작은 범주

범주론에서 작은 범주(-範疇, 영어: small category)는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 “작은” 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.^{[1]:21–26, §Ⅰ.6–7[2][3]}

범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자.

그로텐디크 전체 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.^{[1]:22, §Ⅰ.6[2]:12, Definition 1.2.1[3]:§6[4]:196}

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상들은 집합 ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$을 이루며, 이는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 원소이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들은 집합 ${\displaystyle \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}$을 이루며, 이는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 원소이다.

${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 ${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$라고 표기하자.

임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-국소적으로 작은 범주(${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-局所的으로 작은範疇, 영어: locally ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-small category)라고 한다.^[4]:197

• 임의의 두 대상 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\in {\mathcal {U}}}$이다.

${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-완비 범주이자 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 및 함자

${\displaystyle D\colon {\mathcal {I}}\to \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$

에 대하여, ${\displaystyle D}$는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 특히,

• ${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$의 시작 대상은 ${\displaystyle \operatorname {Ob} (0)=\operatorname {Mor} (0)=\varnothing }$인 유일한 범주 ${\displaystyle 0}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$의 끝 대상은 ${\displaystyle \operatorname {Ob} (1)=\{\bullet \}}$ (한원소 집합)이며, ${\displaystyle \operatorname {Mor} (1)=\{\operatorname {id} _{\bullet }\}}$인 유일한 범주 ${\displaystyle 1}$이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 ${\displaystyle \hom(-,-)}$은 (두 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Cat} }(-,-)}$이다. 다시 말해, 두 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주 사이의 함자 범주는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주이다.^[4]:196

${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 기수 ${\displaystyle \kappa \leq |{\mathcal {U}}|}$와 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 곱 ${\displaystyle X^{\times \kappa }}$이 존재한다.

그렇다면 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 원순서 집합이다. ^{[3]:Theorem 2.1}즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[5]

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주와 동치이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 ${\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Set} _{\mathcal {U}}^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}$ 역시 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-국소적으로 작은 범주이다.

${\displaystyle \operatorname {Set} _{\mathcal {U}}}$가 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Ob} (\operatorname {Set} _{\mathcal {U}})={\mathcal {U}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Set} _{\mathcal {U}}}$의 사상은 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 속하는 함수이다.

그렇다면, 망각 함자

${\displaystyle \operatorname {Ob} \colon \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}\to \operatorname {Set} _{\mathcal {U}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ob} \colon {\mathcal {C}}\mapsto \operatorname {Ob} ({\mathcal {U}})}$

가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 ${\displaystyle S}$를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.

• 대상은 ${\displaystyle S}$의 원소이다.
• 모든 사상은 항등 사상이다.

임의의 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에 대하여, 그 유도 범주 ${\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}$를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 ${\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}$는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다.^[2]

칸토어 역설에 따라, ${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$의 대상이 아니다. 다만, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 ${\displaystyle {\mathcal {U}}'\ni {\mathcal {U}}}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Cat} _{{\mathcal {U}}'}}$의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자

${\displaystyle \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}\hookrightarrow \operatorname {Cat} _{{\mathcal {U}}'}}$

가 주어진다.

• “Small category”. 《nLab》 (영어). 
• “Large category”. 《nLab》 (영어). 
• “Complete small category”. 《nLab》 (영어). 
• “CAT”. 《nLab》 (영어). 
• “Cat”. 《nLab》 (영어). 
• “Free category”. 《nLab》 (영어). 
• “Universe enlargement”. 《nLab》 (영어). 
• “Universe polymorphism”. 《nLab》 (영어). 
• Shulman, Michael A. (2010년 11월 23일). “Universe enlargement” (영어). 2015년 9월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 8월 11일에 확인함. 
• “On the large cardinals foundations of categories” (영어). Math Overflow. 
• “What’s a reasonable category that is not locally small?” (영어). Math Overflow.