五十二角形

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五十二角形（ごじゅうにかくけい、ごじゅうにかっけい、pentacontadigon）は、多角形の一つで、52本の辺と52個の頂点を持つ図形である。内角の和は9000°、対角線の本数は1274本である。

正五十二角形においては、中心角と外角は6.923076…°で、内角は173.076923…°となる。一辺の長さが a の正五十二角形の面積 S は

${\displaystyle S=13a^{2}\cot {\frac {\pi }{52}}a^{2}}$

関係式

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{52}}+2\cos {\frac {18\pi }{52}}+2\cos {\frac {46\pi }{52}}={\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {10\pi }{52}}+2\cos {\frac {14\pi }{52}}+2\cos {\frac {22\pi }{52}}={\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {50\pi }{52}}+2\cos {\frac {34\pi }{52}}+2\cos {\frac {6\pi }{52}}=-{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {42\pi }{52}}+2\cos {\frac {38\pi }{52}}+2\cos {\frac {30\pi }{52}}=-{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\\\end{aligned}}}$

三次方程式の係数を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52}}+2\cos {\frac {18\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52}}+2\cos {\frac {46\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{52}}\\&=2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}+2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}=-{\sqrt {13}}\\&2\cos {\frac {2\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52}}=x_{4}\\\end{aligned}}}$

解と係数の関係より

${\displaystyle u^{3}-x_{1}u^{2}-{\sqrt {13}}u-x_{4}=0}$

変数変換

${\displaystyle u=v+x_{1}/3}$

整理すると

${\displaystyle v^{3}-{\frac {13+3{\sqrt {13}}}{6}}v-{\frac {(13+6{\sqrt {13}})x_{1}+27x_{4}}{27}}=0}$

三角関数、逆三角関数を用いた解は

${\displaystyle u_{1}={\frac {x_{1}}{3}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {(13+6{\sqrt {13}})x_{1}+27x_{4}}{(13+3{\sqrt {13}}){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}}}\right)\right)}$

${\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}\right)\right)}$

平方根、立方根で表すと

${\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /52)}$を平方根と立方根で表すと

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{52}}={\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}}$

正五十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十二角形は折紙により作図可能である。

• 十三角形
• 二十六角形

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