泊松过程

泊松过程

概率密度函數
期望值	${\displaystyle a_{0,t}=\int _{0}^{t}\lambda (\alpha )d\alpha }$
方差	${\displaystyle a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}-(a_{0,t})^{2}=a_{0,t}}$ since ${\displaystyle R_{x}(t_{1},t_{2})=a_{0,min(t_{1},t_{2})}+a_{0,t_{1}}a_{0,t_{2}}}$ where for ${\displaystyle E\{X^{2}\}=R_{x}(t,t)=a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}}$

Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松過程、布瓦松過程、布阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法國數學家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。 這個過程本身是在幾種情況下，包括放射性衰變、電話通話到達率和精算學的實驗中，被獨立地重複發現的。^[1][2]

我們說一個 隨機過程 ${\displaystyle N(t)}$是一個時間齊次的一維泊松過程，如果它滿足以下條件：

• 在兩個互斥（不重疊）的區間內所發生的事件的數目是互相獨立的隨機變量。

• 在區間${\displaystyle [t,t+\tau ]}$內發生的事件的數目的機率分佈為：

${\displaystyle P[(N(t+\tau )-N(t))=k]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots }$

其中λ是一個正數，是固定的參數，通常稱為抵達率（arrival rate）或強度（intensity）。所以，如果給定時間區間${\displaystyle [t,t+\tau ]}$，則時間區間之中事件發生的數目隨機變數${\displaystyle N(t+\tau )-N(t)}$呈現泊松分布，其參數為${\displaystyle \lambda \tau }$。

更一般地來說，一個泊松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間（例如：一個歐幾里得平面或三維的歐幾里得空間）中的每一個有界的區域，賦予一個隨機的事件數，使得

• 在一個時間區間或空間區域內的事件數，和另一個互斥（不重疊）的時間區間或空間區域內的事件數，這兩個隨機變數是獨立的。

• 在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變數，遵循泊松分布。（技術上而言，更精確地來說，每一個具有有限測度的集合，都被賦予一個泊松分布的隨機變數。）

泊松過程是莱维过程（Lévy process）中最有名的過程之一。時間齊次的泊松過程也是時間齊次的連續時間Markov過程的例子。一個時間齊次、一維的泊松過程是一個純出生過程，是一個出生-死亡過程的最簡單例子。

考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为${\displaystyle T_{1}}$。此外，对于${\displaystyle n>1}$，以${\displaystyle T_{n}}$记在第${\displaystyle n-1}$个事件与第${\displaystyle n}$个事件之间用去的时间。序列${\displaystyle \{T_{n},n=1,2,...\}}$称为到达间隔时间列。

• ${\displaystyle T_{n}(n=1,2,...)}$是独立同分布的指数随机变量，具有均值${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$。

• 泊松分布
• 马尔科夫链