Metodi di integrazione

Voce principale: Integrale.

Un metodo di integrazione è una procedura per il calcolo del valore di una precisa tipologia di integrali. Se l'integrale è risolvibile, per giungere alla soluzione è quasi sempre necessario utilizzare diversi metodi, ad esempio le tavole di integrali.

Oltre ai metodi di integrazione analitici si può ricorrere a metodi di approssimazione numerica o a software di calcolo simbolico. Alcuni metodi numerici sono il metodo di Simpson, il metodo di Lobatto e il metodo del trapezio.

Integrali elementari[modifica | modifica wikitesto]

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota, ${\displaystyle \Phi }$. In tal caso, come conseguenza delle regole di derivazione, del fatto che la derivata di una funzione costante è la funzione identicamente nulla, e del teorema di Lagrange, si ha:

${\displaystyle \int \varphi (x)\;\mathrm {d} x=\Phi (x)+c}$,

se la funzione ${\displaystyle \varphi }$ è definita su un intervallo. Per gli integrali definiti invece si ha:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (x)\;\mathrm {d} x=\Phi (b)-\Phi (a).}$

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

• ${\displaystyle \int (x-x^{2})\;\mathrm {d} x={x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}+c}$ in quanto ${\displaystyle D\left({x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}\right)=x-x^{2}}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi '(x)\varphi (x)^{n-1}\;\mathrm {d} x={1 \over n}(\varphi ^{n}(b)-\varphi ^{n}(a))}$ in quanto ${\displaystyle D\left({1 \over n}\varphi ^{n}(x)\right)=\varphi '(x)\varphi (x)^{n-1}}$

Integrazione per scomposizione o per decomposizione in somma[modifica | modifica wikitesto]

L'integrazione per scomposizione si rifà alla proprietà di linearità dell'integrale. Infatti dovendo calcolare ${\displaystyle \int f(x)\;\mathrm {d} x}$ è talvolta più semplice scrivere ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{n}(x)}$ e sfruttare l'uguaglianza:

${\displaystyle \int f(x)\;\mathrm {d} x=\int f_{1}(x)\;\mathrm {d} x+\int f_{2}(x)\;\mathrm {d} x+...+\int f_{n}(x)\;\mathrm {d} x}$

Integrazione di funzioni razionali[modifica | modifica wikitesto]

Gli integrali che rientrano nella forma:

${\displaystyle \int {{a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x} \over {b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x}}\,\;\mathrm {d} x\qquad n,m\in \mathbb {N} }$

sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali.

Le prime cose da analizzare sono il grado del numeratore e il grado del denominatore.

Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui il grado del numeratore ${\displaystyle f(x)}$ sia maggiore o uguale al grado del denominatore ${\displaystyle g(x)}$ si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente ${\displaystyle Q(x)}$ e il resto ${\displaystyle R(x)}$:

${\displaystyle f(x)=g(x)Q(x)+R(x)\ }$

dalla quale ricaviamo

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}=Q(x)+{R(x) \over g(x)}}$

con ${\displaystyle R(x)}$ polinomio di grado inferiore al grado ${\displaystyle n}$ del divisore ${\displaystyle g(x)}$. Perciò possiamo scrivere:

${\displaystyle \int {f(x) \over g(x)}\;\mathrm {d} x=\int Q(x)\;\mathrm {d} x+\int {R(x) \over g(x)}\;\mathrm {d} x}$

riconducendoci al caso di una funzione razionale con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore.

Grado del numeratore minore del grado del denominatore[modifica | modifica wikitesto]

In questo caso, in generale, si può applicare la scomposizione di Hermite.

Se tra il grado del numeratore e quello del denominatore vi è una differenza unitaria si può provare a modificare opportunamente il numeratore, in modo da ottenere la derivata del denominatore.

