قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب المثلثات
مفاهيم رئيسة التاريخ الاستعمالات الدّوال الدوال العكسية حساب مثلثات معممة حساب المثلثات الكروية
أدوات مرجعية المتطابقات القيم الدقيقة للثوابت الجداول دائرة الوحدة
قواعد وقوانين الجيوب جيوب التمام الظّلال ظلال التمام مبرهنة فيثاغورس
تفاضل وتكامل تعويضات مثلثية التكاملات تكاملات الدوال العكسية المشتقات
بوابة رياضيات
ع ن ت

هذه قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية.

الدوال التي تحتوي معكوس الجيب[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الجيب (جا⁻¹) = ${\displaystyle \arcsin }$

${\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=x\arcsin {\frac {x}{a}}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\arcsin x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\arcsin x\ dx\right)}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\arcsin x\ dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}}}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\ dx\right)}$

الدوال التي تحتوي معكوس جيب التمام[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس جيب التمام (جتا⁻¹) = ${\displaystyle \arccos }$

${\displaystyle \int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{a}}\ dx=x\arccos {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

الدوال التي تحتوي معكوس الظل[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الظل (ظا⁻¹) = ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle \int \arctan x\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int \arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx=x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{2}}\ln(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}})+C}$

${\displaystyle \int x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{3}}{3}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {ax^{2}}{6}}+{\frac {a^{3}}{6}}\ln({a^{2}+x^{2}})+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1}$

الدوال التي تحتوي معكوس ظل التمام[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس ظل التمام (ظتا⁻¹) = ${\displaystyle \operatorname {arccot} }$

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {a^{2}+x^{2}}{2}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax^{2}}{6}}-{\frac {a^{3}}{6}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1}$

الدوال التي تحتوي معكوس القاطع[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس القاطع (قا⁻¹) = ${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a|x|}}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}$

${\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\ dx\right)\right]\right)}$

الدوال التي تحتوي معكوس قاطع التمام[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس قاطع التمام (قتا⁻¹) = ${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{a}\ln {({\frac {x}{a}}({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+1))}+C}$

${\displaystyle \int x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+C}$

• بوابة تحليل رياضي