수학에서 대수적 K이론(代數的K理論, 영어: algebraic K-theory)은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다. 대수적 K이론은 기하학, 위상 수학, 환론, 정수론과 연결된다. 기하, 대수 및 산술 대상에는
군이라는 대상이 할당된다. 이들은 군이다. 여기에는 원래 대상에 대한 자세한 정보가 포함되어 있지만 계산하기가 아주 어렵다. 예를 들어, 정수의
군을 계산하는 것은 중요한 미해결 문제이다.
이론은 1950년대 후반 알렉산더 그로텐디크가 대수다양체에 대한 교차 이론을 연구하면서 발전시켰다. 현대 수학에서 그로텐디크는 0번째
군인
만 정의했지만 이 군 하나에도 그로텐디크-리만-로흐 정리와 같은 많은 응용이 있다. 교차 이론은 모티브 코호몰로지, 특히 저우 군과의 연결을 통해 (고차) 대수적
이론의 발전에 여전히 동기를 부여하는 힘이다. 이 주제는 또한 이차 상호성과 실수체와 복소수체 사이에 수체를 삽입하는 것과 같은 고전적인 정수론 주제뿐만 아니라 고차 조절자의 구성 및 L 함수의 특수 값과 같은 보다 현대적인 문제를 포함한다.
다른 대수 구조의 관점에서 이러한 군에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 부분
군이 먼저 발견되었다. 예를 들어,
가 체인 경우
는 정수
와 동형이며 선형 공간 차원의 개념과 밀접하게 관련된다. 가환 환
의 경우, 군
은
의 피카드 군과 관련되며,
이 슈체에서 정수환일 때 이는 유군의 고전적 구성을 일반화한다. 군
은 단원군
과 밀접하게 관련되어 있으며
이 체인 경우 정확히 단원군이다. 수체
의 경우 군
는 유체론, 힐베르트 기호 및 완비화에 대한 2차 방정식의 해결 가능성과 관련된다. 대조적으로, 고차
군의 환에 대한 정확한 정의를 찾는 것은 대니얼 퀼런의 어려운 업적이었고, 대수적 다형체의 고차
군에 대한 많은 기본적 사실은 로버트 토마슨의 연구 이전까지는 알려지지 않았다.
대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군(영어: algebraic K-group)
이다. 이들은 주어진 환
에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.
K군은 다양하게 정의할 수 있다.
- 퀼런 플러스 구성(영어: Quillen plus-construction)은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 환의 무한 일반선형군의 분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다. 대니얼 퀼런이 도입하였다.
- 퀼런 Q-구성(영어: Quillen Q-construction) 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 퀼런 완전 범주라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다. Q-구성을 환
위의 유한 생성 사영 가군 범주
에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다. - 발트하우젠 S-구성(영어: Waldhausen S-construction)은 발트하우젠 범주(영어: Waldhausen category)라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다. 퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주
는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen)이 도입하였다.
환
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (이산 공간으로 간주한) 그 일반선형군
들의 귀납적 극한

을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간
을 취하자.
위상 공간
위에 플러스 구성
을 가할 수 있다. 이 경우 그 호모토피 군들이 바뀌지만, 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로,
의 정규 부분군
은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 단위 행렬을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, 기본군의 정규 부분군
를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간
을 얻는다. 그렇다면,
에 대하여
차 K군
은
의
차 호모토피 군이다.

일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. (
는 항상 경로 연결 공간이다.) 환의 0차 K군
는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우

로 정의할 수 있다. (여기서
는 이산 위상을 준 위상군이다.)
퀼런 완전 범주
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주
는 다음과 같은 범주이다.
의 대상은
의 대상과 같다.
에서
사이의 사상은
에서의 그림
의 동치류이다. 여기서, 두 그림
,
사이에 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 동형 사상
이 존재한다면 두 그림을 서로 동치로 간주한다. 
에서 항등 사상은
이다.
에서 사상의 합성은 당김을 통해 정의된다. 즉, 그림
와
의 합성은 다음과 같은 당김
로서 정의된다. 
이제,
의 신경
을 취하자. 이는 단체 집합이다.
의
차 K군(영어: K-group)은
의 (기하학적 실현의)
차 호모토피 군이다.

