Effort sur une voile

Au niveau microscopique, dans un mouvement perpétuel, les parcelles d'air se déplacent en permanence. Mais macroscopiquement, l'air peut ne pas bouger. Si l'air ne bouge pas, cela signifie que chacune des parcelles reste plus ou moins dans un même lieu (mouvement désordonné)^{[Note 5]}. La parcelle d'air se déplace autour d'un point fictif fixe dans l'espace sans trop s'éloigner de ce point (Mouvement brownien)^{[Note 6]}. Par contre, si l'air bouge, cela signifie que globalement les parcelles se déplacent en grand nombre dans la même direction (mouvement ordonné). Bien sûr le mouvement résultant peut être une combinaison des deux.

Il y a deux origines au mouvement des parcelles d'air : la température et l'influence mécanique du vent.

Rôle de la pression atmosphérique

Les atomes des parcelles d'air ne sont pas au repos. Elles ont acquis par divers moyens une certaine quantité d'énergie qu'elles ont transformée en énergie cinétique, autrement dit les parcelles d'air se déplacent en permanence. En se déplaçant, une parcelle d'air va rapidement en rencontrer une autre, et c'est le choc. Le choc modifie les trajectoires. Les deux parcelles rebondissent l'une sur l'autre. Chacune repart dans une autre direction. Rapidement, de nouveau, elle rencontre une autre parcelle pour un nouveau choc, les parcelles repartent dans une autre direction, etc.

Or, un cube d'air d'un millimètre de côté au niveau de la mer, à température ambiante contient des milliards de milliards d'atomes. Et la vitesse moyenne des atomes est en centaine de mètres par seconde^[9]. Les chocs entre atomes sont donc innombrables et extrêmement fréquents. L'atome, vu de loin, ne se déplace pas aussi vite, et la direction qu'aura prise cet atome laissera un vide "relatif". Si un groupe d'atomes a une direction privilégiée, il crée un vide "relatif " derrière lui et une "forte" concertation devant lui. Ce vide sera comblé aussitôt par d'autres atomes, de la zone à "forte" concentration donc de la direction opposée, ce qui, vu de loin, annule tout mouvement apparent, aucune direction n'est privilégiée (mouvement désordonné). Globalement, vu de loin, cela donne l'impression que l'air ne se déplace pas. Donc, les atomes des parcelles d'air se déplacent en permanence de façon désordonnée ; ce phénomène est très connu et se nomme la température.

Plus la parcelle d'air est haute dans l'atmosphère, moins la gravité se fait sentir. Il y a donc moins de force pour la ramener sur Terre, et les chocs sont moins violents et fréquents. Donc plus la parcelle est proche du niveau de la mer, plus les chocs sont violents et fréquents.

Quand la parcelle est très proche de la voile, le choc se produit alors entre la voile et cette parcelle. Ces chocs innombrables sur la voile génèrent une force considérable, la force exercée au niveau de la mer est d'environ 10 tonnes par mètre carré^{[Note 7]}. Cette force s'exerce sur une surface. C'est donc une pression. Cette pression est la pression atmosphérique. Comme une voile a deux faces, la pression atmosphérique va s'exercer des deux côtés. Finalement, les deux pressions s'équilibrent parfaitement, la voile ne bouge pas.

Rôle du vent

Cette fois-ci, une partie du mouvement des parcelles est globalement ordonnée (vu de loin), les molécules se déplacent toutes ensemble dans la même direction. Vu de loin, l'air bouge, ce qui revient à dire qu'il y a du vent.

Suivant la configuration de la voile, voici ce qui arrive à une parcelle d'air proche de la voile :

• la voile est libre, elle ne présente au vent que son épaisseur (celle du tissu), la parcelle d'air passe sans être notablement perturbée,
• la voile est perpendiculaire au vent (voile de hunier ou spi en vent arrière), la parcelle d'air s'écrase^{[Note 8]} contre la voile. Elle est quasi stoppée^{[Note 9]}. Les autres parcelles qui suivent l'empêchent fortement de faire marche arrière (rebondir). Les parcelles d'air transmettent un maximum d'énergie à la voile, voire la quasi-totalité de l'énergie de déplacement ordonné.
• dans les cas intermédiaires, la parcelle d'air rebondit plus ou moins bien, elle ne délivrera qu'une partie de son énergie. De plus, en rebondissant, elle va perturber le mouvement ordonné de celles qui l'accompagnent par collision. Celles-ci vont à leur tour perturber le mouvement ordonné d'autres parcelles par d'autres collisions, etc. Mais, en rebondissant, elle va aussi, par conséquent, perturber l'équilibre de pression atmosphérique, créant une surpression au vent et une dépression sous le vent de la voile. C'est une sorte d'effet domino.

Grâce à l'effet domino, il vient alors rapidement à l'idée que tout ce qui est poussé d'un côté de la voile va combler ce qui manque de l'autre côté de la voile. En d'autres termes, pour une petite surface S1 de la voile face au vent produisant une surpression, par effet domino, cette perturbation annulera la dépression d'une surface S2 collègue située face sous le vent. De même, la même petite surface S2 sous le vent produisant une dépression par effet domino vient annuler la surpression de la surface initiale S1. Donc globalement les surpressions comblent les dépressions, globalement il ne se passe rien, c'est le paradoxe de D'Alembert. C'est là que la viscosité intervient^[10]. La viscosité désigne le fait que les chocs ne se passent pas bien, le choc est un choc mou^{[Note 10]}. À chaque choc de parcelle d'air, il y a une infime perte d'énergie^{[Note 11]}. De choc en choc de parcelle, le choc est de moins en moins violent. En fait, après des milliers et milliers de chocs transmettant le choc originel, l'énergie du choc originel a quasiment disparu. À l'échelle humaine, il disparaît rapidement (cf couche limite). Cela donne l'impression que les surpressions de la face au vent et les dépressions de la face sous le vent sont indépendantes, ne se perturbent pas (ou peu) par effet domino^{[Note 12]}.

