교차 가군

군론과 대수적 위상수학에서 교차 가군(交叉加群, 영어: crossed module)은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다.^[1] 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.

교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 군 ${\displaystyle G}$
• 군 ${\displaystyle H}$
• 군 준동형 ${\displaystyle (\cdot )\colon G\to \operatorname {Aut} (H)}$
• 군 준동형 ${\displaystyle d\colon H\to G}$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}\qquad \forall g\in G,\;h\in H}$

${\displaystyle d(h)\cdot h'=hh'h^{-1}\qquad \forall h,h'\in H}$ (파이퍼 항등식 영어: Peiffer identity)

가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}G\times H&{\overset {(\cdot )}{\to }}&H\\\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {id} _{G}\times d}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \operatorname {id} _{G}\times d}\!\!\!\!\!\!\!\!&&{\color {White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle d}\downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}.}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\operatorname {Ad} _{G}\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H\times H&{\overset {d\times \operatorname {id} }{\to }}&G\times H\\\|&&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle (\cdot )}\downarrow {\scriptstyle (\cdot )}\!\!\!\!\!\!\!\!\\H\times H&{\underset {\operatorname {Ad} _{H}}{\to }}&H\end{matrix}}}$

이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 ${\displaystyle G}$이며, 사상의 군은 ${\displaystyle H\rtimes G}$이다.^[2] 이 경우

${\displaystyle \operatorname {dom} (h,g)=g}$

${\displaystyle \operatorname {codom} (h,g)=d(h)g}$

이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 ${\displaystyle G\to H\rtimes G}$이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 대상의 군 ${\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}$
• 사상의 군 ${\displaystyle \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}$
• 항등 사상을 정의하는 군 준동형 ${\displaystyle i\colon \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}$
• 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 ${\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}$
• 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 ${\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}$
• 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 ${\displaystyle \{(f,g)\in (\operatorname {Mor} {\mathcal {G}})^{2}\colon \operatorname {dom} f=\operatorname {codom} g\}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}$

이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

교차 가군	군의 범주의 내적 범주
${\displaystyle G}$	${\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}$
${\displaystyle H}$	${\displaystyle \ker \operatorname {dom} \leq \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}$
${\displaystyle H\rtimes G}$	${\displaystyle \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}$
${\displaystyle d\colon H\to G}$	${\displaystyle \operatorname {codom} \upharpoonright (\ker \operatorname {dom} )}$
${\displaystyle (\cdot )\colon G\times H\to H}$	${\displaystyle (g,h)\mapsto i(g)hi(g)^{-1}\in \ker \operatorname {dom} }$
${\displaystyle H\rtimes G\to G}$, ${\displaystyle (h,g)\mapsto g}$	${\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}$
${\displaystyle H\rtimes G\to G}$, ${\displaystyle (h,g)\mapsto d(h)g}$	${\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}$

임의의 군 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군 ${\displaystyle N}$이 주어졌을 때,

${\displaystyle d\colon N\hookrightarrow G}$

${\displaystyle g\cdot n=gng^{-1}\qquad (g\in G,\;n\in N)}$

로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.

 이 부분의 본문은 군의 가군입니다.

다음 두 개념이 서로 동치이다.

• 군 ${\displaystyle G}$의 군환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}H}$
• ${\displaystyle d=1_{G}}$ (치역이 ${\displaystyle G}$의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 ${\displaystyle (G,H)}$

즉, ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-왼쪽 가군의 범주는 ${\displaystyle G}$에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다.

사실, 파이퍼 항등식을

${\displaystyle hh'=(d(h)\cdot h')h\qquad \forall h,h'\in H}$

와 같이 쓰면, 이는 ${\displaystyle H}$가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.

군의 짧은 완전열

${\displaystyle 1\to A\to H\,{\xrightarrow {d}}\,G\to 1}$

에서, ${\displaystyle A}$가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle g\cdot h=khk^{-1}\qquad \forall k\in d^{-1}(g)\subseteq H}$

을 정의하면, ${\displaystyle (G,H,d,\cdot )}$는 교차 가군을 이룬다.

특히, 만약 ${\displaystyle G=1}$이며 ${\displaystyle A=H}$가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 ${\displaystyle A=1}$이며 ${\displaystyle G=H}$가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우

${\displaystyle d=\operatorname {id} _{G}}$

${\displaystyle g\cdot h=ghg^{-1}}$

이다.^{[3]:Example A.9}

임의의 군 ${\displaystyle H}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형

${\displaystyle d\colon H\to \operatorname {Aut} (H)}$

${\displaystyle d\colon h\mapsto (h'\mapsto hh'h^{-1})}$

이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, ${\displaystyle (\operatorname {Aut} (H),H)}$는 교차 가군을 이루며, 이를 ${\displaystyle \operatorname {AUT} (H)}$라고 한다.^[2]:§2

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 공간 ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle x\in A\subseteq X}$에 대하여,

${\displaystyle G=\pi _{1}(A,x)}$ (기본군)

${\displaystyle H=\pi _{2}(X,A,x)}$ (2차 호모토피 군)

을 정의하고,

${\displaystyle d\colon H\to G}$

가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.

교차 가군 ${\displaystyle (G,H)}$에서, 만약 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 ${\displaystyle (G,H)}$의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)={\mathfrak {h}}}$라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.

• 두 유한 차원 실수 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
• 리 대수 준동형 ${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {h}})}$ (공역은 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$의 미분 리 대수)
• 리 대수 준동형 ${\displaystyle d\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}}$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle d(\rho (g)h)=[g,d(h)]}$

${\displaystyle \rho (d(h))=[h,-]=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(h)}$ (무한소 파이퍼 항등식)

특히, 파이퍼 항등식으로부터, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,

${\displaystyle [-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [g,h]=\rho (g)h}$

${\displaystyle \deg {\mathfrak {g}}=0}$

${\displaystyle \deg {\mathfrak {h}}=1}$

를 정의하면, ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}},d,[-,-])}$는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며,^[4] 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’(영어: crossed module)이라는 용어를 최초로 사용하였다.^{[5]:453, §2} 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.

• “Crossed module”. 《nLab》 (영어). 
• “Differential crossed module”. 《nLab》 (영어). 
• “Strict 2-group”. 《nLab》 (영어). 
• “Crossed square”. 《nLab》 (영어). 
• “Crossed n-cube”. 《nLab》 (영어). 
• “2-crossed module”. 《nLab》 (영어). 
• “Crossed complex”. 《nLab》 (영어). 
• Porter, Timothy (2012년 3월 6일). “The crossed menagerie. An introduction to crossed gadgetry and cohomology in algebra and topology” (PDF) (영어).