殆完全數

用古氏积木說明8是殆完全數，也是亏数

殆完全數（almost perfect number）是一種特別的自然數，它所有的真因數（即除了自身以外的因數）的和，恰好等於它本身減一。若用除數函數（其真因數的和及其本身）來表示，若一自然數n的除數函數σ(n)等於2n - 1，該自然數即為殆完全數。殆完全數是一種虧數。虧度（σ(n) − 2n）為-1。

例如4的除數函數為2+1=3，比4小1，因此4是殆完全數。

目前已知的殆完全數為2的非負次幂（OEIS數列A000079），因此唯一已知奇數的殆完全數為20 = 1，但尚未證明除了2的非負次幂以外，是否存在其他型式的殆完全數。可以證明若存在大於1的奇數殆完全數，至少會有六個質因數[1][2]。

若m是奇數殆完全數，則m(2m − 1)會是笛卡爾數[3]，而且，若a和b滿足，且4m − a and 4m + b都是质数，則m(4m − a)(4m + b)會是奇數的奇異數[4]。

参见

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參考資料

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  • Richard K. Guy|Guy, R. K., Almost Perfect, Quasi-Perfect, Pseudoperfect, Harmonic, Weird, Multiperfect and Hyperperfect Numbers. §B2 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 16 and 45-53, 1994.
  • Singh, S., Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem. New York: Walker, p. 13, 1997.
  1. ^ Kishore, Masao. Odd integers N with five distinct prime factors for which 2−10−12 < σ(N)/N < 2+10−12 (PDF). Mathematics of Computation. 1978, 32: 303–309. ISSN 0025-5718. JSTOR 2006281. MR 0485658. Zbl 0376.10005. doi:10.2307/2006281. 
  2. ^ Kishore, Masao. On odd perfect, quasiperfect, and odd almost perfect numbers. Mathematics of Computation. 1981, 36 (154): 583–586. ISSN 0025-5718. JSTOR 2007662. Zbl 0472.10007. doi:10.2307/2007662 可免费查阅. 
  3. ^ Banks, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip. Descartes numbers. De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (编). Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes 46. Providence, RI: American Mathematical Society. 2008: 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1186.11004. 
  4. ^ Melfi, Giuseppe. On the conditional infiniteness of primitive weird numbers. Journal of Number Theory. 2015, 147: 508–514. doi:10.1016/j.jnt.2014.07.024 可免费查阅. 

外部連結

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