مثال لدالة ناعمة رتبتها C ∞ ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )} بحامل متراص درجة قابلية الاشتقاق [1] دالة معينة (بالإنجليزية : Differentiability Class ) وتعرف أيضا بنعومة الدالة (بالإنجليزية: Smoothness)، أو رتبة الانتظام في المراجع الفرنسية (Classe de régularité)[2] ، هي خاصية في التحليل الرياضي لوصف دوال تقبل اشتقاقات متتالية إلى رتبة معينة وتكون متصلة .[3]
الدالة التي تحقق هذه الخاصية (إلى ما لانهاية من الرتب) تسمى بالدالة الناعمة وفي المراجع الفرنسية بالدالة الملساء أو المنتظمة .
تعريف [ عدل ] باعتبار مجال J ⊂ R {\displaystyle J\subset \mathbb {R} } وعدد صحيح k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} ، تعرف فضاءات الدوال التالية:
C 0 ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J,\mathbb {R} )} : مجموعة الدوال المتصلة من J {\displaystyle J} نحو R {\displaystyle \mathbb {R} } . D k ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )} : مجموعة الدوال من J {\displaystyle J} نحو R {\displaystyle \mathbb {R} } القابلة للاشتقاق حتى الرتبة k {\displaystyle k} . C k ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )} : جزء D k ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )} المكون من الدوال القابلة للاشتقاق حتى الرتبة k {\displaystyle k} ومشتقاتها من هذه الرتبة متصلة. C ∞ ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )} (وهي تكافئ D ∞ ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )} ): مجموعة الدوال من J {\displaystyle J} نحو R {\displaystyle \mathbb {R} } القابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية، وهي تعرف بالدوال الملساء أو المنتظمة. كل مجموعة من هذه المجموعات جبر على حقل وهي بالتالي فضاءات متجهية على R {\displaystyle \mathbb {R} } .
بما أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال فإن هذه المجموعات تحقق تراتبية التضمين التالية:
C 0 ( J ) ⊃ D 1 ( J ) ⊃ C 1 ( J ) ⊃ D 2 ( J ) ⊃ C 2 ( J ) ⊃ ⋯ ⊃ D k ( J ) ⊃ C k ( J ) ⊃ ⋯ ⊃ C ∞ ( J ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J)\supset {\mathcal {D}}^{1}(J)\supset {\mathcal {C}}^{1}(J)\supset {\mathcal {D}}^{2}(J)\supset {\mathcal {C}}^{2}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{\infty }(J)} حالة الدوال المتعددة التعريف [ عدل ] في حالة الدوال المتعددة التعريف ، تعرف المجموعات التالية:
C I 0 ( J ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{0}(J)} : مجموعة الدوال المتعددة التعريف. C I k ( J ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)} : جزء D k ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )} المكون من دوال تكون مشتقاتها من الرتبة k {\displaystyle k} متصلة على قطع. C 0 k ( J ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J)} : جزء من C k ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )} مكون من الدوال ذوات الحوامل المتراصة ضمن مجموعة مفتوحة في J {\displaystyle J} . C 0 ∞ ( J ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(J)} : جزء من C ∞ ( J , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )} مكون من الدوال ذوات الحوامل المتراصة ضمن مجموعة مفتوحة في J {\displaystyle J} . هذه المجموعات تحقق تراتبية التضمين التالية:
D k ( J ) ⊃ C I k ( J ) ⊃ C k ( J ) ⊃ C 0 k ( J ) . {\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J).} أمثلة [ عدل ] الدالة مقلوب هي دالة ناعمة لأن لها عدد غير منته من المشتقات .[4]
f ( x ) = ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{x}}\right)}
f ′ ( x ) = ( − 1 x 2 ) {\displaystyle f'(x)=\left({\frac {-1}{x^{2}}}\right)}
f ″ ( x ) = ( 2 x 3 ) {\displaystyle f''(x)=\left({\frac {2}{x^{3}}}\right)}
ثم تستمر المشتقات إلى + ∞ {\displaystyle +\infty }
مراجع [ عدل ] 1- Classe de régularité