발트하우젠 범주(Waldhausen範疇, 영어: Waldhausen category)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
는 영 대상을 갖는 범주이다.
는
의 사상들의 모임이다. 그 원소를 약한 동치(영어: weak equivalence)라고 한다. 이를
로 나타내자.
는
의 사상들의 모임이다. 그 원소를 쌍대올뭉치(영어: cofibration)라고 한다. 이를
로 나타내자.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 모든 동형 사상은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
- 영 대상으로부터의 사상
는 쌍대올뭉치이다. - 쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
- 임의의
에 대하여, 밂
으로 가는 표준적 사상
는 쌍대올뭉치이다. - 다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상
는 약한 동치이다. 
발트하우젠 범주
및 자연수
이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주
을 생각하자.
의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상
(
) 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다. 
- 쌍대올뭉치의 열
이 존재한다.
에 대하여,
는
의 밂이다.
의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는
-사상들의 열
로 구성된다.
그렇다면, 각
역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은
는 자연스럽게 단체 범주(영어: simplicial category, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.
이 연산
을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주
들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 스펙트럼
을 이룬다.
의 K군들은 스펙트럼
의 안정 호모토피 군들이다.
가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 0차 K군
는
의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.
유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자
의 수반 함자를 사용해, 유사환
에 단위원을 추가해 환
으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

이 존재한다. 그렇다면
의 K군
는 이에 의하여 유도되는 군 준동형

의 핵이다.
보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주
의 0차 K군
는
의 대상의 동형류들로 생성되는 자유 아벨 군으로부터, 모든 허용 확대
에 대하여
로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.
를
의 이데알로 정의하고 데카르트 곱
의 부분 환으로 "더블"을 정의한다.[1]

상대적
군은 "double"[2]

여기서 사상은 첫 번째 인자에 따른 사영에 의해 유도된다.
상대적
는
와 동형이며
를 항등원이 없는 환으로 간주한다.
로부터의 독립성은 호몰로지에서 절제 정리와 비슷하다.[3]
가 가환 환이라면, 사영 가군의 텐서 곱은 다시 사영이므로 텐서 곱은
을 항등식으로 동치류
를 갖는 가환 환으로 바꾸는 곱셈을 유도한다.[4] 외적은 비슷하게 λ-환 구조를 유도한다. 피카르 군은 단위
군의 부분 군으로 포함된다.[5]
가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.

그렇다면, 1차 K군
는 무한 일반선형군의 아벨화이다.
![{\displaystyle \operatorname {K} _{1}(R)=\operatorname {GL} (\infty ;R)^{\operatorname {ab} }=\operatorname {GL} (\infty ;R)/[\operatorname {GL} (\infty ;R),\operatorname {GL} (\infty ;R)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b8e2d0623fda0d96f2a71b584bd1388496b38c)
하이먼 배스는 환의 단원 군을 일반화하는 다음 정의를 제공했다:
는 무한 일반 선형 군의 아벨화이다.
![{\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659686cd5ae08c151b39bcefb0c95862169fadfc)
여기서

는 
에 좌상단 블록 행렬로서 포함되는
의 직접 극한이다.
는 그것의 교환자 부분 군이다. 기본 행렬을 항등 행렬과 단일 비대각 원소의 합으로 정의한다(이는 선형 대수학에서 사용되는 기본 행렬의 부분 집합이다). 그런 다음 화이트헤드의 보조 정리는 기본 행렬에 의해 생성된 군
가 교환자 부분 군
와 같다고 말한다. 실제로 군
는 화이트헤드[6]에 의해 처음 정의되고 연구되었으며 환
의 화이트헤드 군이라고 한다.
상대적 K-군은 "double"[7]

자연스러운 완전열이 있다[8]

가환 환에 대해 행렬식 det를 정의할 수 있다:
에서
단원 군으로
에서 사라지고 따라서 사상 det로 내려간다. :
.
로 특수 화이트헤드 군
를 정의할 수도 있다. 이 사상은 사상
(왼쪽 위 모서리에 있는 단위)를 통해 분할되고 따라서 특정 화이트헤드 군을 핵로 가지며 분할 짧은 완전열을 생성한다. :

이는 특수 선형 군을 정의하는 일반적인 분할 짧은 완전열의 몫이다.