La perte est infime, donc le choc originel (le choc de la parcelle d'air sur un petit grain de matière de la voile) transfère de l'énergie quasiment sans perte de l'air à la voile. Or, par nature, le tissu d'une voile est du domaine des matériaux. Une voile est bien plus rigide que l'air, les grains de matière ne s'entrechoquent pas, ne glissent pas entre eux. La voile n'est pas soumise à des phénomènes dissipatifs aussi majeurs. Toute la voile profite sans perte de l'apport de chaque choc de parcelle d'air / grain de matière.

Il y a donc deux phénomènes, le phénomène qui pousse la voile (pression due au vent) et le phénomène qui empêche en partie la pression atmosphérique de s'exercer (dépression due au vent).

Direction de la poussée vélique

Le choc de la parcelle d'air sur la voile fait reculer la voile. Le choc ne déplace que très peu la voile sur le côté. L'effort est quasiment perpendiculaire à la surface de la voile.

Sans entrer dans des détails trop longs : chaque parcelle d'air s'écrasant sur un petit élément dS de surface de la voile génère une force ${\displaystyle {\vec {d}}F}$. La force exercée sur la voile est le produit de la pression p de l'air sur la voile par l'élément de surface dS, soit ${\displaystyle {\vec {d}}F=-p\,dS\,{\vec {n}}}$^[11],[12]. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ est un vecteur unitaire normal à la surface dS dirigé dans le sens de la force (on verra que p est une pression formellement négative, d'où le choix de cette définition du vecteur unitaire).

Suivant le théorème de Bernoulli (c'est-à-dire en régime permanent, le long d'une ligne de courant, pour un fluide parfait (viscosité nulle) et incompressible), et si les transferts de chaleur sont négligés, la parcelle d'air vérifie le long d'une ligne de courant l'équation de conservation suivante :

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2.g}}+z+{\frac {p}{\rho .g}}=\mathrm {constante} }$

où v est la vitesse, a priori variable, de la parcelle d'air le long de la ligne de courant. Ce sont les variations d'altitude z et de pression p le long d'une ligne de courant qui maintiennent cette somme constante.

Comme les variations d'altitude sont faibles, et sont négligeables par rapport aux autres termes, alors

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2.g}}+{\frac {p}{\rho .g}}=\mathrm {constante} }$

Le fluide est considéré comme incompressible, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de variation de densité : ${\displaystyle \rho }$ est constante. Notons qu'à Mach = 0,4, l'erreur reste encore inférieure à 2 %. Considérer que c'est la voile qui se déplace dans l'air à la vitesse ${\displaystyle V_{0}}$ ou que c'est l'air qui arrive à la vitesse ${\displaystyle V_{0}}$ sur la voile est équivalent. Supposons que l'air est fixe (${\displaystyle V_{0}=0}$) et que c'est la voile qui se déplace. En appliquant le théorème de Bernoulli à la parcelle d'air sur la voile où l'air arrive à la vitesse ${\displaystyle V}$ (terme de droite) et puis cette même parcelle d'air avant son arrivée sur la voile (terme de gauche), on obtient : ${\displaystyle {\frac {p_{0}}{\rho .g}}={\frac {V^{2}}{2.g}}+{\frac {p}{\rho .g}}}$ d'où ${\displaystyle p_{0}={\frac {\rho .V^{2}}{2}}+p}$

La pression ${\displaystyle p}$ sur l'élément ${\displaystyle dS}$ de voile est donc la différence de la pression statique stagnante ${\displaystyle p_{0}}$ à l'infini et de la pression dynamique ${\displaystyle {\frac {\rho .V^{2}}{2}}}$ qu'on appellera maintenant ${\displaystyle q}$. On a donc ${\displaystyle p=p_{0}-q}$. La pression statique ${\displaystyle p_{0}}$ est constante dans l'espace, de part et d'autre de la voile. Elle s'annule donc globalement lors de l'intégration de la formule dF sur toute la surface (au vent et sous le vent) de la voile, car la pression ${\displaystyle p_{0}}$ d'un côté de la voile est exactement compensée par la pression ${\displaystyle p_{0}}$ sur l'autre face de la voile, et est donc éliminée. On peut donc considérer sa valeur comme arbitraire, et l'on obtient si l'on choisit ${\displaystyle p_{0}=0}$ l'égalité ${\displaystyle p=-q<0}$.

La pression dynamique est la densité volumique d'énergie cinétique de la parcelle d'air : ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\times \rho V^{2}}$. On appellera maintenant cette quantité dE (il s'agit bien d'une pression et non d'une énergie, ni d'un effort (force), qui sera appelé E dans la suite, ce qui est source de confusion : dE n'est pas la différentielle de E). On a donc ${\displaystyle -p=q=dE}$

d'où ${\displaystyle {\vec {d}}F\cdot {\vec {n}}=dF=dE\,dS>0}$.

dans cette formule la pression dE est une inconnue mais dE est bornée. En effet, ${\displaystyle V}$ est compris entre 0 et ${\displaystyle V_{0}}$ car si la vitesse est supérieure à ${\displaystyle V_{0}}$ alors le surplus d'énergie proviendrait d'une source ou d'un phénomène que l'équation de Bernoulli ne prend pas en compte. Par exemple, la voile pourrait entraîner des phénomènes aérodynamiques non négligeables jamais constatés dans la réalité (onde de chocs...). Son maximum est appelé Max Q ${\displaystyle ={\frac {\rho .V_{0}^{2}}{2}}}$

soit ${\displaystyle dE=c\times MaxQ}$ avec ${\displaystyle \,c}$ un pourcentage de la densité d'énergie cinétique variant de 0 à 100 %. Le pourcentage ${\displaystyle \,c}$ est inconnu, il devra être déterminé par d'autres moyens (équations supplémentaires ou essais).

