La formula prodotto di Eulero o più semplicemente il prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737.[1]
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e658202e0313559a641f1de91b4afac9411312)
dove
è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.
Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'ipotesi di Riemann.
Partiamo dalla funzione zeta:
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7630dfb779113d56dd87afd4cecd535c4dd380bd)
se moltiplichiamo entrambi i termini per
abbiamo che:
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9b0c79be3771ff6459e7576281ed96fd679b38)
Sottraendo la seconda espressione dalla prima:
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63aa3c25a50c29ffcb3c68b680e86f5c6ef10ea)
In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto si ottiene:
![{\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2711cd3e2349919640a1061c9022aa5bb3872c7)
Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che:
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2504dd9fdc7f267d7476ea1d22991f293f428bd7)
In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2835af668d8a0b09eed3dcd737f13aded6f4ab65)
Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:
![{\displaystyle \cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15e41481c7f729fc8173f99b33be0e3556c5f82)
E in conclusione:
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a74d16b8ea2615b96f2d3530317afe6e8daa2a8)
Q.E.D
si può considerare il termine
![{\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8a3d4a8254fdbd83b800092488444c1108e337)
come il numero a cui converge la serie geometrica
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(p^{s})^{n}}}=1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+{\frac {1}{p^{4s}}}+\cdots ={\frac {1}{1-p^{-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8c4dd37243c7856f9980d5824da3363f7ae580)
Quindi il prodotto di Eulero diviene:
![{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+{\frac {1}{2^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+{\frac {1}{3^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+{\frac {1}{5^{3s}}}+\cdots \right)\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f564c69aed486616ed2820687bd6781deb28242)
E svolgendolo
![{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{(1\cdot 2)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 5)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{(1\cdot {2^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {5^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6335831381123352e367c7f53c5b22a3786afc4)
![{\displaystyle +\left({\frac {1}{(2\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 7)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{({2^{2}}\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd6930e3029887119286cda0fac0adc2e73219f)
![{\displaystyle +\left({\frac {1}{(3\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 7)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 11)^{s}}}+\cdots \right)+\left(+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {11^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0bca9c08e77351c4d1a6574b1fcdfddf974390)
È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:
![{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5385ce3635fdd1e9923e9f45a97224b3894e641)
Quindi:
![{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c80341f5347f323c7962d4f622fd19b1557f02c)
Q.E.D
Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456db9734d108784f77f8b86061c8acf3c65e30e)
E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.
Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):
![{\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\ =\prod _{p}P(p,s)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba02f3085df6985eab242671bef23a3b6364c28e)
Dove P(p,s) è la serie:
![{\displaystyle 1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d159e7010da0e529a50d87ac4f2e05fddec45715)
Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:
Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius
:
.
E quello per il suo valore assoluto:
.
Il prodotto per la funzione di Liouville:
.
E altri che utilizzano la funzione zeta come:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{\omega (n)}n^{-s}=\prod _{p}{\Big (}{\frac {1+p^{-s}}{1-p^{-s}}}{\Big )}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83f1d91ec729dad74cf2c55854ba40f673ae3e1)
Dove
è il numero di fattori primi distinti di n
E anche
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902d4db8ff309c5d3737930da8ecd0f7d59aa5c5)
dove
è la somma di tutti i divisori di
(
e
compresi).
- (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
- John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1