Base (arithmétique)

En arithmétique, une base est un nombre non nul dont les puissances successives interviennent dans l'écriture de nombres dans la numération positionnelle utilisant ces puissances. Ce système de numération est alors désigné comme « de base  », les puissances de définissant l'ordre de grandeur, aussi appelé le « poids », de chacune des positions occupées par les chiffres composant le nombre représenté. Les bases les plus utilisées sont celles où est un entier naturel. Il existe également des systèmes utilisant des bases non entières.

On utilise généralement, pour les bases entières à partir de deux, un nombre de chiffres égal à la base[1].

En base , un nombre s'écrit usuellement , l'indice étant facultatif pour la base dix.

Bases entières en numération naturelle[modifier | modifier le code]

Définition mathématique[modifier | modifier le code]

Pour tout entier naturel non nul appelé base, tout nombre entier naturel peut se décomposer sous la forme[2]

,

est un entier naturel, une suite finie d'entiers naturels. Pour définir la numération naturelle de base , on impose aux coefficients et à leur utilisation les conditions suivantes qui permettent d'assurer que cette décomposition est unique[3],[4]:

et .

Les coefficients sont alors appelés des chiffres[5].

Notations usuelles[modifier | modifier le code]

La représentation du nombre dans une base est la suite de chiffres . Il est indispensable de préciser la façon d'écrire cette représentation pour éviter toute confusion[2].

La convention usuelle de notation mathématique est d'ordonner cette suite par poids, ou puissance de , croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle : les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi : pour , pour , pour , et ainsi de suite jusqu'à pour .

Le nombre est alors représenté par la suite ordonnée (), et pas par (), ni par aucune autre permutation de cette suite.

Pour bien indiquer dans quelle base cette représentation est exprimée, on la note , , ou . Les parenthèses, les points-virgules et le surlignage peuvent être omis s'il n'y a aucun risque de confusion. En base dix, la plus utilisée, il est admis de noter simplement cette représentation : .

Chiffres utilisés dans une base[modifier | modifier le code]

Pour pouvoir représenter de façon unique tous les entiers naturels, un système en base b utilise b chiffres.

Pour les bases usuelles jusqu'à dix inclus, on utilise généralement les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Pour les bases b avec , on utilise ces mêmes 10 chiffres et les chiffres suivants sont les lettres de l'alphabet en capitales dans l'ordre de A à Z[6].

Par exemple, pour la base 16, les chiffres utilisés sont : 0, 1, 2, 3... 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pour la base 36, on utilise les chiffres : 0,1, 2, 3...8, 9, A, B, C...X,Y, Z.

Pour les bases b avec , on peut utiliser les 10 chiffres de 0 à 9, les lettres capitales, puis les lettres minuscules. Par exemple, pour la base 62, on peut utiliser les chiffres : 0,1, 2, 3...8, 9, A, B, C...X,Y, Z, a, b, c,...x, y, z[7].

Pour n'importe quelle base, on peut utiliser une notation sans lettres. Par exemple, en base soixante, on peut utiliser les chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,..., 59. Dans ce cas on écrira par exemple : .

L'usage du zéro positionnel est une convention pratique et élégante, mais non nécessaire pour représenter les entiers naturels, comme l'illustre le système décimal sans zéro. Il est, par contre, indispensable pour généraliser l'écriture positionnelle aux nombres fractionnaires.

Autres notations[modifier | modifier le code]

La notation mathématique est , où k désigne un réel quelconque et b en indice est la valeur de la base. Par exemple 1001112 pour le nombre dont le développement en base 2 est 100111, ou encore 1728 pour le nombre dont le développement en base 8 est 172.

Il existe d'autres notations, notamment employées en informatique :

  • Base 8 : on peut indiquer le nombre avec un zéro au début. Par exemple 0157 pour 1578.
  • Base 16 : on peut indiquer de diverses manières qu'un nombre est en hexadécimal (voir tableau ci-dessous). Une autre écriture courante est l'ajout du suffixe « h » à la fin du nombre, ce qui avec notre exemple donne AE4Fh.
Préfixe Exemple Langages
0x 0xAE4F C, C++, Java
$ $AE4F Pascal
&h &hAE4F Basic
# #AE4F HTML

Bases entières d'usage courant[modifier | modifier le code]

De nombreux systèmes de numération à bases entières ont été utilisés par différents peuples et à différentes époques.

