Integrale di superficie

In matematica, un integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce elemento di volume in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ la k-forma:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {V} _{k}=\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}}$

Sia ${\displaystyle S}$ una k-superficie positivamente orientata in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ e ${\displaystyle f}$ una funzione continua definita sull'immagine di ${\displaystyle S}$ e a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Allora:

${\displaystyle \int _{S}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}=\int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{k}}$

Sia ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{k}}$ il dominio di parametrizzazione di ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S:D\to \mathbb {R} ^{k}}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana ${\displaystyle J_{S}}$ positiva. Allora:^[1]

${\displaystyle \int _{S(D)}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{D}f(S(\mathbf {u} ))\left|J_{S}(\mathbf {u} )\right|\;\mathrm {d} \mathbf {u} }$

Se ${\displaystyle f=1}$ l'integrale fornisce il volume della superficie.

Integrale di funzioni su 2-superfici in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[modifica | modifica wikitesto]

Sia ${\displaystyle S}$ una 2-superficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con dominio di parametrizzazione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

Sia:

${\displaystyle f:S(D)\to \mathbb {R} }$

una funzione definita su ${\displaystyle S}$.

Ad ogni punto ${\displaystyle (u,v)\in D}$ del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:^[2]

${\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{3}}$

dove i vettori ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ appartengono alla base canonica di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Si definisce integrale di superficie di ${\displaystyle f}$ sulla superficie ${\displaystyle S(D)}$ la scrittura:^[3]

${\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{2}=\int _{D}f(S(u,v))|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:

${\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} S=\iint _{D}f(S(u,v))\left|{\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}\right|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}f(S(u,v))\left|\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right)\right|\,\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

dove:

${\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v))}}\right)}$

è l'elemento di superficie normale a ${\displaystyle S}$.

E ${\displaystyle {\frac {\partial (x_{i},x_{j})}{\partial (u,v)}}={\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial v}}-{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial v}}}$.

Se ${\displaystyle f=1}$ l'integrale fornisce l'area della superficie:

${\displaystyle A(S)=\int _{D}|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

Integrale di 2-forme su 2-superfici in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[modifica | modifica wikitesto]

Sia ${\displaystyle S}$ una 2-superficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con dominio di parametrizzazione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

Sia:

${\displaystyle \omega =\omega _{x}(x,y,z)\;\mathrm {d} y\wedge \;\mathrm {d} z+\omega _{y}(x,y,z)\;\mathrm {d} z\wedge \;\mathrm {d} x+\omega _{z}(x,y,z)\;\mathrm {d} x\wedge \;\mathrm {d} y}$

una 2-forma definita su ${\displaystyle S}$.

Si definisce integrale di ${\displaystyle \omega }$ su ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\omega (S(u,v))[J_{S}(u,v)]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\int _{D}\left[\omega _{x}(S(u,v)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+\omega _{y}(S(u,v)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+\omega _{z}(S(u,v)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

Interpretando la 2-forma ${\displaystyle \omega }$ come un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} =(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$ definito su ${\displaystyle S}$ si ha:

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {F} }\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {F} }\cdot {\mathbf {n} })\;\mathrm {d} S=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {n} \,\,|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {N} (u,v)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

dove ${\displaystyle \mathbf {n} }$ è il versore normale alla superficie ${\displaystyle \left(\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {N} (u,v)}{|\mathbf {N} (u,v)|}}\right)}$ .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia ${\displaystyle S}$ una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle \xi }$ e ${\displaystyle \eta }$:

${\displaystyle x=x(\xi \ ,\eta )\qquad y=y(\xi \ ,\eta )\qquad z=z(\xi \ ,\eta )}$

e sia ${\displaystyle f(P)}$ funzione continua dei punti ${\displaystyle P(\xi ,\eta )}$ di detta superficie. Decomposta ${\displaystyle S}$ in modo arbitrario in elementi ${\displaystyle \Delta s}$, si fissi su ciascuno di questi un punto ${\displaystyle P(\xi ,\eta )}$, e si formi il prodotto ${\displaystyle f(P)\Delta s}$ del valore di ${\displaystyle f(P)}$ per ogni ${\displaystyle \Delta s}$. La somma di tali prodotti è indicata con ${\displaystyle \sum _{\Delta s=1}^{n}f(P)\Delta s}$. Facendo aumentare indefinitamente il numero ${\displaystyle n}$ degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree ${\displaystyle \Delta s}$, se esiste il limite di tale somma e se è finito allora esso è l'integrale di superficie della funzione ${\displaystyle f(P)}$ sulla superficie ${\displaystyle S}$. Viene indicato con ${\displaystyle \int _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s}$ oppure con ${\displaystyle \iint _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s}$.

La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana ${\displaystyle C}$ proiezione della superficie ${\displaystyle S}$ sul piano x-y.

Con lo spianamento della superficie ${\displaystyle S}$ l'integrale in ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ si trasforma nel seguente integrale doppio:

${\displaystyle \iint _{C}f(P)\cdot {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\cdot \mathrm {d} C}$

ove ${\displaystyle p=\mathrm {d} z/\mathrm {d} x}$ e ${\displaystyle q=\mathrm {d} z/\mathrm {d} y}$, che consente la valutazione dell'integrale di superficie.

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• (EN) Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Flusso
• Integrale
• Integrale di linea
• Integrale di volume
• Integrale multiplo

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su integrale di superficie

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

• (EN) surface integral, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale di superficie, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) L.D. Kudryavtsev, Surface integral, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Surface Integral — from MathWorld
• (EN) Surface Integral — Theory and exercises (PDF), su math.gatech.edu.

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