행렬식은 단원군
를 일반 선형 군
에 포함하여 분할하므로
는 단원군과 특수 화이트헤드 군의 직합
으로 분할된다.
가 유클리드 정역(예: 체 또는 정수)인 경우
는 사라지고 행렬식 사상은
에서
로 가는 동형사상이다.[9] 이것은 일반적으로 PID에 대해 거짓이므로 모든 PID에 일반화되지 않는 유클리드 정역의 드문 수학적 특징 중 하나를 제공한다.
이 0이 아닌 명시적 PID는 1980년 Ischebeck과 1981년 그레이슨이 제공했다[10]
가 그의 몫 체가 대수적 수체 (유리수의 유한 확장)인 데데킨트 정역이면 Milnor (1971) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFMilnor1971 (help)는
가 사라진다는 것을 보여준다.[11]
의 소멸은
에서
의 상에 의해
가 생성된다는 의미로 해석될 수 있다. 이것이 실패하면
가
의 상에 의해 생성되는지 여부를 물을 수 있다. 데데킨드 정역이 이에 해당한다. 실제로
은
의
과
의 상에 의해 생성된다.[10]
에 의해 생성된
의 부분 군은 메니케 기호로 연구할 수 있다. 극대 이데알 유한에 의한 모든 몫을 갖는 데데킨트 정역의 경우
은 비틀림 군이다.[12]
비가환 환의 경우 행렬식를 일반적으로 정의할 수 없지만 사상
는 행렬식의 일반화이다 .
체 F 에 대한 중심 단순 대수
의 경우, 축소된 노름은 사상
및
핵로 정의될 수 있는 행렬식의 일반화를 제공한다. 왕의 정리는
가 소수 차수이면
는 사소하고[13] 이것은 제곱 없는 차수로 확장될 수 있다고 말한다.[14] 왕은 또한
가 수체에 대한 모든 중앙 단순 대수에 대해 사소한 것임을 보여주었지만[15] Platonov는
가 중요하지 않은 소수 제곱 정도의 대수에 대한 예를 제공했다.[14]
가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 일반선형군
의 교환자 부분군
을 생각하자. 이는 완전군이며, 따라서 보편 중심 확대를 갖는다. 이 보편 중심 확대를
의 스테인베르그 군(Steinberg群, 영어: Steinberg group)
라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그가 도입하였다.
2차 K군
는
의 스테인베르그 군
의 중심이다.

존 밀너는
의 올바른 정의를 찾았다. 이것은
의 스타인버그 군
의 중심이다.
이는 사상

의 핵으로 정의할 수도 있다. 또는 기본 행렬 군의 슈어 승수로 정의할 수도 있다.
체의 경우
는 스타인버그 기호에 의해 결정된다. 이것은 마츠모토의 정리로 이어진다.
유한 체에 대해
가 0임을 계산할 수 있다.[16][17]
의 계산은 복잡하다: 테이트가 증명했다[17][18]

그리고 그 증명은 이차 상호 법칙에 대한 가우스의 첫 번째 증명을 따랐다고 말했다.[19][20]
아르키메데스 국소 체가 아닌 경우, 군
는 예를 들어 차수가
인 유한 순환 군과 나눗셈 군
의 직합이다.[21]
[22]이며 일반적으로
는 수체의 정수환에 대해 유한하다.[23]
또한
이 4로 나누어지면
이고 그렇지 않으면 0이다.[24]
마츠모토 정리[25]에 따르면 체
에 대해 두 번째
군은[26][27]

마츠모토의 원래 정리는 훨씬 더 일반적이다. 모든 근계에 대해 불안정한
이론에 대한 표현을 제공한다. 이 표현은 사교 근계에 대해서만 여기에 제공된 것과 다르다. 비사교 근계의 경우 근계에 대해 불안정한 두 번째
군은 정확히
에 대한 안정적인
군이다. 불안정한 두 번째
군(이 문맥에서)은 주어진 근계에 대한 보편 유형의 셰발리 군의 보편 중심 확대의 핵을 취함으로써 정의된다. 이 구조는 근계
에 대한 스타인버그 확장의 핵을, 그리고 극한에서 안정적인 두 번째
군을 생성한다.
가 분수
의 체를 갖는 데데킨트 정역이면 긴 완전열이 있다.