Certaines bases sont encore couramment employées de nos jours :

Pour des applications spécifiques, les scientifiques, mathématiciens ou informaticiens peuvent décider d'utiliser des bases ad hoc : par exemple, en informatique, pour un entier représenté par une chaîne d'octets, on peut considérer un octet comme un chiffre en base 256 et on peut également voir un identificateur comme un nombre en base 40.

Conversion d'une base à une autre[modifier | modifier le code]

Un nombre s'écrit, dans une base donnée , comme une suite de chiffres telle que la suite vérifie l'égalité mathématique: .

Ainsi, un nombre exprimé en base b par les quatre chiffres 1101 vaut : , qui donne, selon la base :

Valeur de b Expression en base b Forme développée Expression en base dix
b = 10
b = 8
b = 2

La signification d'une même représentation, comme 10, 100 ou 1000, dépend complètement de la base utilisée : par exemple, l'écriture « 10 » est égale à dix en base dix, mais à deux en base deux ou à trois en base trois.

Lorsqu'on veut passer d'une base à une autre, on peut utiliser deux méthodes (algorithmes), suivant que l'on sait calculer dans la base de départ ou dans la base d'arrivée.

Méthode des divisions successives[modifier | modifier le code]

Si l'on sait calculer dans la base de départ, des divisions entières successives par la base donneront en restes les chiffres du résultat, en commençant par les unités. Plus précisément :

(le nombre à convertir) ;
tant que faire

les sont les chiffres du nombre converti, en partant des unités.

Exemple : en base 7

On effectue une suite de divisions euclidiennes par 7 jusqu'à ce que le quotient soit égal à 0 :

.

Chaque reste est un chiffre donc = . On a = = , on retombe bien sur le même nombre en base dix.

Algorithme en JavaScript :

function convert (n, b_d, b_a) {	// La fonction prend en argument le nombre n à convertir, b_d la base de ce nombre, et b_a la base dans laquelle on veut le convertir 	var symbol = ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9', 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O', 'P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z'], 	// Cette liste a pour rôle de stocker les chiffres des bases par ordre croissant. 		res = '';		// Le nombre à renvoyer, sous forme de chaîne de caractère  	n = parseInt(String(n), b_d); 	// On convertit le nombre en base décimale. Au-delà il ne pourrait être divisé.  	while (n) {			// Tant qu'il y a un reste non nul 		res = symbol[n % b_a] + res;		// On incrémente le nombre à renvoyer, par le reste du nombre et de la base 		n = Math.floor(n / b_a);		// Le nombre est arrondi 	}  	return res;			// Le résultat est renvoyé } 
Remarque : ce programme peut fonctionner jusqu'à la base 36, au-delà, la fonction parseInt ne fonctionne plus.

Méthode de Horner[modifier | modifier le code]

Si l'on sait calculer dans la base d'arrivée, on évalue le polynôme (en représentant les coefficients et la base de départ dans la base d'arrivée). La méthode de Horner est généralement utilisée[2] :

 ;  ;
pour à faire  ;

est le nombre dans la base d'arrivée.

Exemple d'algorithme en Python :

def convert_horner(num, base=16):     sym = ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7',            '8', '9', 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']     r = 0     for n in num:         r = r * base + sym.index(n)     return r 

Si on ne sait calculer ni dans la base de départ ni dans celle d'arrivée, on passe par une base intermédiaire où l'on sait calculer.

Si la base d'arrivée est une puissance r-ième de la base de départ (exemple : de la base deux à la base seize), on peut convertir chaque groupe de r chiffres en un chiffre, localement et directement.

Bases entières dans d'autres numérations[modifier | modifier le code]

L'utilisation de bases entières en numération peut être étendue à partir de la numération naturelle en modifiant les hypothèses relatives aux chiffres, aux puissances de la base, au signe de la base, ou même au nombre de bases entières utilisées.

Systèmes sans zéro ou b-adiques[modifier | modifier le code]

Il est possible de définir un système de numération de base entière non nulle en interdisant l'utilisation du chiffre valant zéro. On peut démontrer que tout nombre entier naturel non nul peut être décomposé de façon unique sous la forme : , où les sont des entiers naturels tels que : .

