Valeur principale de Cauchy

En mathématiques, la valeur principale de Cauchy, appelée ainsi en l'honneur d'Augustin Louis Cauchy, associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit c une singularité d'une fonction d'une variable réelle f et supposons que pour a<c<b, la limite suivante

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a}^{c-\epsilon }f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\eta \to 0}\int _{c+\eta }^{b}f(x)\mathrm {d} x=L}$

existe et soit finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de f(x) sur l'intervalle existe et sa valeur est définie par L.

Si la limite ci-dessus n'existe pas, il est toutefois possible qu'elle existe lorsque ε et η tendent vers zéro en restant égaux, c'est-à-dire si la limite

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\mathrm {d} x+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right)=L}$

existe et est finie. Dans ce cas-là, on appelle la limite L la valeur principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=L}$

La définition s'étend comme suit^{[réf. souhaitée]} au cas avec n singularités ${\displaystyle a<x_{1},...,x_{n}<b}$ :

si pour ε >0 les intégrales ${\displaystyle \int _{a}^{x_{1}-\varepsilon }f(x)\mathrm {d} x,\ldots ,\int _{x_{n}+\varepsilon }^{b}f(x)\mathrm {d} x}$ existent et sont finies et que la limite

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{a}^{x_{1}-\varepsilon }f(x)\mathrm {d} x+\dots +\int _{x_{n}+\varepsilon }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right)=L}$

existe, on pose : ${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=L}$.

Exemples[modifier | modifier le code]

Fonction puissance[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f définie par ${\displaystyle f(x)=x^{-3}}$ illustrée à la figure 1 ci-contre, on a :

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\mathrm {d} x \over x^{3}}+\lim _{\eta \to 0}\int _{\eta }^{+\infty }{\mathrm {d} x \over x^{3}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{-1 \over 2\varepsilon ^{2}}+\lim _{\eta \to 0}{1 \over 2\eta ^{2}}}$

Cette limite n'existe pas lorsque ε et η tendent vers zéro indépendamment. Par contre, en posant ε=η, la limite existe et vaut zéro. On a par conséquent :

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathrm {d} x \over x^{3}}=0}$

Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.

Logarithme intégral[modifier | modifier le code]

La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}.}$

Cette notation est abusive, il faut en effet voir cette définition pour x > 1 comme la valeur principale de Cauchy :

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\right).}$

Lien avec la théorie des distributions[modifier | modifier le code]

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ l'ensemble des fonctions lisses à support compact de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vers ${\displaystyle \mathbb {C} }$. On peut alors définir une application

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:{\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$

telle que

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \left({\frac {1}{x}}\right)(f)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {f(x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right)\quad {\text{ pour toute }}f\in {\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Cette application est bien définie et est une distribution d'ordre 1.

De façon plus générale, on peut définir la valeur principale d'un grand nombre d'opérateurs intégraux à noyau singulier. Soit ${\displaystyle K:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ une fonction admettant une singularité en 0 mais continue sur ${\displaystyle \mathbb {R} -\{0\}}$. Dans certains cas, la fonction suivante est bien définie et il s'agit d'une distribution.

${\displaystyle \operatorname {v.p.} (K)(f)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }f(x)K(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }f(x)K(x)\,\mathrm {d} x\right)\quad {\text{ pour toute }}f\in {\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Autres notations[modifier | modifier le code]

Dans la littérature, la valeur principale de Cauchy est parfois aussi notée^[1] :

${\displaystyle P\int f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad VP\int f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \int ^{*}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \int \!\!\!\!\!\!\!{\frac {}{\ \ \ }}f(x)\,\mathrm {d} x}$

où PV désigne l'anglais Principal Value.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

• Intégrale impropre
• Transformée de Hilbert
• Régularisation de Hadamard
• Théorème de Poincaré-Bertrand

Références[modifier | modifier le code]

• (en) E. T. Copson, An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford University Press, 1955 (ISBN 978-0-198-53145-6)
• Murray R. Spiegel (en), Variables complexes, McGraw-Hill, 1991 (ISBN 978-2-7042-0020-7)

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