部分分式积分法 系列條目微积分学 函数 极限论 微分学 积分 微积分基本定理 微积分发现权之争(英语:Leibniz–Newton calculus controversy) 基础概念(含极限论和级数论) 實數性質 函数 · 单调性 · 初等函数 · 數列 · 极限 · 实数的构造(1=0.999…) · 无穷(銜尾蛇) · 無窮小量 · ε-δ語言 · 实无穷(英语:Actual infinity) · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函數極限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 連續函數 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 · 紧集 · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐標系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数(英语:convergent series) · 几何级数 · 调和级数 · 項測試 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数(英语:function series) · 一致收斂 · 迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性(英语:linearity of differentiation) · 导数(流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号(英语:Leibniz's_notation) · 幽灵似的消失量) · 介值定理 · 中值定理(罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理) · 泰勒公式 · 求导法则(乘积法则 · 广义莱布尼茨定则(英语:General Leibniz rule) · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则) · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式(英语:Faà di Bruno's formula) · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用(单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测(英语:derivative test) · 凸函數 · 凹函數 · 簡森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值) · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数 一元积分 积分表 定义 不定积分 定积分 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 积分的线性 求积分的技巧(换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法) 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · 微积分基本定理 · 反常積分 · 柯西主值 · 積分函數(Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分) · 數值積分(矩形法 · 梯形公式 · 辛普森積分法 · 牛顿-寇次公式) · 积分判别法 · 傅里叶级数(狄利克雷定理 · 周期延拓) · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理 多元微积分 偏导数 · 隐函数 · 全微分(微分的形式不变性) · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度(Nabla算子) · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩陣 · 鞍點 · 多重积分(逐次积分 · 积分顺序(英语:Order of integration (calculus))) · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分(高斯积分) · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分(施瓦茨的靴(俄语:Сапог Шварца)) · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · 格林公式 · 高斯散度定理 · 斯托克斯定理及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则(英语:Leibniz integral rule)) · 多变量原函数的存在性(全微分方程) · 外微分的映射原像存在性(恰当形式) · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广(英语:generalizations of the derivative)(加托导数 · 弗雷歇导数 · 矩阵的微积分(英语:matrix calculus)) · 弱微分 微分方程 常微分方程 · 柯西-利普希茨定理 · 皮亚诺存在性定理 · 分离变数法 · 级数展开法 · 积分因子 · 拉普拉斯算子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 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12 x + 20 x 3 − 8 d x {\displaystyle \int {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}\,dx} 时,需要先将它拆分为部分分式: 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 = 10 x 2 + 12 x + 20 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = A x − 2 + B x + C x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}} 通分得到: 10 x 2 + 12 x + 20 = A ( x 2 + 2 x + 4 ) + ( B x + C ) ( x − 2 ) {\displaystyle 10x^{2}+12x+20=A(x^{2}+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,} 整理,原式变为: 10 x 2 + 12 x + 20 = ( A + B ) x 2 + ( 2 A − 2 B + C ) x + ( 4 A − 2 C ) {\displaystyle 10x^{2}+12x+20=(A+B)x^{2}+(2A-2B+C)x+(4A-2C)\,} 因此, A + B = 10 {\displaystyle A+B=10\,} 2 A − 2 B + C = 12 {\displaystyle 2A-2B+C=12\,} 4 A − 2 C = 20 {\displaystyle 4A-2C=20\,} 解方程组,得到: A = 7 {\displaystyle A=7\,} B = 3 {\displaystyle B=3\,} C = 4 {\displaystyle C=4\,} 所以: 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 = 7 x − 2 + 3 x + 4 x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}} 即: ∫ 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 d x = ∫ ( 7 x − 2 + 3 x + 4 x 2 + 2 x + 4 ) d x = ∫ 7 x − 2 d x + ∫ 3 x + 4 x 2 + 2 x + 4 d x {\displaystyle \int {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}\,dx=\int ({7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4})\,dx=\int {7 \over x-2}\,dx+\int {3x+4 \over x^{2}+2x+4}\,dx} 利用换元积分法,将 x − 2 {\displaystyle x-2\,} 与 x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle x^{2}+2x+4\,} 分别换元,便得到结果: ∫ 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 d x {\displaystyle \int {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}\,dx} = 7 ln | x − 2 | + ∫ 3 2 ( 2 x + 2 ) + 1 x 2 + 2 x + 4 d x {\displaystyle =7\ln |x-2|+\int {{{\frac {3}{2}}(2x+2)+1} \over x^{2}+2x+4}\,dx} = 7 ln | x − 2 | + 3 2 ∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 4 d x + ∫ 1 ( x + 1 ) 2 + 3 d x {\displaystyle =7\ln |x-2|+{\frac {3}{2}}\int {2x+2 \over x^{2}+2x+4}\,dx+\int {1 \over (x+1)^{2}+3}\,dx} = 7 ln | x − 2 | + 3 2 ln | x 2 + 2 x + 4 | + 1 3 arctan ( x + 1 3 ) + C {\displaystyle =7\ln |x-2|+{\frac {3}{2}}\ln |x^{2}+2x+4|+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan({x+1 \over {\sqrt {3}}})+C} 外部链接[编辑] 拆分为部分分式 (页面存档备份,存于互联网档案馆) 在线积分器 (页面存档备份,存于互联网档案馆)