奥尔-索末菲方程 (英語:Orr–Sommerfeld equation )是流体力学 中的一个特征值 方程,用以描述黏性 平行流动的二维线性扰动模态。当平行层流 满足特定条件时,相应的纳维-斯托克斯方程 的解会变得不稳定,此时可使用奥尔-索末菲方程判断流体动力稳定性 的条件。
奥尔-索末菲方程以威廉·迈克法登·奥尔 与阿诺德·索末菲 命名。
图中所示为管道流动中的基流。 假设经扰动后的流速为
u = ( U ( z ) + u ′ ( x , z , t ) , 0 , w ′ ( x , z , t ) ) {\displaystyle \mathbf {u} =\left(U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)\right)} , 其中 ( U ( z ) , 0 , 0 ) {\displaystyle (U(z),0,0)} 为未经扰动的基流。扰动速度有类波解 u ′ ∝ exp ( i α ( x − c t ) ) {\displaystyle \mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct))} 。使用流函数 表示流动,由线性纳维-斯托克斯方程可以得到有量纲的奥尔-索末菲方程:
μ i α ρ ( d 2 d z 2 − α 2 ) 2 φ = ( U − c ) ( d 2 d z 2 − α 2 ) φ − U ″ φ {\displaystyle {\frac {\mu }{i\alpha \rho }}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi } , 其中 μ {\displaystyle \mu } 为流体的动力黏度 , ρ {\displaystyle \rho } 为流体密度 , φ {\displaystyle \varphi } 为流函数或速度势函数。如不考虑黏性影响,该方程可简化为瑞利方程 。
无量纲形式的奥尔-索末菲方程为:
1 i α R e ( d 2 d z 2 − α 2 ) 2 φ = ( U − c ) ( d 2 d z 2 − α 2 ) φ − U ″ φ {\displaystyle {1 \over i\alpha \,Re}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi } , 其中 R e = ρ U 0 h μ {\displaystyle Re={\frac {\rho U_{0}h}{\mu }}} 为基流的雷诺数 ( U 0 {\displaystyle U_{0}} 为特征速度, h {\displaystyle h} 为管道高度)。壁面( z = z 1 {\displaystyle z=z_{1}} 与 z = z 2 {\displaystyle z=z_{2}} )的无滑移边界条件为:
α φ = d φ d z = 0 {\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dz}=0} ( φ {\displaystyle \varphi } 为势函数) 或
α φ = d φ d x = 0 {\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dx}=0} ( φ {\displaystyle \varphi } 为流函数)。 方程的特征值为 c {\displaystyle c} ,对应的特征向量为 φ {\displaystyle \varphi } 。当波速 c {\displaystyle c} 的虚部为正时基流不稳定,微小扰动会以指数形式放大。
参考文献 [ 编辑 ] Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part I. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27 : 9–68. Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part II. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27 : 69–138. Sommerfeld, A. Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen. Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians III . Rome. 1908: 116–124.