 이 경우 그 호모토피 군들이 바뀌지만, 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로, ${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;R)\cong \pi _{1}(\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R)))}$의 정규 부분군 ${\displaystyle E\triangleleft \operatorname {GL} (\infty ;R)}$은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 단위 행렬을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, 기본군의 정규 부분군 ${\displaystyle E}$를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간 ${\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}}$을 얻는다. 그렇다면, ${\displaystyle i>0}$에 대하여 ${\displaystyle i}$차 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} _{i}(R)}$은 ${\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}}$의 ${\displaystyle i}$차 호모토피 군이다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{i}(R)=\pi _{i}(\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+})\qquad (i>0)}$

${\displaystyle i=0}$일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. (${\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}}$는 항상 경로 연결 공간이다.) 환의 0차 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(R)}$는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우

${\displaystyle \pi _{i}(R)=\pi _{i}\left(\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}\times \operatorname {K} _{0}(R)\right)}$

로 정의할 수 있다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(R)}$는 이산 위상을 준 위상군이다.)

퀼런 완전 범주 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 ${\displaystyle \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})}$는 다음과 같은 범주이다.

• ${\displaystyle \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})}$의 대상은 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 대상과 같다.
• ${\displaystyle \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})}$에서 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {E}}}$ 사이의 사상은 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$에서의 그림 ${\displaystyle X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y}$의 동치류이다. 여기서, 두 그림 ${\displaystyle X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y}$, ${\displaystyle X\twoheadleftarrow A'\hookrightarrow Y}$ 사이에 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 동형 사상 ${\displaystyle A\to A'}$이 존재한다면 두 그림을 서로 동치로 간주한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\twoheadleftarrow &A&\hookrightarrow &Y\\\|&&\downarrow &&\|\\X&\twoheadleftarrow &A'&\hookrightarrow &Y\end{matrix}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})}$에서 항등 사상은 ${\displaystyle X{\overset {\operatorname {id} }{\twoheadleftarrow }}X{\overset {\operatorname {id} }{\hookrightarrow }}X}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})}$에서 사상의 합성은 당김을 통해 정의된다. 즉, 그림 ${\displaystyle X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y}$와 ${\displaystyle Y\twoheadleftarrow B\hookrightarrow Z}$의 합성은 다음과 같은 당김 ${\displaystyle A\times _{Y}B}$로서 정의된다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}&&A&\twoheadleftarrow &A\times _{Y}B&\hookrightarrow &B\\&&\|&&&&\|\\X&\twoheadleftarrow &A&\hookrightarrow &Y&\twoheadleftarrow &B&\hookrightarrow &Z\end{matrix}}}$

이제, ${\displaystyle \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})}$의 신경 ${\displaystyle \operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}}))}$을 취하자. 이는 단체 집합이다. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 ${\displaystyle i}$차 K군(영어: K-group)은 ${\displaystyle \operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}}))}$의 (기하학적 실현의) ${\displaystyle i+1}$차 호모토피 군이다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{i}({\mathcal {E}})=\pi _{i+1}(\operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})))}$

발트하우젠 범주(Waldhausen範疇, 영어: Waldhausen category) ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {C}})}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 영 대상을 갖는 범주이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {W}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 모임이다. 그 원소를 약한 동치(영어: weak equivalence)라고 한다. 이를 ${\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}}$로 나타내자.
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 모임이다. 그 원소를 쌍대올뭉치(영어: cofibration)라고 한다. 이를 ${\displaystyle \hookrightarrow }$로 나타내자.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 동형 사상은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
• 영 대상으로부터의 사상 ${\displaystyle 0\to X}$는 쌍대올뭉치이다.
• 쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
• 임의의 ${\displaystyle X\hookleftarrow Z\to Y}$에 대하여, 밂 ${\displaystyle X\cup _{Z}Y}$으로 가는 표준적 사상 ${\displaystyle Y\to X\cup _{Z}Y}$는 쌍대올뭉치이다.
• 다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상 ${\displaystyle X\cup _{Z}Y\to {\tilde {X}}\cup _{\tilde {Z}}{\tilde {Y}}}$는 약한 동치이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\hookleftarrow &Z&\to &Y\\{\scriptstyle \wr }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \wr &&\downarrow \scriptstyle \wr \\{\tilde {X}}&\hookleftarrow &{\tilde {Z}}&\to &{\tilde {Y}}\end{matrix}}}$

발트하우젠 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 및 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})}$을 생각하자.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})}$의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상 ${\displaystyle X_{i,j}}$ (${\displaystyle i\leq j}$) 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다.
  • ${\displaystyle X_{ii}=0}$
  • 쌍대올뭉치의 열 ${\displaystyle 0=X_{0,0}\hookrightarrow X_{0,1}\hookrightarrow X_{0,2}\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow X_{0,n}}$이 존재한다.
  • ${\displaystyle i\leq j\leq k}$에 대하여, ${\displaystyle X_{jk}}$는 ${\displaystyle 0\leftarrow X_{i,j}\hookrightarrow X_{i,k}}$의 밂이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})}$의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-사상들의 열 ${\displaystyle f_{i,j}\colon X_{i,j}\to Y_{i,j}}$로 구성된다.

