超几何分布 超几何分布 概率质量函數 累積分布函數参数 N ∈ { 0 , 1 , 2 , … } K ∈ { 0 , 1 , 2 , … , N } n ∈ { 0 , 1 , 2 , … , N } {\displaystyle {\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}} 值域 k ∈ { max ( 0 , n + K − N ) , … , min ( n , K ) } {\displaystyle k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}} 概率质量函数 ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) {\displaystyle {{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}} 累積分布函數 1 − ( n k + 1 ) ( N − n K − k − 1 ) ( N K ) 3 F 2 [ 1 , k + 1 − K , k + 1 − n k + 2 , N + k + 2 − K − n ; 1 ] {\displaystyle 1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right]} 其中 p F q {\displaystyle \,_{p}F_{q}} 為廣義超幾何函數期望值 n K N {\displaystyle n{K \over N}} 眾數 ⌈ ( n + 1 ) ( K + 1 ) N + 2 ⌉ − 1 {\displaystyle \left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1} , ⌊ ( n + 1 ) ( K + 1 ) N + 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor } 方差 n K N ( N − K ) N N − n N − 1 {\displaystyle n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}} 偏度 ( N − 2 K ) ( N − 1 ) 1 2 ( N − 2 n ) [ n K ( N − K ) ( N − n ) ] 1 2 ( N − 2 ) {\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}} 峰度 1 n K ( N − K ) ( N − n ) ( N − 2 ) ( N − 3 ) ⋅ {\displaystyle \left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.} [ ( N − 1 ) N 2 ( N ( N + 1 ) − 6 K ( N − K ) − 6 n ( N − n ) ) + {\displaystyle {\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}} + 6 n K ( N − K ) ( N − n ) ( 5 N − 6 ) ] {\displaystyle {}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}} 矩生成函数 ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}{_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}} 特徵函数 ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e i t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}{\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}} 超幾何分布(Hypergeometric distribution)是統計學上一种離散機率分布。它描述了由有限個物件中抽出 n {\displaystyle n} 個物件,成功抽出 k {\displaystyle k} 次指定種類的物件的概率(抽出不放回 (without replacement))。 例如在有 N {\displaystyle N} 個樣本,其中 K {\displaystyle K} 個是不及格的。超幾何分布描述了在該 N {\displaystyle N} 个样本中抽出 n {\displaystyle n} 個,其中 k {\displaystyle k} 個是不及格的個數: f ( k ; n , K , N ) = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) {\displaystyle f(k;n,K,N)={{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}} 上式可如此理解: ( N n ) {\displaystyle {\tbinom {N}{n}}} 表示所有在 N {\displaystyle N} 个样本中抽出 n {\displaystyle n} 个的方法数目。 ( K k ) {\displaystyle {\tbinom {K}{k}}} 表示在 K {\displaystyle K} 个样本中,抽出 k {\displaystyle k} 個的方法數目,即组合数,又稱二項式係數。剩下來的樣本都是及格的,而及格的樣本有 N − K {\displaystyle N-K} 个,剩下的抽法便有 ( N − K n − k ) {\displaystyle {\tbinom {N-K}{n-k}}} 若 n = 1 {\displaystyle n=1} ,超幾何分布退化為伯努利分布。 记号[编辑] 若随机变量 X {\displaystyle X} 服从参数为 n , K , N {\displaystyle n,K,N} 的超几何分布,则记为 X ∼ H ( n , K , N ) {\displaystyle X\sim H(n,K,N)} 。 參見[编辑] 幾何分布 二項式分布 查论编常见一元(英语:Univariate distribution)概率分布连续 Β 柯西 χ² 指数 F Γ 拉普拉斯 对数正态 正态 帕累托 学生t 均匀 韦伯 离散 伯努利 二项 离散均匀 几何 超几何 负二项 泊松 概率分布列表(英语:List of probability distributions) 查论编概率分布(列表(英语:List of probability distributions))離散單變量有限支集 本福特定律 伯努利分布 Β-二项式分布 二項式分布 categorical(英语:categorical distribution) 超几何分布 negative(英语:Negative hypergeometric distribution) Poisson binomial(英语:Poisson binomial distribution) Rademacher(英语:Rademacher distribution) 孤子分布 離散型均勻分佈 齊夫定律 Zipf–Mandelbrot(英语:Zipf–Mandelbrot law) 無限支集 beta negative