Esaminiamo nel dettaglio funzioni razionali con denominatore di 2º grado:

${\displaystyle \int {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x}$

In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante ${\displaystyle \delta =b_{1}^{2}-4b_{0}}$ (eventualmente dividendo per il termine di grado massimo ci si può sempre riportare ad un polinomio monico al denominatore):

Denominatore con due radici reali distinte[modifica | modifica wikitesto]

Se ${\displaystyle \delta >0}$ allora ${\displaystyle x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0}$ ammette due radici reali distinte ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ dunque ${\displaystyle x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})}$. Esistono dunque due costanti reali ${\displaystyle A,B}$ tali che:

${\displaystyle {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}={a_{1}x+a_{0} \over (x-x_{1})(x-x_{2})}={A \over x-x_{1}}+{B \over x-x_{2}}\,\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{1},x_{2}\}}$

${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ si determinano in base alla condizione:

${\displaystyle A(x-x_{2})+B(x-x_{1})=a_{1}x+a_{0}\ \forall x}$

Questa è equivalente al sistema lineare:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}A+B=a_{1}\\-Ax_{2}-Bx_{1}=a_{0}\end{matrix}}\right.}$

che ammette un'unica soluzione in ${\displaystyle (A,B)}$ poiché la matrice dei coefficienti ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\-x_{2}&-x_{1}\end{pmatrix}}}$ ha determinante ${\displaystyle -x_{1}+x_{2}\neq 0}$.

Determinate ${\displaystyle A,B}$ (risolvendo il sistema), si calcola:

${\displaystyle \int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\;\mathrm {d} x=\int {{A} \over {x-x_{1}}}\;\mathrm {d} x+}$${\displaystyle \int {{B} \over {x-x_{2}}}\;\mathrm {d} x=A\log |x-x_{1}|+B\log |x-x_{2}|+c}$

Denominatore con due radici reali coincidenti[modifica | modifica wikitesto]

Se ${\displaystyle \delta =0}$ allora ${\displaystyle x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0}$ ammette due radici reali coincidenti ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{0}}$, dunque ${\displaystyle x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-x_{0})^{2}}$ ed esistono due costanti reali ${\displaystyle A,B}$ tali che:

${\displaystyle {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}={a_{1}x+a_{0} \over (x-x_{0})^{2}}={A \over x-x_{0}}+{B \over (x-x_{0})^{2}}\ \forall x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}}$

${\displaystyle A,B}$ si determinano in base alla condizione

${\displaystyle a_{1}x+a_{0}=A(x-x_{0})+B\ \forall x\in \mathbb {R} }$

Questa è equivalente al sistema lineare:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}A=a_{1}\\-x_{0}A+B=a_{0}\end{matrix}}\right.}$

che ammette un'unica soluzione ${\displaystyle (A,B)}$ poiché il determinante della matrice dei coefficienti è

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&0\\-x_{0}&1\end{pmatrix}}=1}$

Determinate ${\displaystyle A,B}$ si calcola:

${\displaystyle \int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\;\mathrm {d} x=\int {{A} \over {x-x_{0}}}\;\mathrm {d} x+}$${\displaystyle \int {{B} \over {(x-x_{0})^{2}}}\;\mathrm {d} x=A\log |x-x_{0}|-{B \over {x-x_{0}}}+c}$

Denominatore con due radici complesse coniugate[modifica | modifica wikitesto]

Se ${\displaystyle \delta <0}$ allora ${\displaystyle x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0}$ non ammette radici reali. È sempre possibile determinare ${\displaystyle A,B}$ tali che

${\displaystyle {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}=A{2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}+{B \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}$

${\displaystyle A,B}$ si ricavano in base alla condizione

${\displaystyle a_{1}x+a_{0}=2Ax+Ab_{1}+B}$

Questo è equivalente al sistema lineare

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2A=a_{1}\\b_{1}A+B=a_{0}\end{matrix}}\right.}$

che ammette un'unica soluzione poiché il determinante della matrice dei coefficienti è ${\displaystyle 2\cdot 1-b_{1}\cdot 0=2}$.

Ora, per il secondo addendo, è sempre possibile ricavare ${\displaystyle K,D}$ tali che ${\displaystyle x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x+K)^{2}+D^{2}\ \forall x\in \mathbb {R} }$. Dall'uguaglianza precedente si imposta il sistema dal quale si ricavano ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle D}$:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2K=b_{1}&\\K^{2}+D^{2}=b_{0}&\end{matrix}}\right.}$

che ammette soluzione poiché ${\displaystyle D^{2}=b_{0}-({b_{1} \over 2})^{2}=-{\delta \over 4}>0}$.