그렇다면, 각 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})}$ 역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}})}$는 자연스럽게 단체 범주(영어: simplicial category, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.

이 연산 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\bullet }(-)}$을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}}),{\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}})),\dots }$들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 스펙트럼 ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {C}})}$을 이룬다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 K군들은 스펙트럼 ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {C}})}$의 안정 호모토피 군들이다.

${\displaystyle R}$가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 0차 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(R)}$는 ${\displaystyle R}$의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 ${\displaystyle \operatorname {Ring} \hookrightarrow \operatorname {Rng} }$의 수반 함자를 사용해, 유사환 ${\displaystyle S}$에 단위원을 추가해 환 ${\displaystyle R\cong S\oplus \mathbb {Z} }$으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to S\to R\to 0}$

이 존재한다. 그렇다면 ${\displaystyle S}$의 K군 ${\displaystyle K_{0}(S)}$는 이에 의하여 유도되는 군 준동형

${\displaystyle K_{0}(R)\to K(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

의 핵이다.

보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 0차 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} _{0}({\mathcal {E}})}$는 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 대상의 동형류들로 생성되는 자유 아벨 군으로부터, 모든 허용 확대 ${\displaystyle X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z}$에 대하여 ${\displaystyle [X]-[Y]+[Z]}$로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.

${\displaystyle I}$를 ${\displaystyle A}$의 이데알로 정의하고 데카르트 곱 ${\displaystyle A\times A}$의 부분 환으로 "더블"을 정의한다.^[1]

${\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .}$

상대적 ${\displaystyle K}$군은 "double"^[2]

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)\ .}$

여기서 사상은 첫 번째 인자에 따른 사영에 의해 유도된다.

상대적 ${\displaystyle K_{0}(A,I)}$는 ${\displaystyle K_{0}(I)}$와 동형이며 ${\displaystyle I}$를 항등원이 없는 환으로 간주한다. ${\displaystyle A}$로부터의 독립성은 호몰로지에서 절제 정리와 비슷하다.^[3]

${\displaystyle A}$가 가환 환이라면, 사영 가군의 텐서 곱은 다시 사영이므로 텐서 곱은 ${\displaystyle K_{0}}$을 항등식으로 동치류 ${\displaystyle [A]}$를 갖는 가환 환으로 바꾸는 곱셈을 유도한다.^[4] 외적은 비슷하게 λ-환 구조를 유도한다. 피카르 군은 단위 ${\displaystyle K_{0}(A)^{*}}$군의 부분 군으로 포함된다.^[5]

${\displaystyle R}$가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;R)=\varinjlim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n,R)}$

그렇다면, 1차 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(R)}$는 무한 일반선형군의 아벨화이다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(R)=\operatorname {GL} (\infty ;R)^{\operatorname {ab} }=\operatorname {GL} (\infty ;R)/[\operatorname {GL} (\infty ;R),\operatorname {GL} (\infty ;R)]}$

하이먼 배스는 환의 단원 군을 일반화하는 다음 정의를 제공했다: ${\displaystyle K_{1}(A)}$는 무한 일반 선형 군의 아벨화이다.

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

여기서

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)}$

는 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n+1)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n+1)}$에 좌상단 블록 행렬로서 포함되는 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$의 직접 극한이다. ${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$는 그것의 교환자 부분 군이다. 기본 행렬을 항등 행렬과 단일 비대각 원소의 합으로 정의한다(이는 선형 대수학에서 사용되는 기본 행렬의 부분 집합이다). 그런 다음 화이트헤드의 보조 정리는 기본 행렬에 의해 생성된 군 ${\displaystyle E(A)}$가 교환자 부분 군 ${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$와 같다고 말한다. 실제로 군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)/E(A)}$는 화이트헤드^[6]에 의해 처음 정의되고 연구되었으며 환 ${\displaystyle A}$의 화이트헤드 군이라고 한다.

상대적 K-군은 "double"^[7]

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .}$

자연스러운 완전열이 있다^[8]

${\displaystyle K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .}$

${\displaystyle A}$ 가환 환에 대해 행렬식 det를 정의할 수 있다: ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)\rightarrow A^{*}}$에서 ${\displaystyle A}$ 단원 군으로 ${\displaystyle E(A)}$에서 사라지고 따라서 사상 det로 내려간다. : ${\displaystyle K_{1}(A)\rightarrow A^{*}}$. ${\displaystyle E(A)\vartriangleleft {\text{SL}}(A)}$로 특수 화이트헤드 군 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A):={\text{SL}}(A)/E(A)}$를 정의할 수도 있다. 이 사상은 사상 ${\displaystyle A^{*}\rightarrow \operatorname {GL} (1,A)\rightarrow K_{1}(A)}$ (왼쪽 위 모서리에 있는 단위)를 통해 분할되고 따라서 특정 화이트헤드 군을 핵로 가지며 분할 짧은 완전열을 생성한다. :

${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,}$

이는 특수 선형 군을 정의하는 일반적인 분할 짧은 완전열의 몫이다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.}$

행렬식은 단원군 ${\displaystyle A^{*}=\operatorname {GL} _{1}(A)}$를 일반 선형 군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)}$에 포함하여 분할하므로 ${\displaystyle K_{1}(A)}$는 단원군과 특수 화이트헤드 군의 직합 ${\displaystyle K_{1}(A)\cong A^{*}\oplus {\text{S}}K_{1}(A)}$으로 분할된다.