En intégrant sur toute la surface : ${\displaystyle F=C\times E}$ avec

E = Effort que peut donner au maximum le vent ${\displaystyle =MaxQ\times S={\frac {1}{2}}\times \rho V_{0}^{2}\times S}$;

C = coefficient aérodynamique issue de l'intégration ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique (ou d'énergie).

Attention, la surface S est la surface totale de la voile donc S est égale à la surface de l'intrados ${\displaystyle \ S_{i}}$ plus la surface de l'extrados ${\displaystyle \ S_{e}}$ : ${\displaystyle \ S=S_{i}+S_{e}}$.

Il est possible de diviser l'intégration en deux parties :

• partie extrados
• partie intrados

et donc d'obtenir deux sous coefficients aérodynamiques issus de l'intégration :

• Ce pour l'extrados ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique (ou d'énergie) sur l'extrados
• Ci pour l'intrados ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique (ou d'énergie) sur l'intrados

avec ${\displaystyle F=C\times MaxQ\times S=C_{i}\times MaxQ\times S_{i}+C_{e}\times MaxQ\times S_{e}}$

Cependant, pour des raisons pratiques de comparaison de profil, la surface S utilisée dans les tables n'est pas la surface totale de l'objet (ou voile) mais une surface caractéristique. La surface de la corde ${\displaystyle S_{c}}$ est souvent utilisée comme surface caractéristique.

Surface de la corde, surface de l'intrados et de l'extrados ne sont pas indépendantes, elles font partie du même objet, le profil. Il existe donc une relation les liant entre elles. Il faut donc calculer les facteurs de forme ${\displaystyle \ \alpha _{i}}$ et ${\displaystyle \ \alpha _{e}}$ tel que ${\displaystyle S_{e}=\alpha _{e}\times S_{c}}$, ${\displaystyle S_{i}=\alpha _{i}\times S_{c}}$^[13].

D'où ${\displaystyle F=MaxQ\times S_{c}\times (C_{i}\times \alpha _{i}+C_{e}\times \alpha _{e})=MaxQ\times S_{c}\times C_{c}}$

${\displaystyle \ C_{c}}$ = coefficient de portance des tables (ou abaque).

Comme les tables se basent sur la surface caractéristique ${\displaystyle \ S_{c}}$, il en résulte que le coefficient ${\displaystyle \ C_{c}}$ dans les tables dépend de deux facteurs :

• un facteur de pourcentage de transmission de la pression dynamique (ou d'énergie) ${\displaystyle C_{i}}$ et ${\displaystyle C_{e}}$
• un facteur de forme ${\displaystyle \alpha _{i}}$ et ${\displaystyle \alpha _{e}}$.

Dans un profil mince tel que voile, safran, la surface de la corde est proche de la surface de l'extrados (dessus de la voile), c'est-à-dire ${\displaystyle \ \alpha _{e}\approx 1}$. Idem pour l'intrados.

Par abus de langage, quand une personne indique qu'une voile est de 10 m², il veut dire en fait que la surface de l'extrados de la voile est de 10 m². La surface réelle de la voile (intrados + extrados) est de 20 m², mais c'est bien la valeur de 10 m² qu'il faut employer dans la formule ${\displaystyle F=C_{c}\times E=MaxQ\times S_{c}\times C_{c}}$ des tables de portance.

Bien sûr, ce calcul est une aide à la compréhension et à l'utilisation des tables (ou abaque). Le calcul de C est complexe et part du principe fondamental de la dynamique. Le calcul est abordé dans la section : Cas de plusieurs voiles. Dans la suite de l'article, pour alléger la notation, ${\displaystyle \ C_{c}}$ sera noté ${\displaystyle \ C}$ et ${\displaystyle \ S_{c}}$ sera noté ${\displaystyle \ S}$.

La Théorie des profils minces^[78] est appliquée à un profil 3D. Les résultats 2D classiques (profil d'allongement infinie) de la Théorie des profils minces sont complétés. Le profil infini est tronqué et à chaque extrémité du profil tronqué est rajouté un vortex autrement dit une ligne portante est rajoutée sur toute la périphérie du profil.

La théorie donne alors pour la traînée^[79] :

${\displaystyle Ci={{Cz^{2}} \over {\pi \times \lambda \times e}}}$

avec

• Cz : coefficient de portance du profil
• ${\displaystyle \pi }$ : pi ou 3,1416
• λ : allongement (sans dimension) ${\displaystyle \lambda ={b^{2} \over S}}$ avec b est la longueur du guindant, S la surface de la voile.
• e : coefficient d'Oswald

La théorie modélise uniquement la traînée induite les deux autres traînées forme et friction sont négligées^[80]. Pour fixer les ordres de grandeur :

• Cz varie de 0 à 1,5 environ, une valeur de 1 est prise
• e est compris entre 0 et 1 pour une voile il est aux environs de 0,8
• ${\displaystyle \lambda }$ l'allongement. pour un Edel 2 la grand-voile est de 10 m² avec une bordure de 2,5 m soit ${\displaystyle \lambda =1{,}6}$

${\displaystyle \ Ci}$ est pour un Edel 2 de 0,2.

Mais la voile a aussi son reflet dans la mer qu'il faut tenir compte. Si on néglige la distance entre la mer et la bordure de voile alors, la voile et son reflet a une surface double et un guidant de longueur double.

Donc ${\displaystyle \ Ci}$ est de 0,1.

Dans la réalité ${\displaystyle \ Ci}$ est situé entre ces deux valeurs. Cette valeur varie suivant l'état de la mer autrement dit suivant la qualité du miroir.