Il calcolo dell'integrale si può scrivere quindi come:

${\displaystyle \int {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x=A\int {2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x+B\int {1 \over (x+K)^{2}+D^{2}}\;\mathrm {d} x=A\int {2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x+B{1 \over D^{2}}\int {1 \over {({x+K \over D})^{2}+1}}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =A\log(x^{2}+b_{1}x+b_{0})+{B \over D}\arctan {x+K \over D}+C}$

Denominatore di grado qualunque[modifica | modifica wikitesto]

Per concludere segnaliamo che esistono metodi analoghi applicabili per qualunque grado del denominatore: se ${\displaystyle g(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x}$ è un qualsiasi denominatore, allora

• se esso possiede tutte radici distinte, ${\displaystyle g(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$ si procede come nel primo caso qua trattato:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={A_{1} \over x-x_{1}}+{A_{2} \over x-x_{2}}+...{A_{n} \over x-x_{n}}}$.

• se esso possiede una o più radici multiple ${\displaystyle x_{1},...,x_{j}}$ (supponiamo ad esempio siano le prime) di molteplicità ${\displaystyle n_{1},...,n_{j}}$, si procede come nel secondo caso:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={A_{1}^{1} \over x-x_{1}}+{A_{1}^{2} \over (x-x_{1})^{2}}+...+{A_{1}^{n_{1}} \over (x-x_{1})^{n_{1}}}+{A_{2}^{1} \over x-x_{2}}+...+{A_{2}^{n_{2}} \over (x-x_{2})^{n_{2}}}+...+{A_{j+1} \over x-x_{j+1}}+{A_{j+2} \over x-x_{j+2}}+...}$.

• se esso possiede due o più radici complesse coniugate semplici ${\displaystyle z_{1},{\bar {z}}_{1},z_{2},{\bar {z}}_{2},...,z_{j},{\bar {z}}_{j}}$ (e un certo numero di radici reali), si procede come nel terzo caso:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={a_{1}^{1}x+a_{0}^{1} \over x^{2}+b_{1}^{1}x+b_{0}^{1}}+...+{a_{1}^{j}x+a_{0}^{j} \over x^{2}+b_{1}^{j}x+b_{0}^{j}}+...}$

L'ultimo caso, in cui il denominatore presenta radici complesse multiple, è più laborioso da risolvere (vedi Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali).

Integrazione per parti[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrazione per parti.

Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono derivabili in ${\displaystyle [a,b]}$ si ha:

${\displaystyle \ (fg)^{'}=f^{'}g+fg^{'}}$

ossia:

${\displaystyle \ fg^{'}=(fg)^{'}-f^{'}g}$.

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che ${\displaystyle \int {(fg)^{'}}\,\;\mathrm {d} x=fg}$ a meno di una costante si trova la formula di integrazione per parti:

${\displaystyle \int f(x)g^{'}(x)\;\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f^{'}(x)g(x)\;\mathrm {d} x}$

Da cui per gli integrali definiti:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\;\mathrm {d} x=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\;\mathrm {d} x}$

Integrazione per sostituzione[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrazione per sostituzione.

${\displaystyle \int f(y)\;\mathrm {d} y=\left[\int f\left(\varphi (t)\right)\varphi '(t)\ \mathrm {d} t\right]_{t=\phi (y)}}$

dove ${\displaystyle \phi }$ è la funzione inversa di ${\displaystyle \varphi }$, oppure nel caso degli integrali definiti

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(\varphi (t))\varphi '(t)\ \mathrm {d} t}$

Integrazione di funzioni inverse[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale della funzione inversa.

Se ${\displaystyle f^{-1}}$ è l'inversa di una funzione ${\displaystyle f}$ che ammette una primitiva ${\displaystyle F}$, allora

${\displaystyle \int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-(F\circ f^{-1})(x)+C.}$

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• L. Acquabona Nozioni di calcolo integrale (Torino: Vincenzo Bona, 1899)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Integrale
• Integrale multiplo
• Regole di derivazione

V · D · M Analisi matematica
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