${\displaystyle A}$가 유클리드 정역(예: 체 또는 정수)인 경우 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A)}$는 사라지고 행렬식 사상은 ${\displaystyle K_{1}(A)}$에서 ${\displaystyle A^{*}}$ 로 가는 동형사상이다.^[9] 이것은 일반적으로 PID에 대해 거짓이므로 모든 PID에 일반화되지 않는 유클리드 정역의 드문 수학적 특징 중 하나를 제공한다.${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A)}$이 0이 아닌 명시적 PID는 1980년 Ischebeck과 1981년 그레이슨이 제공했다^[10] ${\displaystyle A}$가 그의 몫 체가 대수적 수체 (유리수의 유한 확장)인 데데킨트 정역이면 Milnor (1971) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFMilnor1971 (help)는 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A)}$가 사라진다는 것을 보여준다.^[11]

${\displaystyle {\text{S}}K_{1}}$의 소멸은 ${\displaystyle \operatorname {GL} }$에서 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$의 상에 의해 ${\displaystyle K_{1}}$가 생성된다는 의미로 해석될 수 있다. 이것이 실패하면 ${\displaystyle K_{1}}$가 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$의 상에 의해 생성되는지 여부를 물을 수 있다. 데데킨드 정역이 이에 해당한다. 실제로 ${\displaystyle K_{1}}$은 ${\displaystyle \operatorname {GL} }$의 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$과 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}}$의 상에 의해 생성된다.^[10] ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}}$에 의해 생성된 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}}$의 부분 군은 메니케 기호로 연구할 수 있다. 극대 이데알 유한에 의한 모든 몫을 갖는 데데킨트 정역의 경우 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}}$은 비틀림 군이다.^[12]

비가환 환의 경우 행렬식를 일반적으로 정의할 수 없지만 사상 ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)\rightarrow K_{1}(A)}$는 행렬식의 일반화이다 _.

체 F 에 대한 중심 단순 대수 ${\displaystyle A}$의 경우, 축소된 노름은 사상 ${\displaystyle K_{1}(A)\rightarrow F^{*}}$및 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A)}$ 핵로 정의될 수 있는 행렬식의 일반화를 제공한다. 왕의 정리는 ${\displaystyle A}$가 소수 차수이면 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A)}$는 사소하고^[13] 이것은 제곱 없는 차수로 확장될 수 있다고 말한다.^[14] 왕은 또한 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A)}$가 수체에 대한 모든 중앙 단순 대수에 대해 사소한 것임을 보여주었지만^[15] Platonov는 ${\displaystyle {\text{S}}K_{1}(A)}$가 중요하지 않은 소수 제곱 정도의 대수에 대한 예를 제공했다.^[14]

${\displaystyle R}$가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;R)}$의 교환자 부분군 ${\displaystyle [\operatorname {GL} (\infty ;R),\operatorname {GL} (\infty ;R)]}$을 생각하자. 이는 완전군이며, 따라서 보편 중심 확대를 갖는다. 이 보편 중심 확대를 ${\displaystyle R}$의 스테인베르그 군(Steinberg群, 영어: Steinberg group) ${\displaystyle \operatorname {St} R}$라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그가 도입하였다.

2차 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(R)}$는 ${\displaystyle R}$의 스테인베르그 군 ${\displaystyle \operatorname {St} R}$의 중심이다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(R)=\operatorname {Z} (\operatorname {St} R)}$

존 밀너는 ${\displaystyle K_{2}}$의 올바른 정의를 찾았다. 이것은 ${\displaystyle A}$의 스타인버그 군 ${\displaystyle {\text{St}}(A)}$의 중심이다.

이는 사상

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

의 핵으로 정의할 수도 있다. 또는 기본 행렬 군의 슈어 승수로 정의할 수도 있다.

체의 경우 ${\displaystyle K_{2}}$는 스타인버그 기호에 의해 결정된다. 이것은 마츠모토의 정리로 이어진다.

유한 체에 대해 ${\displaystyle K_{2}}$가 0임을 계산할 수 있다.^[16][17] ${\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )}$의 계산은 복잡하다: 테이트가 증명했다^[17][18]

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

그리고 그 증명은 이차 상호 법칙에 대한 가우스의 첫 번째 증명을 따랐다고 말했다.^[19][20]

아르키메데스 국소 체가 아닌 경우, 군 ${\displaystyle K_{2}(F)}$는 예를 들어 차수가 ${\displaystyle m}$인 유한 순환 군과 나눗셈 군 ${\displaystyle K_{2}(F)^{m}}$의 직합이다.^[21]

${\displaystyle K_{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$^[22]이며 일반적으로 ${\displaystyle K_{2}}$는 수체의 정수환에 대해 유한하다.^[23]

또한 ${\displaystyle n}$이 4로 나누어지면 ${\displaystyle K_{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$이고 그렇지 않으면 0이다.^[24]

