前几个狄利克雷核的限制于一个周期 [ − L , L ] , L = π {\displaystyle [-L,L],~L=\pi } 的绘图,展示了它们收敛于狄拉克采样函数 中的一个狄拉克δ函数 前几个狄利克雷核的限制于一个周期( 2 π {\displaystyle 2\pi } )的绘图 在数学分析 中,狄利克雷核 得名自約翰·彼得·狄利克雷 ,它是指函数 列:
D n ( x ) = ∑ k = − n n e i k x = 1 + 2 ∑ k = 1 n cos ( k x ) = sin ( ( n + 1 2 ) x ) sin ( x / 2 ) . {\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.} 这里的n 是任何非负整数 。这个核函数的周期是 2 π {\displaystyle 2\pi } 。
狄利克雷核的主要应用是在傅里叶级数 中。Dn (x ) 与任何以2π 为周期 的函数f 的卷积 ,是f 的第n 阶傅里叶级数逼近,也就是说:
( D n ∗ f ) ( x ) = ∫ − π π f ( y ) D n ( x − y ) d y = ∫ − π π f ( y ) ( ∑ k = − n n e i k ( x − y ) ) d y = ∫ − π π ( ∑ k = − n n f ( y ) e − i k y ) e i k x d y = 2 π ∑ k = − n n f ^ ( k ) e i k x {\displaystyle {\begin{aligned}(D_{n}*f)(x)&=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)\left(\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-y)}\right)\,dy=\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{k=-n}^{n}f(y)e^{-iky}\right)e^{ikx}\,dy\\&=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}\end{aligned}}} 其中
f ^ ( k ) = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx} 是 f {\displaystyle f} 的第 k {\displaystyle k} 个傅里叶系数。需要特别注意,在傅里叶级数上下文中采用的卷积定义,有时会加上了特有的系数 1 2 π {\textstyle {\frac {1}{2\pi }}} ,从而将上式表达为:
( D n ∗ f ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π f ( y ) D n ( x − y ) d y = ∑ k = − n n f ^ ( k ) e i k x {\displaystyle (D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}} 核的L1 范数 [ 编辑 ] 为了研究傅里叶级数的收敛性质,只需研究相应的狄利克雷核的性质。狄利克雷核的一个重要特征,是当n 趋于正无穷 时,Dn 的L 1 范数 也趋于正无穷,并且有:
‖ D n ‖ L 1 = Ω ( log n ) {\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n)} 狄利克雷核的缺乏一致收敛 性质,是导致很多傅里叶级数发散的原因。比如,运用狄利克雷核与一致有界原理 ,可以证明连续函数的傅里叶级数甚至不一定逐点收敛 。参见傅里叶级数的收敛 。
与周期狄拉克δ函数的关系 [ 编辑 ] 狄利克雷核是一个周期函数,它在极限情况下会变成像梳子一样的狄拉克采样函数 ,即周期狄拉克δ函数 :
∑ m = − ∞ ∞ e ± i ω m T = 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k / T ) = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ξ − k / T ) {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k/T)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k/T)} 它采用了角频率 ω = 2 π ξ {\displaystyle \omega =2\pi \xi } 。
这可以从狄利克雷核在正向和逆向的傅里叶变换 下保持自共轭性中推导出来:
F [ D n ( 2 π x ) ] ( ξ ) = F − 1 [ D n ( 2 π x ) ] ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ D n ( 2 π x ) e ± i 2 π ξ x d x = ∑ k = − n + n δ ( ξ − k ) ≡ c o m b n ( ξ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \mathrm {comb} _{n}(\xi )} F [ c o m b n ] ( x ) = F − 1 [ c o m b n ] ( x ) = ∫ − ∞ ∞ c o m b n ( ξ ) e ± i 2 π ξ x d ξ = D n ( 2 π x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}d\xi =D_{n}(2\pi x)} 而 c o m b n ( x ) {\displaystyle \mathrm {comb} _{n}(x)} 在 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } 时成为了周期 T = 1 {\displaystyle T=1} 的狄拉克采样函数 Ш {\displaystyle \,\operatorname {\text{Ш}} } ,它在傅里叶变换下保持不变: F [ Ш ] = Ш {\textstyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} } 。因此 D n ( 2 π x ) {\displaystyle D_{n}(2\pi x)} 在 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } 时也必定收敛为 Ш {\displaystyle \,\operatorname {\text{Ш}} } 。