Pour compléter, le calcul du coefficient d'Oswald repose sur le calcul intégral. Il est peu abordé par la littérature car il est calculé de manière indirecte. Les formules ne sont pas toute écrites avec le coefficient d'Oswald, il existe aussi une autre notation, ${\displaystyle \ \delta }$ :

${\displaystyle Ci={{Cz^{2}} \over {\pi \times \lambda \times e}}={{Cz^{2}} \over {\pi \times \lambda }}(1+\delta )}$

La Théorie des profils minces appliquée en 3 D donne les formules pour la traînée induite^[81]. Il est à noter dans le cas d'une voile, la cambrure peut être forte (exemple un génois). Il faudrait reprendre les calculs en fonction de cette cambrure qui n'est plus négligeable. La mathématique démontre aussi que ${\displaystyle \ e}$ peut être calculé non pas via une série de Fourier mais via un calcul intégral^[82].

La finesse est directement déduite de la formule de la traînée induite :

${\displaystyle Finesse={\frac {Cz}{Ci}}={\frac {\pi \times \lambda \times e}{Cz}}}$

La théorie donne alors pour la portance^{[83] ,[84]} :

${\displaystyle Cz=Cz'\times {\frac {\lambda }{\lambda +2}}}$

avec

• λ : allongement (sans dimension) ${\displaystyle \lambda ={\frac {b^{2}}{S}}}$ avec b est la longueur du guindant, S la surface de la voile.
• ${\displaystyle Cz'}$ coefficient de portance calculé par la théorie avec un profil d'allongement infinie.

Dans le cas d'une voile les vitesses du vent sont très éloignées du Mach ; il s'ensuit que le facteur correctif du nombre de Mach est approximé à 1.

La théorie donne alors pour la portance d'un profil d'allongement infini :

${\displaystyle \ Cz'=2\times \pi \times (\alpha +\alpha 0)}$

avec

• ${\displaystyle \alpha }$ angle d'incidence entre la corde de la voile et le vent apparent.
• ${\displaystyle \alpha 0}$ en 3D ce coefficient est en fait légèrement diffèrent du calcul 2D.

d'où

${\displaystyle Finesse={\frac {e}{\alpha +\alpha 0}}\times {\frac {\lambda +2}{2}}}$

L'architecte naval fixe e et ${\displaystyle \lambda }$. Le marin lui fixe ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \alpha 0}$. Dans la littérature anglaise, les courbes portance en fonction de la traînée sont appelées drag polar.

Le marin n'a pas un choix total du facteur ${\displaystyle \alpha 0}$, autrement dit il ne peut pas choisir totalement la forme du profil. L'ensemble des profils possibles est limité. En effet, la voilerie fixe une coupe de la voile donc définit un ensemble de profils possibles que peut prendre la voile suivant les réglages de la voile. Pour illustrer, la voile est coupée pour donner un profil NACA0009, mais si la voile n'est pas bien tendue, la voile peut prendre les profils NACA0012 NACA0015 NACA0018 et intermédiaires ; la forme générale reste la même, les relations entre position du creux et cambrure, galbe/corde, etc. eux sont fixes. Le choix de la forme générale est du ressort de la voilerie (ou l'architecte naval).

Or une finesse élevée correspond dans la gamme des profils possibles de la voile à un creux au maximum sur l'avant (voile bien tendue)^[85]. Du point de vue du marin pour le réglage, il cherchera à avancer le creux, mais cela ne veut pas dire qu'il pourra le positionner où il le veut. Le choix du profil par la voilerie aura peut être comme conséquence de positionner la finesse max quand le creux est à 30 % sur l'avant comme aussi bien à 50 % sur l'avant. Dans le premier cas, il aura la possibilité de positionner le creux entre 30 % et 100 % alors dans le deuxième cas le marin sera limité entre 50 % et 100 %.

Bien sûr, cette explication reste une bonne approche, les simplifications faites et les autres types de traînée forme et frottement ont un impact secondaire mais non négligeable pour la compétition^[86]. La surface perpendiculaire au vent est un facteur important, plus la profondeur du creux (cambrure) est faible, plus la finesse est élevée comme le vrillage^[87]. La voile plate est préférable à un ballon au près. Cela implique que la forme générale d'une voile bien réglée est une voile tendue au près. Mais la voile ne doit pas être pas trop tendue car elle serait trop plate, la portance alors diminue^[88].

Ces calculs sont des approximations de la réalité, ils sont encore relativement simples, ils évitent les calculs 3D extrêmement lourds (voir Cas de plusieurs voiles : résolution multidimensionnelle du problème). Ils restent pratiques pour dimensionner un gréement ou pour modéliser un gréement en vue de l'étude du comportement à la mer du voilier en entier.

(...)

La puissance physique

La puissance en physique est définie comme

${\displaystyle P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}$

ou dans notre cas, le calcul est le calcul de la puissance de la voile :

${\displaystyle {\vec {F}}}$ (en N) est l'effort sur la voile ou poussée vélique

${\displaystyle {\vec {v}}}$ (en m/s), vitesse du navire par rapport au fond noté ${\displaystyle \ V}$.

${\displaystyle \ P}$ est la puissance instantanée (en W)

A vitesse constante du voilier, les efforts contribuant à son avancement sont exactement équilibrés par les efforts de carène :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (m{\vec {V}})}{\mathrm {d} t}}=\sum {{\vec {\mathrm {F} }}_{i}}=0}$ ;

d'où

${\displaystyle {\vec {0}}={\vec {\mathrm {Fvoile} }}+{\vec {\mathrm {Fcarene} }}+{\vec {\mathrm {Fgravite} }}}$

Les efforts sont projetés sur l'axe vitesse :

${\displaystyle \ 0=Fpoussee+Fcarenesuraxevitesse}$

La carène se comporte comme un profil immergé. La portance est perpendiculaire à l'avancement du navire, donc elle n'intervient pas. La résistance à l'avancement est due à la traînée de la carène. Pour ne pas compliquer, la route vraie ou route fond est égale à la route surface, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de courant.