마츠모토 정리^[25]에 따르면 체 ${\displaystyle k}$에 대해 두 번째 ${\displaystyle K}$군은^[26][27]

${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$

마츠모토의 원래 정리는 훨씬 더 일반적이다. 모든 근계에 대해 불안정한 ${\displaystyle K}$이론에 대한 표현을 제공한다. 이 표현은 사교 근계에 대해서만 여기에 제공된 것과 다르다. 비사교 근계의 경우 근계에 대해 불안정한 두 번째 ${\displaystyle K}$군은 정확히 ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)}$에 대한 안정적인 ${\displaystyle K}$군이다. 불안정한 두 번째 ${\displaystyle K}$군(이 문맥에서)은 주어진 근계에 대한 보편 유형의 셰발리 군의 보편 중심 확대의 핵을 취함으로써 정의된다. 이 구조는 근계 ${\displaystyle A_{n}\;\forall n>1}$에 대한 스타인버그 확장의 핵을, 그리고 극한에서 안정적인 두 번째 ${\displaystyle K}$군을 생성한다.

${\displaystyle A}$가 분수 ${\displaystyle F}$의 체를 갖는 데데킨트 정역이면 긴 완전열이 있다.

${\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ }$

여기서 ${\displaystyle {\mathbf {p} }}$는 ${\displaystyle A}$의 모든 주 이데알에 걸쳐 있다.^[28]

상대적 ${\displaystyle K_{1}}$와 ${\displaystyle K_{0}}$에 대한 완전열의 확장도 있다.^[29]

${\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}$

${\displaystyle K_{1}}$에는 ${\displaystyle K_{2}}$의 값과 짝환이 있다. ${\displaystyle A}$에 대한 통근 행렬 ${\displaystyle X,Y}$가 주어지면 ${\displaystyle X,Y}$를 상로 사용하여 스타인버그 군의 원소 ${\displaystyle x,y}$를 가져온다. 교환자 ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$는 ${\displaystyle K_{2}}$의 원소이다.^[30] 사상이 항상 전사적인 것은 아니다.^[31]

체 ${\displaystyle k}$의 ${\displaystyle K_{2}}$에 대한 위의 표현은 밀너를 다음과 같은 "고차" ${\displaystyle K}$군의 정의로 이끌었다.

${\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)),}$

따라서 곱셈군 ${\displaystyle k^{\times }}$ 양쪽 이데알의 텐서 대수 몫의 등급이 매겨진 부분으로서

${\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.}$

${\displaystyle n=0,1,2}$의 경우 이들은 아래의 것과 일치하지만 n ≥ 3의 경우 일반적으로 다르다. 예를 들어 ${\displaystyle K_{n}}$있다. ${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {F} _{q})=0\;\forall n\geq 2}$ 이지만, 홀수 n 인 경우 ${\displaystyle K_{n}\mathbb {F} _{q}}$는 0이 아니다(아래 참조).

텐서 대수의 텐서 곱은 곱 ${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$을 유도하고 등급 가환 등급 환 ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$을 만든다.^[32]

${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\in K_{n}^{M}(k)}$의 상을 기호 ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$라고 한다. ${\displaystyle k}$에서 가역적인 정수 ${\displaystyle m}$에 대해 다음 사상이 있다.

${\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})}$

여기서 ${\displaystyle \mu _{m}}$는 ${\displaystyle k}$의 일부 분리 가능한 확장에서 ${\displaystyle m}$ 번째 단위 근의 군을 나타낸다. 이것은 다음으로 확장된다.

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ }$

밀너 ${\displaystyle K}$군의 정의 관계를 만족한다. 따라서 ${\displaystyle \partial ^{n}}$는 ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$에 대한 사상으로 볼 수 있다. 이를 갈루아 기호 사상이라고 한다.^[33]

블라디미르 보예보츠키에 의해 입증된 밀너 추측은 체의 에탈(또는 갈루아) 코호몰로지와 2를 법으로 하는 밀너 K-이론 사이의 관계이다. 홀수 소수에 대한 비슷한 진술은 보예보츠키, 로스트 등에 의해 증명된 블로흐-가토 추측이다.

고차 ${\displaystyle K}$군의 허용된 정의는 Quillen (1973) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFQuillen1973 (help)에 의해 제공되었으며, 몇 년 동안 양립할 수 없는 몇 가지 정의가 제안되었다. 프로그램의 목적은 ${\displaystyle R\Rightarrow \mathbf {K} (R)}$ 및 ${\displaystyle (R,I)\Rightarrow \mathbf {K} (R,I)}$가 함수가 되도록 공간을 분류하는 관점에서 ${\displaystyle \mathbf {K} (R)}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {K} (R,I)}$의 정의를 찾는 것이다. 공간의 호모토피 범주와 상대적인 K-군에 대한 긴 완전열은 올화 ${\displaystyle \mathbf {K} (R,I)}$의 긴 호모토피 완전열${\displaystyle \mathbf {K} (R,I)\rightarrow \mathbf {K} (R)\rightarrow \mathbf {K} (R/I)}$로 발생한다.^[34]