여기서
는
의 모든 주 이데알에 걸쳐 있다.[28]
상대적
와
에 대한 완전열의 확장도 있다.[29]

에는
의 값과 짝환이 있다.
에 대한 통근 행렬
가 주어지면
를 상로 사용하여 스타인버그 군의 원소
를 가져온다. 교환자
는
의 원소이다.[30] 사상이 항상 전사적인 것은 아니다.[31]
체
의
에 대한 위의 표현은 밀너를 다음과 같은 "고차"
군의 정의로 이끌었다.

따라서 곱셈군
양쪽 이데알의 텐서 대수 몫의 등급이 매겨진 부분으로서

의 경우 이들은 아래의 것과 일치하지만 n ≥ 3의 경우 일반적으로 다르다. 예를 들어
있다.
이지만, 홀수 n 인 경우
는 0이 아니다(아래 참조).
텐서 대수의 텐서 곱은 곱
을 유도하고 등급 가환 등급 환
을 만든다.[32]
의 상을 기호
라고 한다.
에서 가역적인 정수
에 대해 다음 사상이 있다.

여기서
는
의 일부 분리 가능한 확장에서
번째 단위 근의 군을 나타낸다. 이것은 다음으로 확장된다.

밀너
군의 정의 관계를 만족한다. 따라서
는
에 대한 사상으로 볼 수 있다. 이를 갈루아 기호 사상이라고 한다.[33]
블라디미르 보예보츠키에 의해 입증된 밀너 추측은 체의 에탈(또는 갈루아) 코호몰로지와 2를 법으로 하는 밀너 K-이론 사이의 관계이다. 홀수 소수에 대한 비슷한 진술은 보예보츠키, 로스트 등에 의해 증명된 블로흐-가토 추측이다.
고차
군의 허용된 정의는 Quillen (1973) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFQuillen1973 (help)에 의해 제공되었으며, 몇 년 동안 양립할 수 없는 몇 가지 정의가 제안되었다. 프로그램의 목적은
및
가 함수가 되도록 공간을 분류하는 관점에서
및
의 정의를 찾는 것이다. 공간의 호모토피 범주와 상대적인 K-군에 대한 긴 완전열은 올화
의 긴 호모토피 완전열
로 발생한다.[34]
퀼런은 "+-구성"과 " Q -구성"의 두 가지 구성을 제공했으며 후자는 이후 다른 방식으로 수정되었다.[35] 두 구성은 동일한
군을 생성한다.[36]
고등 대수
환 이론의 가능한 정의 중 하나는 퀼런에 의해 제공되었다.

여기서
은 호모토피 군이고,
은 무한대로 가는 행렬의 크기에 대한
에 대한 일반선형군의 직접 극한이고,
는 호모토피 이론의 분류 공간 구성이며, +는 퀼런의 플러스 구성이다. 그는 원래
의 군 코호몰로지를 연구하면서 이 아이디어를 발견했고,[37] 그의 계산 중 일부는
와 관련되어 있다는 것을 알았다.
이 정의는
에만 적용된다. 그래서 우리는 종종 고차 대수적
이론을 다음을 통해 정의한다.

는 경로 연결이고
는 이산적이므로 이 정의는 고차에서도 다르지 않으며
에도 적용된다.
Q 구조는 +구조와 동일한 결과를 제공하지만 보다 일반적인 상황에 적용된다. 더욱이, 정의는 Q 구성을 통해 정의된
군이 정의에 의해 기능적이라는 점에서 보다 직접적이다. 이 사실은 플러스 구조에서 자동적이지 않다.
가 완전 범주라고 가정하자.
에 연관된 새로운 범주
가 정의되며, 그 대상은
의 대상이다.
에서
로 가는 사상은 다이어그램

의 동형사상 동치류이다. 여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 전사 사상이고 두 번째 화살표는 허용 가능한 단사 사상이다.
의 사상들은 사상이

인 대응
으로 주어지는 모티브 범주의 사상 정의와 비슷함에 유의하라. 왼쪽의 화살표가 덮개 사상(따라서 전사)이고 오른쪽의 화살표가 단사인 도형이다. 그런 다음 이 범주는 분류 공간 구성
을 사용하여 위상 공간으로 전환될 수 있다. 이는
의 신경의 기하학적 실현으로 정의된다. 그런 다음, 완전 범주
의 i 번째
군은 고정된 영 대상
과 함께 다음과 같이 정의된다.