${\displaystyle Fcarenesuraxevitesse={\frac {1}{2}}\times \rho eau\times S\times C\times V^{2}}$

avec C coefficient de trainée de la carène.

Les facteurs suivants dépendent peu de la vitesse du navire :

${\displaystyle \ b={\frac {1}{2}}\times \rho eau\times S\times C}$

d'où

${\displaystyle Fcarenesuraxevitesse=b\times V^{2}=-Fpoussee}$

d'où

${\displaystyle P=(Fpoussee)^{\frac {3}{2}}\times \left({\frac {1}{b}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Donc optimiser la puissance revient à optimiser l'effort propulsif.

or la poussée (ou effort propulsif) contribuant à la vitesse est :

${\displaystyle F_{poussee}=portance\times \sin(\beta )-trainee\times \cos(\beta )}$ avec ${\displaystyle trainee=finesse(\alpha )^{-1}\times portance}$

avec :

${\displaystyle \alpha }$ angle d'incidence entre la corde de la voile et le vent apparent,

${\displaystyle \beta }$ angle entre le vent apparent et la route fond du navire (route réelle du navire donc incluant sa dérive).

d'où la formule complète est :

${\displaystyle P=(portance\times (\sin(\beta )-finesse(\alpha )^{-1}\times \cos(\beta )))^{\frac {3}{2}}\times \left({\frac {1}{b}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Le marin pour faire varier la puissance par uniquement trois facteurs de réglage :

• la finesse
• l'incidence
• mais aussi la portance.

Cela signifie que dans certains cas il faut aussi prendre en compte la portance pour optimiser la vitesse du voilier.

La portance a pour équation ${\displaystyle portance={\frac {1}{2}}\times \rho air\times S\times C\times V^{2}}$ avec C le coefficient de portance, S la surface de la voile, et V la vitesse du vent apparent. La vitesse n'étant pas identique le long du guindant, il faut prendre une moyenne pondérée (à déterminer via des essais). L'effort portance dépend de plusieurs paramètres dont principalement la vitesse (moyenne sur toute la voile) du vent apparent, vitesse moyenne qui dépend fortement de la gîte du navire.

La puissance d'un voilier

La puissance physique ne peut augmenter indéfiniment, il arrive un moment où l'effort est tel que la gîte (ou tangage) est trop importante, le bateau va chavirer. La puissance est donc limitée par la capacité du bateau à résister à la gîte (ou tangage), autrement dit son moment de redressement.

Le monde maritime préfère donc définir la puissance comme suit : la puissance d'un voilier est son moment de redressement^[95]. Cette notion est légèrement différente de la notion de puissance utilisée par les physiciens.

Ce qui empêche le voilier de chavirer, c'est le moment des moyens de contre gîte (ballast, carène, quille...). Ce moment équilibre exactement le moment généré par l'effort du vent dans les voiles lorsque le navire est à vitesse constante. Cette simplification (vitesse constante) évitera de partir dans des raffinements de formule trop complexe.

${\displaystyle {\vec {0}}={\vec {\mathrm {M} }}_{voile/G}+{\vec {\mathrm {M} }}_{carene/G}}$

avec

• G centre de gravité du voilier
• ${\displaystyle \ {\vec {\mathrm {M} }}_{voile/G}={\vec {F_{propulsif}}}\times distance_{centredegravite-centrevelique}}$
• ${\displaystyle \ {\vec {\mathrm {M} }}_{carene/G}}$ moment de redressement du voilier, ce moment inclus les effets des ballasts de la quille de la carène, etc.

Ces moments sont décomposables suivant les axes du navire : gîte, tangage, lacet. Chaque axe a sa limite (Fc faible à la gîte élevée au portant), soit :

• Moment maximum à la gîte ${\displaystyle \ M_{gite_{max}}}$
• Moment maximum au tangage ${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}}$;

Bien sûr, il n'est pas possible de chavirer suivant l'axe de lacet.

L'axe de tangage n'aura pas le même moment de redressement que l'axe de gîte. Par nature même d'une forme de carène, une carène est faite pour offrir le moins de résistance de déplacement, la limite suivant l'axe de tangage est considérablement plus importante que suivant la gîte :

${\displaystyle \ M_{gite_{max}}<<M_{tangage_{max}}}$

Pour fixer les ordres de grandeur sur un monocoque, ${\displaystyle \ 10\times M_{gite_{max}}=M_{tangage_{max}}}$, bien sur cette valeur est plus faible pour un multicoque.

Un voilier est généralement composé de plusieurs voiles, pour ne pas alourdir le propos, le jeu de voiles sera ramené en une seule voile équivalente. Cette voile aura sa propre polaire de voile. Les résultats trouvés pour cette voile équivalente sont applicables à chacune des voiles; comme les voiles s'influencent mutuellement, le bon réglage sera légèrement diffèrent du réglage voile équivalente. Cette différence est déterminable via des logiciels de calcul ou l'expérience du marin sur son voilier (voir Cas de plusieurs voiles : résolution multidimensionnelle du problème).

L'effort dans les voiles change de direction et d'intensité suivant l'allure, la limite admissible par le voilier au portant est diffèrent du près ou du vent arrière. L'effort vélique se décompose en portance et traînée. Il sera noté ${\displaystyle \ D_{tangage}}$ le bras de levier du tangage et ${\displaystyle \ D_{gite}}$ le bras de levier de la gite de l'effort vélique par rapport au centre de gravité.

d'où

${\displaystyle \ M_{tangage}=D_{tangage}\times (portance\times \sin(\beta )-trainee\times \cos(\beta ))=D_{tangage}\times portance\times (\sin(\beta )-finesse(\alpha )^{-1}\times \cos(\beta ))}$

${\displaystyle \ M_{gite}=D_{gite}\times (portance\times \cos(\beta )+trainee\times \sin(\beta ))=D_{gite}\times portance\times (\cos(\beta )+finesse(\alpha )^{-1}\times \sin(\beta ))}$

avec ${\displaystyle \ \beta }$ angle de l'allure^[97].