퀼런은 "+-구성"과 " Q -구성"의 두 가지 구성을 제공했으며 후자는 이후 다른 방식으로 수정되었다.^[35] 두 구성은 동일한 ${\displaystyle K}$군을 생성한다.^[36]

고등 대수 ${\displaystyle K}$환 이론의 가능한 정의 중 하나는 퀼런에 의해 제공되었다.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

여기서 ${\displaystyle \pi _{n}}$은 호모토피 군이고, ${\displaystyle \operatorname {GL} (R)}$은 무한대로 가는 행렬의 크기에 대한 ${\displaystyle R}$에 대한 일반선형군의 직접 극한이고, ${\displaystyle B}$는 호모토피 이론의 분류 공간 구성이며, ⁺는 퀼런의 플러스 구성이다. 그는 원래 ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {F} _{q})}$의 군 코호몰로지를 연구하면서 이 아이디어를 발견했고,^[37] 그의 계산 중 일부는 ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {F} _{q})}$와 관련되어 있다는 것을 알았다.

이 정의는 ${\displaystyle n>0}$에만 적용된다. 그래서 우리는 종종 고차 대수적 ${\displaystyle K}$이론을 다음을 통해 정의한다.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

${\displaystyle B\operatorname {GL} (R)^{+}}$는 경로 연결이고 ${\displaystyle K_{0}(R)}$는 이산적이므로 이 정의는 고차에서도 다르지 않으며 ${\displaystyle n=0}$에도 적용된다.

Q 구조는 +구조와 동일한 결과를 제공하지만 보다 일반적인 상황에 적용된다. 더욱이, 정의는 Q 구성을 통해 정의된 ${\displaystyle K}$군이 정의에 의해 기능적이라는 점에서 보다 직접적이다. 이 사실은 플러스 구조에서 자동적이지 않다.

${\displaystyle P}$가 완전 범주라고 가정하자. ${\displaystyle P}$에 연관된 새로운 범주 ${\displaystyle QP}$가 정의되며, 그 대상은 ${\displaystyle P}$의 대상이다. ${\displaystyle M'}$에서 ${\displaystyle M''}$로 가는 사상은 다이어그램

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M''}$

의 동형사상 동치류이다. 여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 전사 사상이고 두 번째 화살표는 허용 가능한 단사 사상이다. ${\displaystyle QP}$의 사상들은 사상이

${\displaystyle X\leftarrow Z\rightarrow Y}$

인 대응 ${\displaystyle Z\subset X\times Y}$으로 주어지는 모티브 범주의 사상 정의와 비슷함에 유의하라. 왼쪽의 화살표가 덮개 사상(따라서 전사)이고 오른쪽의 화살표가 단사인 도형이다. 그런 다음 이 범주는 분류 공간 구성 ${\displaystyle BQP}$을 사용하여 위상 공간으로 전환될 수 있다. 이는 ${\displaystyle QP}$의 신경의 기하학적 실현으로 정의된다. 그런 다음, 완전 범주 ${\displaystyle P}$의 i 번째 ${\displaystyle K}$군은 고정된 영 대상 ${\displaystyle 0}$과 함께 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

준군 ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$의 공간 분류는 호모토피 군을 1차 위로 옮기므로 에 유의하라. 즉, ${\displaystyle K_{i}}$의 차수 이동이 공간의 ${\displaystyle \pi _{i+1}}$가 된다.

이 정의는 위의 ${\displaystyle K_{0}(P)}$의 정의와 일치한다. ${\displaystyle P}$가 유한 생성 사영 R 가군의 범주인 경우 이 정의는 위의 ${\displaystyle B\operatorname {GL} ^{+}}$ 모든 n 에 대한 ${\displaystyle K_{n}(R)}$의 정의와 일치한다. 보다 일반적으로, 스킴 ${\displaystyle X}$에 대해, ${\displaystyle X}$의 고차 ${\displaystyle K}$군은 ${\displaystyle X}$의 국소적으로 자유 연접층 (의 완전 범주)의 ${\displaystyle K}$군으로 정의된다.

이에 대한 다음 변형도 사용된다. 유한 생성 사영(=국소 자유) 가군은 유한 생성 가군을 사용한다. 결과 ${\displaystyle K}$군은 일반적으로 ${\displaystyle G_{n}(R)}$로 작성된다. ${\displaystyle R}$이 뇌터 정칙 환일 때 ${\displaystyle G}$ 이론과 ${\displaystyle K}$이론이 일치한다. 실제로, 일반 환의 대역 차원은 유한하다. 즉, 유한 생성 모든 가군은 유한한 사영 해결 P _* → M 을 가지며 간단한 인수는 [ M ] = Σ ± [ P _n ]와 함께 표준 사상 ${\displaystyle K_{0}(R)\rightarrow G_{0}(R)}$이 동형임을 보여준다. 이 동형은 고차 ${\displaystyle K}$군에도 확장된다.

${\displaystyle K}$이론 군의 세 번째 구성은 발트하우젠${\displaystyle S}$ 구성이다. 이는 여올화가 있는 범주(발트하우젠 범주라고도 함)에 적용된다. 이것은 완전 범주보다 더 일반적인 개념이다.

