في الرياضيات ، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين v → {\displaystyle {\vec {v}}} عند نقطة معينة x {\displaystyle x} معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه . لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي ، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية ، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة.
الترميز [ عدل ] لتكن f {\displaystyle f} دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة f {\displaystyle f} على طول متجه v → {\displaystyle {\vec {v}}} بأي مما يلي:
: ∇ v f ( x ) {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )} ، f v ′ ( x ) {\displaystyle f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )} ، D v f ( x ) {\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )} ، D f ( x ) ( v ) {\displaystyle Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )} ، ∂ v f ( x ) {\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )} ، v ⋅ ∇ f ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}} ، v ⋅ ∂ f ( x ) ∂ x . {\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.} التعريف [ عدل ] خط منسوب للدالة f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} ، يظهر متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة u {\displaystyle \mathbf {u} } تحجيم بواسطة مشتق الاتجاه على طول u {\displaystyle \mathbf {u} } باللون البرتقالي. يكون متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل لزيادة دالة. المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :
f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
على طول متجه :
v = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}
هو الدالة ∇ v f {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}} المُعرفة بالنهاية التالية:[1]
∇ v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}
إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في x {\displaystyle \mathbf {x} } ، فإن المشتق الإتجاهي موجود، ويُعبر عنه ب:
∇ v f ( x ) = ∇ f ( x ) ⋅ v {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }
بحيث ∇ {\displaystyle \nabla } ترمز إلى التدرج و ⋅ {\displaystyle \cdot } هو الجداء النقطي [2] ، وهذه القاعدة هي مجرد تطبيق لتعريف المشتق الإتجاهي :
0 = lim t → 0 f ( x + t v ) − f ( x ) − t D f ( x ) ( v ) t = lim t → 0 f ( x + t v ) − f ( x ) t − D f ( x ) ( v ) = ∇ v f ( x ) − D f ( x ) ( v ) ⟹ ∇ f ( x ) ⋅ v = D f ( x ) ( v ) = ∇ v f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tD_{f}(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-D_{f}(x)(v)=\nabla _{v}f(x)-D_{f}(x)(v)\\\implies &\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =D_{f}(x)(v)=\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\end{aligned}}}
خصائص [ عدل ] الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال f {\displaystyle f} و g {\displaystyle g} معرفة على مجالٍ، والقابلة للإشتقاق في p {\displaystyle p} ، فهي تستوفي الخصائص الآتية:[3]
قاعدة الجمع : ∇ v ( f + g ) = ∇ v f + ∇ v g . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}
2 . قاعدة العامل الثابت :
∇ v ( c f ) = c ∇ v f . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}
3 . قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس ) :
∇ v ( f g ) = g ∇ v f + f ∇ v g . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}
4 . قاعدة السلسلة ( إذا كانت h {\displaystyle h} قابلة للإشتقاق في g ( p ) {\displaystyle g(p)} و g {\displaystyle g} في p {\displaystyle p} ) :
∇ v ( h ∘ g ) ( p ) = h ′ ( g ( p ) ) ∇ v g ( p ) . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}
في الهندسة التفاضلية [ عدل ] المشتق العمودي [ عدل ] المشتق العمودي هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما[4] ، إذا كان هذا المتجه هو n → {\displaystyle {\vec {n}}} ، فيرمز للمشتق العمودي بالآتي :
∂ f ∂ n = ∇ f ( x ) ⋅ n = ∇ n f ( x ) = ∂ f ∂ x ⋅ n = D f ( x ) [ n ] . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}
انظر أيضا [ عدل ] المراجع [ عدل ] ^ Robert Wrede. Advanced Calculus (بالإنجليزية). Schaum's outlines. ^ If the dot product is undefined, the gradient is also undefined; however, for differentiable f , the directional derivative is still defined, and a similar relation exists with the exterior derivative. ^ "Directional Derivatives" . Paul's Online Notes . مؤرشف من الأصل في 2021-05-01. ^ Dr Peyam. "Normal Derivative" . Youtube . مؤرشف من الأصل في 2021-05-26.