Ces moments peuvent aussi être exclusivement exprimés suivant les moyens de contre gite. Une analyse suivant les moyens de contre gîte sort du cadre de cet article. Néanmoins le calcul suivant la carène est fort complexe, mais les résultats de calcul montre que ${\displaystyle \ M_{gite}}$ et ${\displaystyle \ M_{tangage}}$ évolue respectivement suivant l'angle de gîte et de tangage. La valeur des moments crois assez linéairement pour passer par un maximum puis elle diminue. L'approche généralement choisie est l'approche métacentrique :

${\displaystyle \ M_{tangageougite}=A\times GM\times \sin(\phi )}$

avec

• ${\displaystyle \ \phi }$ angle de gîte ou de tangage
• ${\displaystyle \ GM}$ distance du centre de gravité au métacentre
• ${\displaystyle \ A}$ constante, différente suivant gîte ou tangage^[98],[99].

Dans la littérature, le moment calculé suivant l'approche voile est appelé en anglais heeling moment; l'approche via la carène est appelée en anglais righting moment.

La littérature utilise souvent une équation simplifiée pour calculer le heeling moment ou ${\displaystyle \ M_{gite}}$ vue des voiles.

${\displaystyle \ M_{gite}=D_{gite}(portance\times \cos(\beta )+trainee\times \sin(\beta ))}$

et la portance et la traînée sont de la forme :

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\times \rho \times S\times C\times V^{2}}$

La vitesse du vent n'est pas constante suivant l'altitude, la vitesse dépend de la gîte (ou assiette). Différentes formules simplifiées sont employées :

• ${\displaystyle V=a\times \cos(\phi )}$

  qui débouche sur :

  ${\displaystyle \ M_{gite}=pressure\times S\times A{\cos(\phi )}^{n}}$

  avec

  ${\displaystyle \ pressure}$ pression moyenne sur la voile

  ${\displaystyle \ A{\cos(\phi )}^{n}}$ est appelé heeling arm^{[Note 32]}

  ${\displaystyle \ \phi }$ angle de gîte ou de tangage

  ${\displaystyle \ S}$ surface des voiles

  ${\displaystyle \ A}$ constante

  n un coefficient à déterminer^[100].

• ou ${\displaystyle V^{2}=b\times (1-a\times \phi )}$^[101] qui donnera une autre formule,
• ou autre formule^[102].

Plus la gîte est importante plus le voilier se rapproche de ses limites de sécurité, la gîte n'est donc pas souhaitable. De même d'un point de vue effort la gîte n'est pas souhaitable car elle diminue les efforts donc les performances du navire. Les deux phénomènes vitesse et sécurité agissent dans le même sens. La prise en compte de l'effet vitesse du vent dans la suite de l'explication n'apporte rien, elle accentuerait les résultats trouvés sans apporter d'élément nouveau. Dans la suite de l'explication les angles (gîte, tangage) seront considérés comme faible donc négligé.

De ces courbes, il est déterminé ${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}}$et ${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}}$. Ces points sont des maximums, il suffit d'une risée, d'une sur-vente et la limite est dépassée, donc le navire est en situation de danger. De plus les angles sont trop élevés et la voile ne profite pas des vents rapides d'altitude. Pour ces raisons, il est choisi dans la zone linéaire une limite plus faible donc des angles plus faibles que nous appellerons gîte optimum et tangage optimum.

La force vélique se décompose en traînée et portance, au portant la portance ralentit le navire au près inversement c'est la traînée qui ralentit le navire. Donc au portant la portance est minimisée, au près c'est la traînée qui est minimisée. Par corollaire, la portance au portant est plus faible que la traînée, inversement au près. La transition entre ces deux comportements se situe avant vent de travers, le mode de réglage bascule alors de recherche de traînée maximale à portance maximale. La transition correspond aussi à un écoulement sur la voile de turbulent (recherche de trainée) à laminaire (recherche de portance).

Pour fixer les ordres de grandeur, le voilier est considéré à faible gîte (autrement dit une approche métacentrique), si le voilier est bien conçu alors il est ni mou ni ardent donc le centre vélique est approximativement au-dessus du centre de gravité sur la même vertical :

${\displaystyle \ D_{gite}\approx D_{tangage}}$

De plus ${\displaystyle \ D_{gite}=D_{tangage}}$ est reste peu variant en première approximation :

• le centre vélique est proche du centre géométrique des voiles
• le cas le plus courant est le voilier sans ballast de plus d'une tonne, donc la majeure partie des poids est fixe, le centre de gravité bouge peu.

Vent arrière ${\displaystyle \ \beta \approx 180}$

Au portant, une remarque primordiale est à faire, le bord d'attaque est la chute et le bord de fuite c'est le guindant. La situation est inversée par rapport au près. Au portant le profil de voile fonctionne en marche arrière. Comme au portant, la traînée fait avancer le navire, et la portance le ralenti. Il faut donc une traînée maximale, c'est-à-dire une voile qui barre la route au vent et donc une voile à forte incidence. Cela induit un mode d'écoulement du vent sur la voile turbulent.

Considérons le cas simple de vent arrière ${\displaystyle \ \beta =180}$ d'où

${\displaystyle \ M_{tangage}=D_{tangage}\times trainee}$

${\displaystyle \ M_{gite}=-D_{gite}\times portance}$

Or en vent arrière la voile travaille exclusivement en traînée, la portance est nulle donc :

${\displaystyle \ M_{tangage}=D_{tangage}\times trainee\times 1}$

La gîte n'est pas un problème, le risque est un risque d'enfournement^[103]. En vent arrière, le voilier ne peut aller plus vite que le vent. Ainsi, plus le voilier se rapproche de la vitesse du vent réel, plus le vent apparent est faible et donc plus la poussée vélique est faible. Il faut donc hisser un maximum de surface de voile pour faire avancer le voilier aussi proche que possible de la vitesse du vent réel.