준군
의 공간 분류는 호모토피 군을 1차 위로 옮기므로 에 유의하라. 즉,
의 차수 이동이 공간의
가 된다.
이 정의는 위의
의 정의와 일치한다.
가 유한 생성 사영 R 가군의 범주인 경우 이 정의는 위의
모든 n 에 대한
의 정의와 일치한다. 보다 일반적으로, 스킴
에 대해,
의 고차
군은
의 국소적으로 자유 연접층 (의 완전 범주)의
군으로 정의된다.
이에 대한 다음 변형도 사용된다. 유한 생성 사영(=국소 자유) 가군은 유한 생성 가군을 사용한다. 결과
군은 일반적으로
로 작성된다.
이 뇌터 정칙 환일 때
이론과
이론이 일치한다. 실제로, 일반 환의 대역 차원은 유한하다. 즉, 유한 생성 모든 가군은 유한한 사영 해결 P * → M 을 가지며 간단한 인수는 [ M ] = Σ ± [ P n ]와 함께 표준 사상
이 동형임을 보여준다. 이 동형은 고차
군에도 확장된다.
이론 군의 세 번째 구성은 발트하우젠
구성이다. 이는 여올화가 있는 범주(발트하우젠 범주라고도 함)에 적용된다. 이것은 완전 범주보다 더 일반적인 개념이다.
유한체
의 K군은 다음과 같다.



정수환
의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.




= 0[38]
이나 일반적인 경우에 대해서는 추측만 있다.
퀼런 대수
이론이 대수 기하학 및 위상 수학의 다양한 측면에 대한 깊은 통찰을 제공하는 동안
군은 고립되어 있지만 흥미로운 몇 가지 경우를 제외하고는 특히 계산하기 어려운 것으로 입증되었다. (참조: 체의 K-군)
환의 고차 대수적
군의 첫 번째이자 가장 중요한 계산 중 하나는 유한 체의 경우에 대해 퀼런 자신이 수행했다.
가 q 원소가 있는 유한 체일 때:
.
.
.
퀼런은
가 대수적 수체
(유리수의 유한 확장)에서 대수적 정수환인 경우
의 대수적
군이 유한하게 생성됨을 증명했다. 아르망 보렐은 이를 사용하여 꼬임을 법으로
를 계산했다. 예를 들어, 정수
에 대해 보렐은 (꼬임을 법으로)
- 양수 k에 대해 i=4k+1이 아닌 양수 i에 대해

.
의 꼬임 부분 군과 유한 군
의 차수는 최근에 결정되었지만 후자의 군이 주기적인지 여부와 군
소멸은 원분 정수의 유군에 대한 Vandiver의 추측에 따라 달라진다. 자세한 내용은 퀼런-리히텐바움 추측을 참조.
대수
군은 L-함수의 특수 값에 대한 추측과 이와사와 이론의 비가환적 주요 추측 공식화 및 고차 조절자 구성에 사용된다.[39]
파신의 추측은 유한 체에 대한 매끄러운 다형체에 대한 고차 대수적
군에 관한 것이며, 이 경우 군이 꼬임까지 사라진다고 말한다.
하이먼 배스의 또 다른 근본적인 추측( 배스' 추측 )은
가 유한 생성
대수일 때 모든 군 )
가 유한 생성다고 말한다. (군
는 유한 생성
-가군 범주의
군이다.)
이론의 역사는 바이벨이 자세히 설명했다.[40]
K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년).[41] 곧 1950년대 말에 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.
세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군이다. 이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼이 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다.[42] 2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다.[43] 밀너는 이 구성을 고차
에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.
고차 K군의 올바른 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성[44][45][46]과 Q-구성[47]을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.
이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.[48]
19세기에 베른하르트 리만과 그의 학생 구스타프 로흐는 현재 리만-로흐 정리로 알려진 것을 증명했다.
가 리만 곡면이면
의 사상 함수와 사상 미분 형식의 집합은 선형 공간을 형성한다.
의 선 다발은 이러한 선형 공간의 부분 공간을 결정하며,
가 사영인 경우 이러한 부분 공간은 유한 차원이다. 리만-로흐 정리에 따르면 이러한 부분 공간 간의 차원 차이는 선 다발의 차수(꼬인 정도 측정)에 1에서
의 속을 뺀 값과 같다. 20세기 중반에, 리만-로흐 정리는 프리드리히 히르제브루흐에 의해 모든 대수적 다형체로 일반화되었다. 히르체부르흐의 공식화인 히르체부르흐–리만-로흐 정리에서 정리는 오일러 특성에 대한 진술이 되었다. 선형 다발의 특성류에서 오는 보정 계수를 더한 자명한 다발의 이는 사영 리만 곡면에서 선 다발의 오일러 특성이 앞에서 언급한 차원의 차이와 같고, 자명한 다발의 오일러 특성은 1에서 종수를 뺀 값이고, 유일한 중요하지 않은 특성류는 차수이기 때문에 일반화이다.
이론의 주제는 히르제브루흐 정리의 일반화인 그로텐디크-리만-로흐 정리에 등장한 알렉산더 그로텐디크의 1957년 구성에서 이름을 따왔다.[49]
를 매끄러운 대수적 다형체라고 하자.
의 각 선형 다발에 대해 그로텐디크는 불변량인 클래스를 연결한다.
의 모든 클래스 집합은 독일어 Klasse에서 따와
라고 불렀다. 정의에 따르면,
는
에 대한 선형 다발의 동치류에 대한 자유 아벨 군의 몫이므로 아벨 군이다. 선형 다발
에 해당하는 기저 원소가
로 표시된 경우 선형 다발의 각각의 짧은 완전열에 대해:

그로텐디크는
관계를 부과했다. 이러한 생성원과의 관계는
를 정의하며 완전열와 호환되는 방식으로 선형 다발에 불변량을 할당하는 보편적인 방법임을 암시한다.
그로텐디크는 리만-로흐 정리가 다형체 자체가 아니라 다형체의 사상에 대한 진술이라는 관점을 취했다. 그는 천 특성류와
의 토드 특성류에서 오는
의 저우 군에 대한
의 동형이 있음을 증명했다. 또한, 그는 적절한 사상
에서 매끄러운 다형체
로 동형
를 결정한다. 이는 앞으로 밂이라고 한다. 이는
의 선형 다발에서
의 저우 군에 있는 원소를 결정하는 두 가지 방법을 제공한다.
에서 시작하여 먼저
이론에서 앞으로 밂을 계산한 다음 천 특성와
의 토드 특성류를 적용하거나 먼저 천 특성와
의 토드 특성류를 적용한 다음 저우 군에 대한 앞으로 밂을 계산한다. 그로텐디크-리만-로흐 정리는 이들이 같다고 말한다.
가 점이면 선형 다발은 선형 공간이고 선형 공간의 클래스는 선형 공간의 차원이며 그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체부르흐 정리에 특화되어 있다.
군
는 이제
로 알려져 있다. 사영 가군로 선형 다발을 대체할 때
은 또한 비유환 환에 대해 정의되었으며, 여기에서 군 표현에 적용할 수 있다. 아티야와 히르체부르흐는 그로텐디크의 구성을 위상으로 신속하게 전송하고 위상 K-이론을 정의하는 데 사용했다.[50] 위상
이론은 놀라운 코호몰로지 이론의 첫 번째 예 중 하나이다. 정규화 공리를 제외한 모든 에일렌베르크-스틴로드 공리를 만족하는 군
의 열을 각 위상 공간
(약간의 기술적 제약을 충족)에 연결한다. 그러나 대수적 다형체의 설정은 훨씬 더 엄격하며 위상 수학에서 사용되는 유연한 구조는 사용할 수 없다. 군
은 대수적 다형체과 비가환 환의 코호몰로지 이론의 시작이 되기 위해 필요한 성질을 만족하는 것처럼 보였지만, 고차
에 대한 명확한 정의는 없었다. 그러한 정의가 개발되더라도 제한 및 접착을 둘러싼 기술적 문제로 인해 일반적으로
다형체이 아닌 환에 대해서만 정의되었다.
군환에 대한
과 밀접한 관련이 있는 군은 이전에 J. 화이트헤드에 의해 도입되었다. 앙리 푸앵카레는 삼각 분할 측면에서 다양체의 베티 수를 정의하려고 시도했다. 그러나 그의 방법에는 심각한 차이가 있었다. 푸앵카레는 다양체의 두 삼각 분할이 항상 동일한 베티 수를 생성한다는 것을 증명할 수 없었다. 베티 수는 삼각 분할을 세분화하여 변경되지 않았으며, 따라서 공통 세분화를 공유하는 두 삼각 분할은 모두 동일한 베티 수를 가짐이 분명했다. 알려지지 않은 것은 임의의 두 삼각분할이 공통 세분화를 허용한다는 것이다. 이 가설은 Hauptvermutung (대략 "주요 추측"이라는 뜻)으로 알려진 추측이 되었다. 삼각 분할이 세분화 하에서 안정적이라는 사실은 화이트헤드가 단순 호모토피 유형의 개념을 도입하도록 이끌었다.[51] 단순 호모토피 동치는 각각의 추가 단체 또는 세포 변형이 이전 공간의 세분으로 축소되는 방식으로 단순 복합체 또는 세포 복합체에 단체 복합체 또는 세포를 추가하는 측면에서 정의된다. 