Hexadécagone

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Un hexadécagone (parfois appelé hexakaidécagone) est un polygone à 16 sommets, donc 16 côtés et 104 diagonales.

La somme des angles internes d'un hexadécagone non croisé vaut 2 520 degrés.

L'hexadécagone régulier est constructible.

Nom[modifier | modifier le code]

Le nom du polygone est formé à partir des préfixes hexa et déca. Hexa provient du grec ancien ἕξ (hex, six) et déca de δέκα (deca, dix). En grec ancien, seize se dit έκκαίδεκα (ekkaideka).

Hexadécagone régulier[modifier | modifier le code]

Un hexadécagone régulier est un hexadécagone dont les seize côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a quatre : trois étoilés (les hexadécagrammes notés {16/3}, {16/5} et {16/7}) et un convexe (noté {16}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hexadécagone régulier ».

• Les trois hexadécagones réguliers étoilés
• 
  {16/3} (angle interne : 112,5°)
• 
  {16/5} (angle interne : 67,5°)
• 
  {16/7} (angle interne : 22,5°)

Dimensions[modifier | modifier le code]

Chaque angle interne de l'hexadécagone régulier mesure ${\displaystyle {\frac {2\,520^{\circ }}{16}}=157{,}5^{\circ }}$ et chaque angle au centre, ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{16}}=22{,}5^{\circ }}$.

Si chaque côté de l'hexadécagone mesure a :

• son rayon (c'est-à-dire le rayon de son cercle circonscrit) mesure

${\displaystyle {\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{16}}\right)}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {8+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {20+14{\sqrt {2}}}}}}\simeq 2{,}563\,a}$ ;

• son apothème (c'est-à-dire le rayon de son cercle inscrit) mesure

${\displaystyle {\frac {a}{2\tan \left({\frac {\pi }{16}}\right)}}={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}\right)\simeq 2{,}514\,a}$ ;

• son aire mesure

${\displaystyle {\frac {4a^{2}}{\tan \left({\frac {\pi }{16}}\right)}}=4\,a^{2}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}\right)\simeq 20{,}109\;a^{2}}$ ;

• son périmètre mesure ${\displaystyle 16\,a}$.

Propriétés[modifier | modifier le code]

16 étant une puissance de 2, l'hexadécagone régulier est, d'après le théorème de Gauss-Wantzel, constructible à la règle et au compas.

Son groupe de symétrie est le groupe diédral D₁₆. Son symbole de Schläfli est {16}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Hexadecagon », sur MathWorld

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