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 K군은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{2i}(\mathbb {F} _{q})=0\qquad (i>0)}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{2i-1}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z} /(q^{i}-1)\qquad (i>0)}$

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{3}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /48}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{4}(\mathbb {Z} )}$ = 0^[38]

이나 일반적인 경우에 대해서는 추측만 있다.

퀼런 대수 ${\displaystyle K}$이론이 대수 기하학 및 위상 수학의 다양한 측면에 대한 깊은 통찰을 제공하는 동안 ${\displaystyle K}$군은 고립되어 있지만 흥미로운 몇 가지 경우를 제외하고는 특히 계산하기 어려운 것으로 입증되었다. (참조: 체의 K-군)

환의 고차 대수적 ${\displaystyle K}$군의 첫 번째이자 가장 중요한 계산 중 하나는 유한 체의 경우에 대해 퀼런 자신이 수행했다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$가 q 원소가 있는 유한 체일 때:

• ${\displaystyle K_{0}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle K_{2i}(\mathbb {F} _{q})=0\;\forall i\geq 1}$.
• ${\displaystyle K_{2i-1}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z} /(q'-1)\mathbb {Z} \;\forall i\geq 1}$.

퀼런은 ${\displaystyle A}$가 대수적 수체 ${\displaystyle F}$(유리수의 유한 확장)에서 대수적 정수환인 경우 ${\displaystyle A}$의 대수적 ${\displaystyle K}$군이 유한하게 생성됨을 증명했다. 아르망 보렐은 이를 사용하여 꼬임을 법으로 ${\displaystyle K_{i}(A),K_{i}(F)}$를 계산했다. 예를 들어, 정수 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에 대해 보렐은 (꼬임을 법으로)

• 양수 k에 대해 i=4k+1이 아닌 양수 i에 대해 ${\displaystyle K_{i}(\mathbb {Z} )/{\text{tors.}}=0}$
• ${\displaystyle K_{4k+1}(\mathbb {Z} )/{\text{tors.}}=\mathbb {Z} \;\forall k>0}$.

${\displaystyle K_{2i+1}(\mathbb {Z} )}$의 꼬임 부분 군과 유한 군 ${\displaystyle K_{4k+2}(\mathbb {Z} )}$의 차수는 최근에 결정되었지만 후자의 군이 주기적인지 여부와 군 ${\displaystyle K_{4k}(\mathbb {Z} )}$ 소멸은 원분 정수의 유군에 대한 Vandiver의 추측에 따라 달라진다. 자세한 내용은 퀼런-리히텐바움 추측을 참조.

대수 ${\displaystyle K}$군은 L-함수의 특수 값에 대한 추측과 이와사와 이론의 비가환적 주요 추측 공식화 및 고차 조절자 구성에 사용된다.^[39]

파신의 추측은 유한 체에 대한 매끄러운 다형체에 대한 고차 대수적 ${\displaystyle K}$군에 관한 것이며, 이 경우 군이 꼬임까지 사라진다고 말한다.

하이먼 배스의 또 다른 근본적인 추측( 배스' 추측 )은 ${\displaystyle A}$가 유한 생성 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 대수일 때 모든 군 )${\displaystyle G_{n}(A)}$가 유한 생성다고 말한다. (군 ${\displaystyle G_{n}(A)}$는 유한 생성 ${\displaystyle A}$-가군 범주의 ${\displaystyle K}$군이다.)

${\displaystyle K}$이론의 역사는 바이벨이 자세히 설명했다.^[40]

K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년).^[41] 곧 1950년대 말에 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.

세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군이다. 이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼이 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다.^[42] 2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다.^[43] 밀너는 이 구성을 고차 ${\displaystyle n}$에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.

고차 K군의 올바른 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성^[44][45][46]과 Q-구성^[47]을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.^[48]

19세기에 베른하르트 리만과 그의 학생 구스타프 로흐는 현재 리만-로흐 정리로 알려진 것을 증명했다. ${\displaystyle X}$가 리만 곡면이면 ${\displaystyle X}$의 사상 함수와 사상 미분 형식의 집합은 선형 공간을 형성한다. ${\displaystyle X}$의 선 다발은 이러한 선형 공간의 부분 공간을 결정하며, ${\displaystyle X}$가 사영인 경우 이러한 부분 공간은 유한 차원이다. 리만-로흐 정리에 따르면 이러한 부분 공간 간의 차원 차이는 선 다발의 차수(꼬인 정도 측정)에 1에서 ${\displaystyle X}$의 속을 뺀 값과 같다. 20세기 중반에, 리만-로흐 정리는 프리드리히 히르제브루흐에 의해 모든 대수적 다형체로 일반화되었다. 히르체부르흐의 공식화인 히르체부르흐–리만-로흐 정리에서 정리는 오일러 특성에 대한 진술이 되었다. 선형 다발의 특성류에서 오는 보정 계수를 더한 자명한 다발의 이는 사영 리만 곡면에서 선 다발의 오일러 특성이 앞에서 언급한 차원의 차이와 같고, 자명한 다발의 오일러 특성은 1에서 종수를 뺀 값이고, 유일한 중요하지 않은 특성류는 차수이기 때문에 일반화이다.