Il faut modérer le dernier propos. Dès que le vent n'est plus exactement vent arrière, l'effet vent apparent apparaît. Le vent apparent augmente, donc l'effort vélique aussi; si les voiles hissées étaient calculées pour une limite d'enfournement en vent arrière, cette limite est dépassée. La voilure hissée doit être plus réduite. À ces allures l'effet vent apparent augmentant reste modéré, le voilier est donc toujours à une vitesse inférieure à la vitesse du vent réel. Les limites de vitesse de carène sont donc atteintes par grand vent (de brise, à tempête), or dans des conditions pareilles, le marin raisonnable n'est plus dans une recherche de vitesse mais dans une recherche de sécurité maximale du navire. Il réduit donc fortement la voilure.

Donc dans la réalité, il est hissé une grande surface de voile sans être à la limite de sécurité. La perte de vitesse par rapport au cas surface maximum sera très minime, car en vent arrière le bateau ne peut pas aller plus vite que le vent.

De vent arrière à grand largue ${\displaystyle \ \beta \approx 120}$

La portance ralentit le navire donc il faut la minimiser. Attention le profil est inversé. La polaire de la voile donnant la traînée maximum et la portance la plus faible est pour une incidence de 90°^[104]. Il faut donc maintenir l'incidence perpendiculaire au lit du vent apparent. Dans ce cas la portance reste nulle donc les contraintes sont :

${\displaystyle \ M_{tangage}=-D_{tangage}\times trainee\times \cos(\beta )}$

${\displaystyle \ M_{gite}=D_{gite}\times trainee\times \sin(\beta )}$

D'autre part la portance n'est plus parallèle à la route du voilier. Une partie perpendiculaire apparaît qui engendre de la gîte.

Le voiler profite de l'effet vent apparent, le bateau accélère. Comme une gîte apparaît, le voilier compense la gîte grâce à la dérive. La dérive augmente les efforts résistants de la carène. De vent arrière à grand largue, le bateau est de plus en plus rapide,en profitant de l'effet vent apparent en augmentation. Puis à l'approche du largue, la résistance de la carène prend le dessus, le bateau ralentit un peu^[105].

Comme ${\displaystyle \ M_{gite_{max}}<<M_{tangage_{max}}}$, ici ${\displaystyle \ 10={\frac {M_{tangage_{max}}}{M_{gite_{max}}}}}$.

Il existe un point de basculement où la contrainte dimensionnement passe de la contrainte de tangage à la contrainte de gîte :

${\displaystyle \ {\frac {-D_{tangage}\times trainee\times \cos(\beta )}{D_{gite}\times trainee\times \sin(\beta )}}={\frac {\cos(\beta )}{\sin(\beta )}}=10}$

soit

${\displaystyle \ \beta =174{,}3}$°

L'angle est proche de vent arrière. Pour un ratio faible de ${\displaystyle \ 3{,}5={\frac {M_{tangage_{max}}}{M_{gite_{max}}}}}$,Il est encore de 165°.

Donc la contrainte est :

${\displaystyle \ M_{gite}=D_{gite}\times trainee\times sin(\beta )}$

Au largue, la zone de transition

Au largue, si le voilier garde le même profil de traînée qu'au grand largue, voile bien réglée la portance est nulle. L'effort propulsif suit la formule :

${\displaystyle \ F_{propulsif}=-trainee\times cos(\beta )}$

Donc plus le voilier se rapproche du travers plus la poussée diminue, jusqu'à devenir nulle. Il arrive donc une allure, au largue ou il est préférable de passer au mode portance du travers.

De même de façon inverse, si le voilier garde le même profil portant qu'au travers, tant que l'incidence n'est pas trop proche de zéro, la voile garde son profil, et propulse le bateau en mode portance. Par contre plus l'allure se rapproche de grand largue, plus l'incidence diminue, plus l'effort propulsif diminue. Il arrive donc une allure, au largue ou il est préférable de passer au mode traînée c'est-à-dire positionner la voile pour couper la trajectoire d'un maximum de vent comme fait au grand largue. Ce point particulier de basculement diffère suivant les voiliers et les jeux de voile disponibles. Par exemple un multicoque a des moyens de contre gîte bien plus performant qu'un monocoque, le point de basculement sera donc différent.

Au travers ${\displaystyle \ \beta \approx 90}$

Proche du travers, la portance s'inverse, elle contribue à l'avancement du navire, et la traînée ralentit le bateau. L'effort propulsif suit la formule :

${\displaystyle \ F_{propulsif}=portance\times sin(\beta )-trainee\times cos(\beta )=portance}$

comme l'angle n'est pas parfaitement à ${\displaystyle \ \beta =90}$ le cas idéal serait donc de trouver un point de la polaire de la voile avec une traînée nulle et une portance maximale. Malheureusement contrairement au portant ou la traînée maximale correspond à une portance nulle, la Théorie des profils minces démontre que dès qu'il y a portance il existe une traînée. Le choix de la bonne incidence de la voile va dépendre de la finesse de la voile (voir finesse). Par nature pour une voile travaillant en portance ${\displaystyle \ portance>>trainee}$.

Les contraintes sont :

${\displaystyle \ M_{tangage}=D_{tangage}\times portance}$

${\displaystyle \ M_{gite}=-D_{gite}\times trainee}$

Comme ${\displaystyle \ portance>>trainee}$, la contrainte est :

${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}>D_{tangage}\times portance}$ au travers si la voile travail en portance

Au travers, il faut la portance la plus élevée possible donc le choix du profil se tourne vers une voile la plus creuse possible^[106]. Mais plus la voile est creuse plus l'écoulement se rapproche d'un écoulement turbulent. Il faut trouver la limite car dans un écoulement turbulent la portance s'effondre.