Les symboles représentant les valeurs que peuvent prendre les sont appelés des chiffres, et le système de numération de base b ainsi défini est appelé b-adique, ou bijectif de base b ou encore de base b sans zéro.

Le nombre est représenté, dans ce système, par la suite ordonnée de chiffres . Et le nombre zéro est, par convention, représenté par {} ou par un symbole très différent de ceux utilisés pour les chiffres.

Les chiffres utilisés en b-adique sont usuellement les mêmes que ceux du système naturel de base b, avec deux différences : le chiffre représentant le nombre zéro n'est pas utilisé, et un chiffre supplémentaire est utilisé pour représenter le nombre b. Ainsi, en base 10-adique, on utilise les chiffres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A), la lettre A étant le chiffre représentant le nombre dix.

La principale différence entre la numération de base b naturelle et la numération b-adique est l'absence de zéro dans cette dernière. Ceci a des conséquences sur la représentation des nombres dans ces deux systèmes, comme illustré dans le tableau ci-dessous pour le système de base dix naturel et le système 10-adique.

Base Dix
Décimal naturel 0 1 2 9 10 11 20 21 30 99 100 101 110 111 200 1000
10-adique {} 1 2 9 A 11 1A 21 2A 99 9A A1 AA 111 19A 99A

Les nombres dont l'écriture en base b naturelle ne comporte pas de chiffre 0 s'écrivent de façon identique en base b-adique, mais, dans les autres cas, l'écriture de ces nombres est différente entre les deux systèmes.

Comme pour les écritures en bases naturelles, l'écriture d'un nombre en base b-adique se fait en indiquant précisément dans quelle base ce nombre est écrit sous l'une des formes suivantes : , , ou . Les parenthèses, les points virgules et le surlignage peuvent être omis s'il n'y a aucun risque de confusion.

Exemple d'utilisation : .

Systèmes balancés ou symétriques[modifier | modifier le code]

Ces systèmes utilisent un entier naturel comme base, mais des chiffres signés positifs et négatifs : en base 2d ou 2d + 1 un tel système est doté des chiffres signés d,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., d. On parle alors de système balancé ou symétrique[10]. Ces systèmes permettent de représenter tout entier relatif sous forme d'une suite non signée de chiffres signés. Le tableau ci-dessous donne quelques exemples d'utilisation de tels systèmes.

Base
Décimal signé -6 -3 -1 0 1 2 3 4 5 6 9 10 23 24
3 signé -20 -10 -1 0 1 2 10 11 12 20 100 101 212 220
3 symétrique 110 10 1 0 1 11 10 11 111 110 100 101 1011 1010
5 signé -11 -3 -1 0 1 2 3 4 10 11 14 20 43 44
5 symétrique 11 12 1 0 1 2 12 11 10 11 21 20 102 101

Systèmes à base entière négative[modifier | modifier le code]

Ces systèmes utilisent un entier relatif négatif –b comme base, et les chiffres sont les entiers naturels 0, 1,..., (b – 1). L'avantage de ces systèmes est que tout nombre entier relatif, donc signé, est représenté par une suite non signée d'entiers naturels[11]. Parmi les systèmes de ce type, on trouve notamment :

Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de notation dans ces systèmes.

Base
Décimal signé –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
Binaire signé –111 –110 –101 –100 –11 –10 –1 0 1 10 11 100 101 110 111
Négabinaire 1001 1110 1111 1100 1101 10 11 0 1 110 111 100 101 11010 11011
Ternaire signé –21 –20 –12 –11 –10 –2 –1 0 1 2 10 11 12 20 21
Négaternaire 1202 20 21 22 10 11 12 0 1 2 120 121 122 110 111

Dans un système à base entière négative, tout entier positif ou nul est représenté par une suite constituée d'un nombre impair de chiffres, et tout entier relatif strictement négatif par une suite constituée d'un nombre pair de chiffres.

Bases mixtes ou systèmes de Cantor[modifier | modifier le code]

Dans un système à bases mixtes, il y a plusieurs bases entières qui peuvent être différentes selon la position du chiffre dans la représentation d'un nombre[12]. Ces bases ont été formalisées et étudiées par le mathématicien Georg Cantor, notamment pour définir les conditions nécessaires pour qu'un tel système puisse représenter tous les entiers, et de façon unique[13]. Les systèmes usuels à base entière sont, dans cette approche, des cas particuliers de systèmes de Cantor dans lesquels la base ne varie pas selon la position du chiffre.