이 정의에 대한 동기의 일부는 삼각분할의 세분은 원래 삼각분할과 동일한 단순 호모토피이므로 공통 세분을 공유하는 두 삼각 분할은 단순 호모토피 동치여야 한다는 것이다. 화이트헤드는 비틀림이라고 하는 불변량을 도입하여 단순 호모토피 동치가 호모토피 동치보다 더 세밀한 불변임을 증명했다. 호모토피 동치의 비틀림은 현재 화이트헤드 군이라고 하는 군에서 값을 가지며
로 표시된다. 여기서
는 두 복합체의 기본 군이다. 화이트헤드는 자명하지 않은 비틀림의 예를 발견하여 일부 호모토피 동치성이 단순하지 않음을 증명했다. 화이트헤드 군은 나중에
의 몫인 것으로 밝혀졌다. 여기서 
는
의 정수 군환이다. 나중에 존 밀너는 주요 추측(Hauptvermutung)을 반증하기 위해 화이트헤드 비틀림과 관련된 불변량인 라이데마이스터 비틀림을 사용했다.
환의
에 대한 최초의 적절한 정의는 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼에 의해 만들어졌다.[52] 위상
이론에서
은 공간의 현수에 있는 선형 다발을 사용하여 정의된다. 이러한 모든 선형 다발은 공간의 두 절반에 있는 두 개의 자명한 선형 다발이 공간의 공통 띠를 따라 접착되는 클러칭 구성에서 나온다. 이 접착 데이터는 일반선형군을 사용하여 표현되지만 기본 행렬(기본 행 또는 열 작업에 해당하는 행렬)에서 나오는 해당 군의 원소는 동등한 접착을 정의한다. 이에 동기를 부여하여 환
의
에 대한 배스-섀뉴얼의 정의
이며, 여기서
은 무한 일반 선형 군(모든
의 합집합)이고
는 기본 행렬의 부분 군이다. 그들은 또한 환의 동형에 대한
의 정의를 제공하고
과
이 상대적인 호몰로지 정확한 서열과 비슷한 정확한 서열에 함께 맞을 수 있음을 증명했다.
이 기간의
이론 작업은 배스의 책 Algebraic K 이론 에서 최고조에 달했다.[53] 당시 알려진 결과에 대한 일관된 설명을 제공하는 것 외에도 배스는 정리의 많은 진술을 개선했다. 특히 주목할 점은 배스가 무티와의 초기 작업을 기반으로[54] 현재 대수 <i id="mw8Q">K</i> 이론의 기본 정리로 알려진 것의 첫 번째 증명을 제공했다는 것이다. 이것은 환
의
을
의
, 다항식 환
및 국소화
과 관련시키는 4항 완전열이다. 배스는 이 정리가
의 관점에서
에 대한 설명을 제공한다는 것을 인식했다. 이 설명을 재귀적으로 적용하여 음수
군
을 생성했다. 독립적인 작업에서 막스 카루비는 특정 범주에 대해 음의
군에 대한 또 다른 정의를 제공하고 그의 정의가 배스와 동일한 군을 산출함을 증명했다.[55]
이 주제의 다음 주요 발전은
의 정의와 함께 이루어졌다. 스타인버그는 체에 대한 셰발리 군의 보편적 중심 확대를 연구하고 생성자와 관계 측면에서 이 군을 명시적으로 제시했다.[56] 기본 행렬의 군
의 경우, 보편 중심 확대는 이제
로 쓰여지고 스타인버그 군이라고 불린다. 1967년 봄에 존 밀너는