${\displaystyle K}$이론의 주제는 히르제브루흐 정리의 일반화인 그로텐디크-리만-로흐 정리에 등장한 알렉산더 그로텐디크의 1957년 구성에서 이름을 따왔다.^[49] ${\displaystyle X}$를 매끄러운 대수적 다형체라고 하자. ${\displaystyle X}$의 각 선형 다발에 대해 그로텐디크는 불변량인 클래스를 연결한다. ${\displaystyle X}$의 모든 클래스 집합은 독일어 Klasse에서 따와 ${\displaystyle K(X)}$라고 불렀다. 정의에 따르면, ${\displaystyle K(X)}$는 ${\displaystyle X}$에 대한 선형 다발의 동치류에 대한 자유 아벨 군의 몫이므로 아벨 군이다. 선형 다발 ${\displaystyle V}$에 해당하는 기저 원소가 ${\displaystyle [V]}$로 표시된 경우 선형 다발의 각각의 짧은 완전열에 대해:

${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0,}$

그로텐디크는 ${\displaystyle [V]=[V']+[V'']}$ 관계를 부과했다. 이러한 생성원과의 관계는 ${\displaystyle K(X)}$를 정의하며 완전열와 호환되는 방식으로 선형 다발에 불변량을 할당하는 보편적인 방법임을 암시한다.

그로텐디크는 리만-로흐 정리가 다형체 자체가 아니라 다형체의 사상에 대한 진술이라는 관점을 취했다. 그는 천 특성류와 ${\displaystyle X}$의 토드 특성류에서 오는 ${\displaystyle X}$의 저우 군에 대한 ${\displaystyle K(X)}$의 동형이 있음을 증명했다. 또한, 그는 적절한 사상 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 에서 매끄러운 다형체 ${\displaystyle Y}$로 동형 ${\displaystyle f^{*}:K(X)\rightarrow K(Y)}$를 결정한다. 이는 앞으로 밂이라고 한다. 이는 ${\displaystyle X}$의 선형 다발에서 ${\displaystyle Y}$의 저우 군에 있는 원소를 결정하는 두 가지 방법을 제공한다. ${\displaystyle X}$에서 시작하여 먼저 ${\displaystyle K}$이론에서 앞으로 밂을 계산한 다음 천 특성와 ${\displaystyle Y}$의 토드 특성류를 적용하거나 먼저 천 특성와 ${\displaystyle X}$의 토드 특성류를 적용한 다음 저우 군에 대한 앞으로 밂을 계산한다. 그로텐디크-리만-로흐 정리는 이들이 같다고 말한다. ${\displaystyle Y}$가 점이면 선형 다발은 선형 공간이고 선형 공간의 클래스는 선형 공간의 차원이며 그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체부르흐 정리에 특화되어 있다.

군 ${\displaystyle K(X)}$는 이제 ${\displaystyle K_{0}(X)}$로 알려져 있다. 사영 가군로 선형 다발을 대체할 때 ${\displaystyle K_{0}}$은 또한 비유환 환에 대해 정의되었으며, 여기에서 군 표현에 적용할 수 있다. 아티야와 히르체부르흐는 그로텐디크의 구성을 위상으로 신속하게 전송하고 위상 K-이론을 정의하는 데 사용했다.^[50] 위상 ${\displaystyle K}$이론은 놀라운 코호몰로지 이론의 첫 번째 예 중 하나이다. 정규화 공리를 제외한 모든 에일렌베르크-스틴로드 공리를 만족하는 군 ${\displaystyle K_{n}(X)}$의 열을 각 위상 공간 ${\displaystyle X}$ (약간의 기술적 제약을 충족)에 연결한다. 그러나 대수적 다형체의 설정은 훨씬 더 엄격하며 위상 수학에서 사용되는 유연한 구조는 사용할 수 없다. 군 ${\displaystyle K_{0}}$은 대수적 다형체과 비가환 환의 코호몰로지 이론의 시작이 되기 위해 필요한 성질을 만족하는 것처럼 보였지만, 고차 ${\displaystyle K_{n}(X)}$에 대한 명확한 정의는 없었다. 그러한 정의가 개발되더라도 제한 및 접착을 둘러싼 기술적 문제로 인해 일반적으로 ${\displaystyle K_{n}}$ 다형체이 아닌 환에 대해서만 정의되었다.