Un exemple courant d'utilisation d'un tel système est le décompte usuel du temps dans lequel on utilise quatre bases différentes : le jour (j), l'heure (h), la minute (min), et la seconde (s), dans une relation définie par 1j=24h, 1h=60min et 1min=60s. Les chiffres autorisés sont : pour les secondes 0, 1, 2..., 59 ; les chiffres autorisés en min sont les mêmes ; les chiffres autorisés en heures sont 0, 1,.., 23 ; pour les jours, tout entier naturel est un chiffre utilisable.

On peut donc écrire sans ambigüité, par exemple, que le record du monde du marathon est de 2h 1min 9s, et que celui du tour du monde à la voile en équipage est de 40j 23h 30min 30s.

Bases doubles[modifier | modifier le code]

Un système à base double utilise deux bases entières naturelles premières entre elles, p et q. Tout nombre entier naturel peut être décomposé sous la forme:


avec = 0 ou 1, et entiers positifs[14].
Si les chiffres peuvent aussi prendre la valeur -1, alors tout entier relatif peut être ainsi décomposé[15].

Contrairement à la décomposition en base unique entière, cette décomposition en base double n'est pas unique. Ainsi, dans la base (2, 3), souvent étudiée, on peut démontrer que le nombre dix a 5 décompositions différentes, ou encore que le nombre cent en a 402.

Développement décimal[modifier | modifier le code]

Le système de représentation par développement décimal est dérivé du système décimal naturel, en modifiant deux paramètres :

  • les puissances de la base peuvent être négatives, ce qui permet de représenter tous les nombres décimaux ;
  • la représentation d'un nombre peut avoir une infinité de chiffres, ce qui permet, avec la convention précédente relative aux puissances, de représenter tous les nombres réels positifs ou nuls[2].

Le développement décimal est le système de numération le plus utilisé, notamment en sciences, dès qu'il faut représenter des nombres réels quelconques[16].

Un nombre positif est décomposé, dans ce système, comme suit : , où les et sont des entiers naturels pouvant prendre, comme dans la numération décimale naturelle, les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Dans ce système, le nombre est représenté par la suite ordonnée, ponctuée d'une virgule, suivante[17] : .

Parties entière et fractionnaire d'un nombre[modifier | modifier le code]

Le nombre et sa représentation sont appelés partie entière de et notés ou .

Le nombre et sa représentation sont appelés partie fractionnaire (ou décimale) de et notés .

Notation d'un nombre décimal[modifier | modifier le code]

Le développement décimal d'un nombre décimal est constitué, à partir d'un certain rang derrière la virgule, d'une suite infinie de 0. Par convention, pour alléger l'écriture de tels nombres, il est admis de n'écrire que les chiffres derrière la virgule précédant cette suite infinie. Ainsi, le nombre 25/100 sera noté « 0,25 » et non pas « 0,25000... » : cette notation est donc constituée d'un nombre fini de chiffres non nuls.

Non unicité de représentation de certains nombres[modifier | modifier le code]

Le système de développement décimal ne permet pas de représenter de façon unique les nombres entiers ni les nombres décimaux. Cette particularité et les éventuelles difficultés de compréhension qu'elle provoque sont expliquées dans l'article développement décimal de l'unité. Ainsi, le nombre 1 peut être représenté de deux façons différentes : « 1,00000... » et « 0,999999... », ce qui conduit à l'égalité : 1=0,99999...... Et d'une façon générale, tout nombre entier ou décimal a deux représentations : et .

On admet usuellement qu'une seule de ces deux représentations est utilisée : celle se terminant par une suite infinie de 0 , qu'on note .

Développement en base entière[modifier | modifier le code]

Le développement en base décimale est un cas particulier de système de numération par développement en base entière b[2].

Le système par développement en base b est une extension du système naturel de base b dans laquelle les chiffres sont 0, 1, 2..., (b – 1) mais où les puissances de b peuvent être négatives et où la représentation d'un nombre a une longueur infinie. Pour toute base b > 1, un tel système permet de représenter tout nombre réel positif.

