鳶形二十四面體

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鳶形二十四面體
鳶形二十四面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 卡塔蘭立體
24
48
頂點 26
歐拉特徵數 F=24, E=48, V=26 (χ=2)
面的種類
DU10 facets.png

鳶形
面的佈局英语Face configuration V3.4.4.4
頂點圖 V3.4.4.4
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
康威表示法 oC
deC
對稱群 Oh, BC3, [4,3], *432
對偶 小斜方截半立方体
旋轉對稱群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
二面角 138°07′05″
arccos(−7 + 42/17)
特性 , 面可遞
立體圖 DU10 facets.png
V3.4.4.4
頂點圖
Rhombicuboctahedron.jpg
小斜方截半立方体
(對偶多面體)
Deltoidalicositetrahedron net.png
(展開圖)

幾何學中,鳶形二十四面體(亦稱為四角化二十四面體[2]梯形二十四面體[3][4])是一種卡塔蘭立體,由24個鳶形組成,其對偶多面體小斜方截半立方体[4]

性質[编辑]

鳶形二十四面體由24個、48條、26個頂點組成[5],其中24個面為24個全等的鳶形、48條邊中有24條等長的長邊和24條等長的短邊、26個頂點中有8個頂點是3個鳶形的公共頂點,對應的頂角是三面角;以及6個頂點是4個鳶形的公共頂點,對應的頂角是四面角;剩下的12個頂點也是4個鳶形的公共頂點,對應的頂角也是四面角,但角度與前者不同[6]。它的對偶多面體小斜方截半立方體

面的組成[编辑]

鳶形二十四面體由24個全等箏形(亦稱為鳶形)所組成[7]

DU10 facets.png

該箏形或鳶形的長短邊長比為1:(2 − 1/2) ≈ 1:1.292893...[8],有3個角等角,其角度分別為(115.26°,81.58°,81.58°,81.58°)[8]

體積與表面積[编辑]

一個最短邊邊長為a的鳶形二十四面體,其表面積A、體積是V為[9]

頂點坐標[编辑]

若其對偶多面體的小斜方截半立方体邊長為單位長,則對應的幾何中心位於原點的鳶形二十四面體,頂點坐標為[10]

正交投影[编辑]

鳶形二十四面體有三種從頂點投影的高對稱性正交投影。後兩者的對偶圖其對稱性對應於B2和A2考克斯特平面英语Coxeter plane[11][12]

正交投影
投影對稱性 [2] [4] [6]
圖像 Dual cube t02 f4b.png Dual cube t02 B2.png Dual cube t02.png
對偶圖像 Cube t02 f4b.png 3-cube t02 B2.svg 3-cube t02.svg

使用[编辑]

在文化中,鳶形二十四面體出現在部分藝術創作中,例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作《星星》以及马兰·布洛克荷兰语Maree_Blok的裝置藝術《永恆的水》。此外,亦有部份24個面的多面體骰子被設計為鳶形二十四面體的外型,其他常見的24面骰子有三角化八面體四角化六面體偽鳶形二十四面體英语Pseudo-deltoidal icositetrahedron偏方二十四面體五角化二十四面體等形狀[13]

化學中,部分物質的結晶形狀是鳶形二十四面體。例如,在自然界中,方沸石石榴石的晶體結構就是鳶形二十四面體,部分實驗中制備的氧化铟奈米晶體亦是這種形狀[14]。在礦物學中,這種晶體形狀稱為偏方面體(英語:Trapezohedron)[15][16][17],但在幾何學中偏方面體則有其他含意[18],表示反柱體的對偶多面體[19][20]。 此外在某些情況下會結晶出較不規則的鳶形二十四面體,其在結晶學中稱為偏方二十四面體(英語:diplohedron)[21][22][23]

相關多面體與鑲嵌[编辑]

投影到球面的鳶形二十四面體

若將鳶形二十四面體投影到球面上,如右圖所示,則其邊會與複合八面體立方體(立方體和其對偶——正八面體在空間中互相重疊組合成的結構)投影到球面上的果共用相同的稜[24]

Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png
鳶形二十四面體
Polyhedron pair 6-8.png
複合八面體立方體與左圖同一個角度

鳶形二十四面體是小斜方截半立方体的對偶多面體,而小斜方截半立方体可以經由立方體或正八面體透過擴展變換來構造[25]。其他可以由立方體或正八面體透過康威變換構造的立體及其對偶有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
*變異的n42對稱性對偶擴展鑲嵌系列:V3.4.n.4
對稱性
*n32英语Orbifold notation
[n,3]英语Coxeter notation
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
圖像
面佈局英语Face configuration
Spherical trigonal bipyramid.png
V3.4.2.4
Spherical rhombic dodecahedron.png
V3.4.3.4
Spherical deltoidal icositetrahedron.png
V3.4.4.4
Spherical deltoidal hexecontahedron.png
V3.4.5.4
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
V3.4.6.4
Deltoidal triheptagonal til.png
V3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling
Deltoidal trioctagonal til.png
V3.4.8.4
Deltoidal triapeirogonal til.png
V3.4.∞.4
對偶
頂點佈局英语Vertex configuration
Spherical triangular prism.png
3.4.2.4
Uniform tiling 432-t1.png
3.4.3.4
Uniform tiling 432-t02.png
3.4.4.4
Uniform tiling 532-t02.png
3.4.5.4
Rhombitrihexagonal tiling uniform coloring.png
3.4.6.4
H2 tiling 237-5.png
3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling
H2 tiling 238-5.png
3.4.8.4
H2 tiling 23i-5.png
3.4.∞.4

偏方二十四面體[编辑]

晶體學中的偏方二十四面體。

偏方二十四面體為鳶形二十四面體的一種變體,其拓樸結構與鳶形二十四面體等價。鳶形二十四面體與偏方二十四面體的拓樸結構皆與立方體每個面的正方形用兩條垂直線分成四個小正方形的結果等價。其可以投影到正八面體上並將每個三角形面分成3個鳶形。 在晶体学中,透過旋轉其三面角所形成的變體稱為dyakis dodecahedron[26][27]diploid[28],然而這些變體在中文文獻中皆被稱為偏方二十四面體[23]

八面體群英语Octahedral symmetry, Oh, 24階 五角十二面體群英语Pyritohedral symmetry, Th, 12階
Partial cubic honeycomb.png Deltoidal icositetrahedron octahedral.png Deltoidal icositetrahedron octahedral gyro.png Deltoidal icositetrahedron gyro.png Deltoidal icositetrahedron concave-gyro.png

鳶形二十四面體圖[编辑]

圖論的數學領域中,與鳶形二十四面體相關的圖為鳶形二十四面體圖(Disdyakis Dodecahedral Graph),是鳶形二十四面體之邊與頂點的圖英语1-skeleton[29],是一個阿基米德對偶圖[30]

性質[编辑]

鳶形二十四面體圖有48條邊和26個頂點,其中為3的頂點有8個、度為4的頂點有18個。[29]

特徵多項式[29]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)
  1. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 286, tetragonal icosikaitetrahedron)
  2. ^ Conway, Symmetries of things[1], p.284-286
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  9. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002: p.700. ISBN 9781420035223. 
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  16. ^ Muhammad Talha Butt, Mineral Habits, Bahria university, 2009-05-18 
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  18. ^ Weisstein, Eric W. Trapezohedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource. 
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  20. ^ Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms。
  21. ^ Alain Darbellay. A study of MADAGASCAR GARNET. gggems.com. [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-08). 
  22. ^ Muhammad Talha Butt, Mineral Habits, Bahria university, 2009-05-18 
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  27. ^ Jaap Bax. The Isometric Crystal System. metafysica.nl. 2001-11-26 [2019-09-02]. (原始内容存档于2018-11-29). 
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  29. ^ 29.0 29.1 29.2 Weisstein, Eric W. Deltoidal Icositetrahedral Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  30. ^ Weisstein, Eric W. Archimedean Dual Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05). 

外部連結[编辑]



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