从另一个角度来说,狄拉克δ函数 并不是严格意义上的函数,而更普遍的说是一个“广义函数 ”,或者说“分布”。将∆(x)视为是周期为2π的卷积 运算的单位元 ,即对于2π为周期的函数f ,有:
f ∗ ( Δ ) = f {\displaystyle f*(\Delta )=f} 这个“函数”的傅立叶级数 为:
Δ ( x ) ∼ ∑ k = − ∞ ∞ e i k x = ( 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ cos ( k x ) ) . {\displaystyle \Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).} 于是,作为此级数的一个部分和,狄利克雷核可以看作“逼近单位元 ”。然而,它甚至不是“正元素”的逼近单位元,因此会有逐点收敛失败的情况。
三角恒等式的证明 [ 编辑 ] 上文中的三角恒等式
∑ k = − n n e i k x = sin ( ( n + 1 2 ) x ) sin ( x / 2 ) {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}} 可以用等比数列 的求和公式得到:首先
∑ k = 0 n a r k = a 1 − r n + 1 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.} 因此有:
∑ k = − n n r k = r − n ⋅ 1 − r 2 n + 1 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.} 在式中将分子和分母各乘 r −1/2 ,便有:
r − n − 1 / 2 r − 1 / 2 ⋅ 1 − r 2 n + 1 1 − r = r − n − 1 / 2 − r n + 1 / 2 r − 1 / 2 − r 1 / 2 . {\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.} 当r = e ix 时就有:
∑ k = − n n e i k x = e − ( n + 1 / 2 ) i x − e ( n + 1 / 2 ) i x e − i x / 2 − e i x / 2 = − 2 i sin ( ( n + 1 / 2 ) x ) − 2 i sin ( x / 2 ) {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}} 等式当 e i x ≠ 1 {\displaystyle e^{ix}\neq 1} 时,即对于不是 2 π {\displaystyle 2\pi } 整数倍的x 成立。
对于为 2 π {\displaystyle 2\pi } 整数倍的x ,由于 sin ( ( n + 1 / 2 ) x ) sin ( x / 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}} 在对应点的极限是2n+1
lim x → 2 k π sin ( ( n + 1 / 2 ) x ) sin ( x / 2 ) = 2 n + 1 {\displaystyle \lim \limits _{x\to 2k\pi }{\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}=2n+1} 因此可以将表达式延伸为连续函数,使得等式对任意x 都成立。
狄利克雷核的性质 [ 编辑 ] 狄利克雷核是一个三角多项式 ,因此是无穷阶可导的周期函数; 狄利克雷核是偶函数 ; 狄利克雷核的平均值 是1; 在正无穷处的平均值为: ‖ D n ‖ 1 = 1 2 π ∫ − π π | D n ( t ) | d t = 4 π 2 ln n + O ( 1 ) {\displaystyle \|D_{n}\|_{1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|D_{n}(t)|dt={\frac {4}{\pi ^{2}}}\ln n+O(1)} Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis . ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X , S.620 (vollständige Online-Version (Google Books) ) Podkorytov, A. N. (1988), "Asymptotic behavior of the Dirichlet kernel of Fourier sums with respect to a polygon". Journal of Soviet Mathematics , 42(2): 1640–1646. doi: 10.1007/BF01665052 Levi, H. (1974), "A geometric construction of the Dirichlet kernel". Transactions of the New York Academy of Sciences , 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x Hazewinkel, Michiel (编), Dirichlet kernel , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Dirichlet-Kernel [失效連結 ] at PlanetMath [永久失效連結 ]