Le profil étant sélectionné, il faut trouver la bonne incidence. La bonne incidence sera au point de le polaire avec le plus de portance (une incidence de 20° environ, qui varie suivant les voiles).

La gîte ne pose pas encore de problème car la composante gîte ne contient que la traînée, qui dans ce mode par nature assez faible. La traînée n'est pas la plus faible possible car, il a été choisi le profil avec un maximum de portance donc très creux donc générant beaucoup de traînée pour un profil travaillant en portance).

Comme l'incidence optimum est de 20°, il est possible de régler la voile en mode portance pour des allures correspondant inférieur à ${\displaystyle \ \beta =90}$. La limite est ${\displaystyle \ \beta =70}$, à cette allure l'incidence est nulle, l'effort propulsif devient nulle, la voile n'est plus gonflée par le vent.

Il n'est pas rare de voir au travers une voile réglée en traînée. Cette situation comme le démontrent les formules donne une forte gîte, la voile est mal réglée. L'effort propulsif est assuré par la traînée ${\displaystyle \ F_{propulsif}=trainee\times cos(\beta )}$, comme ${\displaystyle \ cos(\beta )}$ est proche de zéro, l'effort propulsif reste faible. Par contre le reste la quasi-totalité de la traînée fait gîter le voilier.

De petit largue au bon plein

Au allure du près, la voile travaille en portance pour pouvoir remonter au vent. Par contre la gîte devient de plus en plus importante, il faut donc limiter la gîte en améliorant la finesse de la voile (voir paragraphe finesse de cette page de Wikipédia). Il faut une voile avec de moins en moins de creux.

Les contraintes sont :

${\displaystyle \ M_{tangage}=D_{tangage}\times (portance\times \sin(\beta )-trainee\times \cos(\beta ))=D_{tangage}\times portance\times (\sin(\beta )-finesse(\alpha )^{-1}\times cos(\beta ))}$

${\displaystyle \ M_{gite}=D_{gite}\times (portance\times \cos(\beta )+trainee\times \sin(\beta ))=D_{gite}\times portance\times (\cos(\beta )+finesse(\alpha )^{-1}\times \sin(\beta ))}$

Comme ${\displaystyle \ M_{gite_{max}}<<M_{tangage_{max}}}$, ici ${\displaystyle \ 10={\frac {M_{tangage_{max}}}{M_{gite_{max}}}}}$.

Il existe un point de basculement où la contrainte dimensionnement passe de la contrainte de tangage à la contrainte de gîte :

${\displaystyle \ {\frac {D_{tangage}\times portance\times (\sin(\beta )-finesse(\alpha )^{-1}\times \cos(\beta ))}{D_{gite}\times portance\times (\cos(\beta )+finesse(\alpha )^{-1}\times \sin(\beta ))}}=10}$

soit

${\displaystyle \ \beta =\pi -\arctan({\frac {1}{10}})-\arctan(finesse)}$

avec

${\displaystyle \arctan }$ la fonction réciproque de la tangente ${\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}$.

${\displaystyle \ \beta }$ en radian

Or ${\displaystyle \ finesse>>1}$, dans la pratique ${\displaystyle \ finesse>10}$ donc ${\displaystyle \ \arctan(finesse)\approx {\frac {\pi }{2}}}$.

Le point de basculement est proche du travers, même avec un ratio faible de ${\displaystyle \ 3{,}5={\frac {M_{tangage_{max}}}{M_{gite_{max}}}}}$. Donc rapidement après le travers, la voile réglée à la plus grande portance (donc très creuse) créera une gîte excessive. Le réglage change, la voile sera progressivement réglée pour obtenir la finesse la plus élevée possible (voile de plus en plus plate).

La contrainte est :

${\displaystyle \ M_{gite}=D_{gite}\times portance\times (\cos(\beta )+finesse(\alpha )^{-1}\times \sin(\beta ))}$

Près serré

Les formules sont identiques à précédemment. Par contre la position sur la polaire de la voile change, l'incidence diminue. En effet, l'angle avec le lit du vent devient de plus en plus faible, jusqu'à devenir si faible que c'est la voile qui n'est plus gonflée donc sans profil, la voile flotte au vent.

Analyse des résultats

Les contraintes suivant les allures sont :

${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}>D_{tangage}\times trainee}$ en vent arrière

${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}>D_{tangage}\times portance}$ au travers

et

${\displaystyle \ M_{gite_{max}}>-D_{gite}\times trainee\times \sin(\beta )}$ au grand largue et une partie du largue

${\displaystyle \ M_{gite_{max}}>D_{gite}\times portance\times (\cos(\beta )+finesse(\alpha )^{-1}\times \sin(\beta ))}$ au près.

Donc à chaque allure va correspondre une limite différente.

Or

${\displaystyle \ F_{poussee}=trainee\times \cos(\beta )}$ au grand largue et une partie du largue

${\displaystyle \ F_{poussee}=trainee}$ en vent arrière

${\displaystyle \ F_{poussee}=portance}$ au travers

${\displaystyle \ F_{poussee}=portance\times (\sin(\beta )-finesse(\alpha )^{-1}\times \cos(\beta ))}$ au près et une partie du largue.

donc :

${\displaystyle \ M_{gite_{max}}>D_{gite}\times F_{poussee}\times {\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}}$ au grand largue et une partie du largue

${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}>D_{tangage}\times F_{poussee}}$ au travers

${\displaystyle \ M_{tangage_{max}}>D_{tangage}\times F_{poussee}}$ en vent arrière

${\displaystyle \ M_{gite_{max}}>D_{gite}\times F_{poussee}\times \sin(\pi -\beta -\arctan(finesse))}$