Les propriétés de ces systèmes de numération sont similaires à celles du développement décimal, en remplaçant « 9 » par « b – 1 ».

Ainsi, le nombre 1/2 en développement de base cinq est représenté par « 0,10000.... », et peut être écrit de façon condensée « 0,1 ». Et le nombre un, toujours en développement de base cinq, a deux représentations : « 1,0000... » et « 0,4444444... ».

Autres bases[modifier | modifier le code]

On peut définir des systèmes de numération à base réelle non entière, ou même à base complexe. Quelques exemples de ces bases sont indiqués ci-dessous, avec certaines de leurs caractéristiques, qui, comme dans les systèmes de bases entières, dépendent de la base choisie, mais aussi des choix faits quant aux chiffres, puissances et longueur de représentation (finie ou infinie) autorisés.

Base réelle non entière[modifier | modifier le code]

Lorsque la base b est un réel non entier, on parle alors de bêta-numération.

Base d'or[modifier | modifier le code]

La base d'or ou base φ est le système de numération utilisant le nombre d'or comme base avec les chiffres 0 et 1[18]. Tout nombre réel positif peut être représenté dans ce système de numération. On peut aussi démontrer que tout réel positif peut être représenté en interdisant que la suite « 11 » soit utilisée dans la représentation : une représentation respectant cette règle est dite standard. Cette dernière règle est liée au fait que  : si elle n'est pas stipulée, le nombre , par exemple, peut être représenté par « 11 » et par « 100 ». Certains nombres ont plusieurs représentations standards.

Base √2[modifier | modifier le code]

La base permet d'écrire tout entier en utilisant les chiffres 0 et 1. Une méthode facile pour le démontrer est de constater qu'on peut convertir un nombre écrit en binaire en base en insérant un chiffre nul entre deux chiffres binaires ; par exemple

191110 = 111011101112 = 101010001010100010101

et

511810 = 10011111111102 = 1000001010101010101010100.

Ceci implique que tout entier peut être écrit en base .

Cette base permet de décrire facilement certaines caractéristiques de polygones réguliers en fonction de la longueur des arêtes de ces polygones.

Exemple : un carré de côté 210 = 100 a une diagonale de longueur 2 = 1000 et une surface de 410 = 10000.

Base e[modifier | modifier le code]

La base e permet notamment de noter simplement, avec les chiffres 0 et 1, les puissances de e (e = 10e, e² = 100e, etc.) qui sont aussi les nombres dont le logarithme naturel est entier : ln(1e) = 0, ln(10e) = 1, ln(100e) = 2 et ln(1000e) = 3.

Base complexe[modifier | modifier le code]

La base b est, dans un tel système, un nombre imaginaire ou complexe. Par exemple, le système quater-imaginaire, qui utilise la base imaginaire avec ses puissances positives et négatives, permet de représenter tout nombre complexe en n'utilisant que les quatre chiffres 0, 1, 2 et 3[19].

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

  • Zéro s'écrit 0 dans toutes les bases admettant un chiffre représentant le nombre zéro[20].
  • Le nombre un s'écrit 1 dans toutes les bases, puisque, quelle que soit la base b, .
  • Toute base b s'écrit 10b, qui représente le nombre . Exemples : 102 = 2, 1016 = 16, 1060 = 60.
  • L'égalité «  » est vraie dans toutes les bases entières strictement supérieures à 2[21].
  • En base paire, un nombre est pair si et seulement s'il se termine par un chiffre pair. Exemples : en base dix un nombre est pair si et seulement s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; en base deux par 0 ; en base six par 0, 2 ou 4 ; en base seize par 0, 2, 4, 6, 8, A, C ou D.
  • Un nombre qui, en base seize, est représenté par une suite de chiffres 5 ou une suite de chiffres A a une représentation en base deux constituée d'une suite alternée de 1 et de 0.
Exemples : 55516 = 101010101012 et AAA16 = 1010101010102.
  • Pour plusieurs nombres s'écrivant de la même façon dans des bases naturelles différentes, le plus grand est celui dans la plus grande base, à condition que cette écriture ait plusieurs chiffres.
Exemples : 5716 (=8710) > 5710 > 578 (=4710) mais 716 = 710 = 78.
  • De même, il faut au moins autant de chiffres pour écrire tout nombre supérieur à b dans toute base inférieure à b que dans la base b.
Exemple : F424016 (5 chiffres) s'écrit aussi 1 000 00010 (7 chiffres), ou encore 1111 0100 0010 0100 00002 (20 chiffres). En revnache, 810 (1 chiffre)=89 (1 chiffre).
  • En base b, un nombre est divisible par b – 1 (resp. par un diviseur d de b – 1) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par b – 1 (resp. par d).
Exemple : un nombre écrit en base décimale est divisible par 9 (resp. 3) si la somme de ses chiffres est divisible par 9 (resp. 3).