binomial(英语:beta negative binomial distribution) Borel(英语:Borel distribution) Conway–Maxwell–Poisson(英语:Conway–Maxwell–Poisson distribution) discrete phase-type(英语:Discrete phase-type distribution) Delaporte(英语:Delaporte distribution) extended negative binomial(英语:extended negative binomial distribution) Flory–Schulz(英语:Flory–Schulz distribution) Gauss–Kuzmin(英语:Gauss–Kuzmin distribution) 幾何分佈 对数分布 mixed Poisson(英语:mixed Poisson distribution) 负二项分布 Panjer(英语:(a,b,0) class of distributions) parabolic fractal(英语:parabolic fractal distribution) 卜瓦松分布 Skellam(英语:Skellam distribution) Yule–Simon(英语:Yule–Simon distribution) zeta(英语:zeta distribution) 連續單變量紧支集 arcsine(英语:Arcsine distribution) ARGUS(英语:ARGUS distribution) Balding–Nichols(英语:Balding–Nichols model) Bates(英语:Bates distribution) Β分布 beta rectangular(英语:Beta rectangular distribution) continuous Bernoulli(英语:Continuous Bernoulli distribution) 歐文–賀爾分佈 Kumaraswamy(英语:Kumaraswamy distribution) logit-normal(英语:Logit-normal distribution) noncentral beta(英语:Noncentral beta distribution) PERT(英语:PERT distribution) raised cosine(英语:Raised cosine distribution) reciprocal(英语:Reciprocal distribution) 三角形分布 U-quadratic(英语:U-quadratic distribution) 連續型均勻分布 維格納半圓分布 半無限區間支集 Benini(英语:Benini distribution) Benktander 1st kind(英语:Benktander type I distribution) Benktander 2nd kind(英语:Benktander type II distribution) beta prime(英语:Beta prime distribution) Burr(英语:Burr distribution) chi(英语:chi distribution) 卡方分佈 noncentral(英语:Noncentral chi-squared distribution) inverse(英语:Inverse-chi-squared distribution) scaled(英语:Scaled inverse chi-squared distribution) Dagum(英语:Dagum distribution) Davis(英语:Davis distribution) 爱尔朗分布 hyper(英语:Hyper-Erlang distribution) 指数分布 亚指数分布 logarithmic(英语:Exponential-logarithmic distribution) F-分布 noncentral(英语:Noncentral F-distribution) folded normal(英语:folded normal distribution) Fréchet(英语:Fréchet distribution) 伽玛分布 generalized(英语:Generalized gamma distribution) inverse(英语:Inverse-gamma distribution) gamma/Gompertz(英语:Gamma/Gompertz distribution) Gompertz(英语:Gompertz distribution) shifted(英语:shifted Gompertz distribution) half-logistic(英语:Half-logistic distribution) half-normal(英语:half-normal distribution) Hotelling's T-squared(英语:Hotelling's T-squared distribution) 逆高斯分布 广义逆高斯分布 柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验 Lévy(英语:Lévy distribution) log-Cauchy(英语:log-Cauchy distribution) log-Laplace(英语:log-Laplace distribution) log-logistic(英语:log-logistic distribution) 对数正态分布 log-t(英语:log-t distribution) Lomax(英语:Lomax distribution) matrix-exponential(英语:matrix-exponential distribution) 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 Maxwell–Jüttner(英语:Maxwell–Jüttner distribution) Mittag-Leffler(英语:Mittag-Leffler distribution) Nakagami(英语:Nakagami distribution) 帕累托分布 phase-type(英语:Phase-type distribution) Poly-Weibull(英语:Poly-Weibull distribution) 瑞利分布 relativistic Breit–Wigner(英语:Relativistic Breit–Wigner distribution) 莱斯分布 truncated normal(英语:truncated normal distribution) type-2 Gumbel(英语:type-2 Gumbel distribution) 韦伯分布 discrete(英语:discrete Weibull distribution) Wilks's lambda(英语:Wilks's lambda distribution) 无限区间支集 柯西分布 exponential power(英语:Generalized normal distribution) 費雪z分佈 Kaniadakis κ-Gaussian(英语:Kaniadakis Gaussian distribution) Gaussian q(英语:Gaussian q-distribution) generalized