군환에 대한 ${\displaystyle K_{1}}$과 밀접한 관련이 있는 군은 이전에 J. 화이트헤드에 의해 도입되었다. 앙리 푸앵카레는 삼각 분할 측면에서 다양체의 베티 수를 정의하려고 시도했다. 그러나 그의 방법에는 심각한 차이가 있었다. 푸앵카레는 다양체의 두 삼각 분할이 항상 동일한 베티 수를 생성한다는 것을 증명할 수 없었다. 베티 수는 삼각 분할을 세분화하여 변경되지 않았으며, 따라서 공통 세분화를 공유하는 두 삼각 분할은 모두 동일한 베티 수를 가짐이 분명했다. 알려지지 않은 것은 임의의 두 삼각분할이 공통 세분화를 허용한다는 것이다. 이 가설은 Hauptvermutung (대략 "주요 추측"이라는 뜻)으로 알려진 추측이 되었다. 삼각 분할이 세분화 하에서 안정적이라는 사실은 화이트헤드가 단순 호모토피 유형의 개념을 도입하도록 이끌었다.^[51] 단순 호모토피 동치는 각각의 추가 단체 또는 세포 변형이 이전 공간의 세분으로 축소되는 방식으로 단순 복합체 또는 세포 복합체에 단체 복합체 또는 세포를 추가하는 측면에서 정의된다. 이 정의에 대한 동기의 일부는 삼각분할의 세분은 원래 삼각분할과 동일한 단순 호모토피이므로 공통 세분을 공유하는 두 삼각 분할은 단순 호모토피 동치여야 한다는 것이다. 화이트헤드는 비틀림이라고 하는 불변량을 도입하여 단순 호모토피 동치가 호모토피 동치보다 더 세밀한 불변임을 증명했다. 호모토피 동치의 비틀림은 현재 화이트헤드 군이라고 하는 군에서 값을 가지며 ${\displaystyle {\text{Wh}}(\pi )}$로 표시된다. 여기서 ${\displaystyle \pi }$는 두 복합체의 기본 군이다. 화이트헤드는 자명하지 않은 비틀림의 예를 발견하여 일부 호모토피 동치성이 단순하지 않음을 증명했다. 화이트헤드 군은 나중에 ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {Z} \pi )}$의 몫인 것으로 밝혀졌다. 여기서 ${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$는 ${\displaystyle \pi }$의 정수 군환이다. 나중에 존 밀너는 주요 추측(Hauptvermutung)을 반증하기 위해 화이트헤드 비틀림과 관련된 불변량인 라이데마이스터 비틀림을 사용했다.

환의 ${\displaystyle K_{1}}$에 대한 최초의 적절한 정의는 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼에 의해 만들어졌다.^[52] 위상 ${\displaystyle K}$ 이론에서 ${\displaystyle K_{1}}$은 공간의 현수에 있는 선형 다발을 사용하여 정의된다. 이러한 모든 선형 다발은 공간의 두 절반에 있는 두 개의 자명한 선형 다발이 공간의 공통 띠를 따라 접착되는 클러칭 구성에서 나온다. 이 접착 데이터는 일반선형군을 사용하여 표현되지만 기본 행렬(기본 행 또는 열 작업에 해당하는 행렬)에서 나오는 해당 군의 원소는 동등한 접착을 정의한다. 이에 동기를 부여하여 환 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle K_{1}}$에 대한 배스-섀뉴얼의 정의 ${\displaystyle {\text{GL}}(R)/E(R)}$이며, 여기서 ${\displaystyle {\text{GL}}(R)}$은 무한 일반 선형 군(모든 ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$의 합집합)이고 ${\displaystyle E(R)}$는 기본 행렬의 부분 군이다. 그들은 또한 환의 동형에 대한 ${\displaystyle K_{0}}$의 정의를 제공하고 ${\displaystyle K_{0}}$과 ${\displaystyle K_{1}}$이 상대적인 호몰로지 정확한 서열과 비슷한 정확한 서열에 함께 맞을 수 있음을 증명했다.

이 기간의 ${\displaystyle K}$이론 작업은 배스의 책 Algebraic K 이론 에서 최고조에 달했다.^[53] 당시 알려진 결과에 대한 일관된 설명을 제공하는 것 외에도 배스는 정리의 많은 진술을 개선했다. 특히 주목할 점은 배스가 무티와의 초기 작업을 기반으로^[54] 현재 대수 <i id="mw8Q">K</i> 이론의 기본 정리로 알려진 것의 첫 번째 증명을 제공했다는 것이다. 이것은 환 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle K_{0}}$을 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle K_{1}}$, 다항식 환 ${\displaystyle R[t]}$및 국소화 ${\displaystyle R[t,t^{-1}]}$과 관련시키는 4항 완전열이다. 배스는 이 정리가 ${\displaystyle K_{1}}$의 관점에서 ${\displaystyle K_{0}}$에 대한 설명을 제공한다는 것을 인식했다. 이 설명을 재귀적으로 적용하여 음수 ${\displaystyle K}$군 ${\displaystyle K_{-n}(R)}$을 생성했다. 독립적인 작업에서 막스 카루비는 특정 범주에 대해 음의 ${\displaystyle K}$군에 대한 또 다른 정의를 제공하고 그의 정의가 배스와 동일한 군을 산출함을 증명했다.^[55]

이 주제의 다음 주요 발전은 ${\displaystyle K_{2}}$의 정의와 함께 이루어졌다. 스타인버그는 체에 대한 셰발리 군의 보편적 중심 확대를 연구하고 생성자와 관계 측면에서 이 군을 명시적으로 제시했다.^[56] 기본 행렬의 군 ${\displaystyle E_{n}(k)}$의 경우, 보편 중심 확대는 이제 ${\displaystyle {\text{St}}_{n}(k)}$로 쓰여지고 스타인버그 군이라고 불린다. 1967년 봄에 존 밀너는 ${\displaystyle K_{2}(R)}$