Culture[modifier | modifier le code]

  • Boby Lapointe a imaginé un usage comique du système hexadécimal, qu'il a baptisé Système Bibi-binaire. Ce système présente l'avantage de rendre les nombres binaires faciles à prononcer et à mémoriser.
  • La RFC 1924[22] propose la base 85 pour la notation des adresses IPv6, mais ce n'est qu'un poisson d'avril.
  • Dans le jeu vidéo Portal, lors du combat final, GLaDOS annonce que 2 + 2 font 10, avant de se rattraper en complétant par « ... en base 4 ! tout va bien. »
  • Les Shadoks comptent en quaternaire.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les principales raisons de ce choix sont expliquées plus loin dans l'article.
  2. a b c d et e « Représentation des réels » [PDF], sur Alloschool (consulté le )
  3. Si on admettait que puisse être nul, alors tout nombre aurait une infinité de décompositions : par exemple en base 10 on pourrait décomposer le nombre 20 en , mais aussi en . Et si on acceptait, toujours en base 10, qu'un chiffre vaille par exemple 10, et en notant ce chiffre A, le nombre 20 pourrait se décomposer en , mais aussi en .
  4. Ces conditions sont suffisantes mais pas nécessaires pour assurer l'unicité de représentation. Les systèmes k-adiques sont également à base entière et ont cette propriété d'unicité avec des hypothèses différentes sur les chiffres et leur usage.
  5. Donald Knuth 1998, p. 195.
  6. Un chiffre n'est pas un nombre : c'est le symbole ou, autrement dit, la représentation graphique d'un nombre. Pour illustrer la différence entre chiffre et nombre, il suffit par exemple de comparer comment le nombre cinq s'écrit en chiffres romains (V), en chiffres indo-arabes (5) et en chiffres chinois (五). Une lettre peut donc être choisie pour être un chiffre.
  7. « Conversion en base n - Calculateur en ligne », sur www.123calculus.com (consulté le )
  8. « Nombres et calculs - Maths en Cp | Lumni », sur www.lumni.fr (consulté le )
  9. Une heure vaut 60 minutes et 1 minute vaut 60 secondes.
  10. Donald Knuth 1998, p. 207-208.
  11. Donald Knuth 1998, p. 204-205.
  12. Donald Knuth 1998, p. 209.
  13. (de) Georg Cantor, « Ueber die einfachen Zahlensysteme », Zeitschrift für Mathematik und Physik, vol. 14,‎ , p. 121-128 (lire en ligne).
  14. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.449.2226&rep=rep1&type=pdf
  15. http://www.ams.org/journals/mcom/2008-77-262/S0025-5718-07-02048-0/S0025-5718-07-02048-0.pdf
  16. « Les nombres décimaux », sur www.lumni.fr (consulté le )
  17. La virgule sert à séparer la partie gauche de la représentation, où se trouvent les chiffres ayant des poids correspondant à des puissances positives de la base, et la partie droite où les chiffres ont des poids correspondant à des puissances négatives de la base.
  18. George Bergman 1957.
  19. Donald Knuth 1998, p. 205-206.
  20. Dans toute cette partie, on admet, sauf mention explicite contraire, que les chiffres utilisés par un système de base b sont choisis en nombre nécessaire et suffisant dans l'ordre suivant : 0, 1, 2,..., 9, A, B,..., Y, Z, a, b,..., Z. On admet en outre que le chiffre 0, s'il est utilisé, représente le nombre zéro.
  21. Cette propriété est vraie également pour toutes les bases réelles autorisant le chiffre 2.
  22. RFC 1924.

Bibliographie[modifier | modifier le code]