normal(英语:Generalized normal distribution) generalized hyperbolic(英语:Generalised hyperbolic distribution) geometric stable(英语:geometric stable distribution) 耿贝尔分布 Holtsmark(英语:Holtsmark distribution) hyperbolic secant(英语:hyperbolic secant distribution) Johnson's SU(英语:Johnson's SU-distribution) 朗道分布 拉普拉斯分布 asymmetric(英语:Asymmetric Laplace distribution) logistic(英语:logistic distribution) noncentral t(英语:Noncentral t-distribution) 正态分布 normal-inverse Gaussian(英语:normal-inverse Gaussian distribution) skew normal(英语:Skew normal distribution) slash(英语:Slash distribution) 稳定分布 司徒頓t分布 Tracy–Widom(英语:Tracy–Widom distribution) variance-gamma(英语:Variance-gamma distribution) 福格特函数 可变类型支集 generalized chi-squared(英语:Generalized chi-squared distribution) generalized extreme value(英语:generalized extreme value distribution) generalized Pareto(英语:Generalized Pareto distribution) Marchenko–Pastur(英语:Marchenko–Pastur distribution) Kaniadakis κ-exponential(英语:Kaniadakis Exponential distribution) Kaniadakis κ-Gamma(英语:Kaniadakis Gamma distribution) Kaniadakis κ-Weibull(英语:Kaniadakis Weibull distribution) Kaniadakis κ-Logistic(英语:Kaniadakis Logistic distribution) Kaniadakis κ-Erlangl(英语:Kaniadakis Erlang distribution) q-exponential(英语:q-exponential distribution) q-Gaussian(英语:q-Gaussian distribution) q-Weibull(英语:q-Weibull distribution) shifted log-logistic(英语:Shifted log-logistic distribution) Tukey lambda(英语:Tukey lambda distribution) 混合單變量連續離散 修正高斯分佈(英语:Rectified Gaussian distribution) 联合分布 Discrete: Ewens(英语:Ewens's sampling formula) multinomial(英语:multinomial distribution) Dirichlet(英语:Dirichlet-multinomial distribution) negative(英语:negative multinomial distribution) Continuous: 狄利克雷分布 generalized(英语:Generalized Dirichlet distribution) multivariate Laplace(英语:Multivariate Laplace distribution) 多元正态分布 multivariate stable(英语:Multivariate stable distribution) multivariate t(英语:Multivariate t-distribution) normal-gamma(英语:normal-gamma distribution) inverse(英语:Normal-inverse-gamma distribution) 随机矩阵 LKJ(英语:Lewandowski-Kurowicka-Joe distribution) 矩阵正态分布 matrix t(英语:matrix t-distribution) matrix gamma(英语:matrix gamma distribution) inverse matrix gamma(英语:inverse matrix gamma distribution) 威沙特分佈 normal(英语:normal-Wishart distribution) 逆威沙特分佈 normal-inverse(英语:normal-inverse-Wishart distribution) 定向統計(英语:Directional statistics) 循環單變量定向統計(英语:Directional statistics) 圆均匀分布 univariate von Mises(英语:von Mises distribution) wrapped normal(英语:Wrapped normal distribution) wrapped Cauchy(英语:Wrapped Cauchy distribution) wrapped exponential(英语:Wrapped exponential distribution) wrapped asymmetric Laplace(英语:Wrapped asymmetric Laplace distribution) wrapped Lévy(英语:Wrapped Lévy distribution) 球形雙變量 Kent(英语:Kent distribution) 環形雙變量 bivariate von Mises(英语:bivariate von Mises distribution) 多變量 von Mises–Fisher(英语:Von Mises–Fisher distribution) Bingham(英语:Bingham distribution) 退化分布和奇異分佈(英语:Singular distribution) 退化 狄拉克δ函数 奇異 康托尔分布 其它 Circular(英语:Circular distribution) 复合泊松分布 elliptical(英语:Elliptical distribution) exponential(英语:Exponential family) natural exponential(英语:Natural exponential family) location–scale(英语:location–scale family) Maximum entropy(英语:Maximum entropy probability distribution) Mixture(英语:Mixture distribution) Pearson(英语:Pearson distribution) Tweedie(英语:Tweedie distribution) Wrapped(英语:Wrapped distribution) 分类 维基共享