反正切 性質 奇偶性 奇函数 定義域 實數 集 到達域 ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})} 周期 N/A 特定值 當x=0 0 當x=+∞ π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 當x=-∞ − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} 其他性質 渐近线 y = ± π 2 {\displaystyle y=\pm {\frac {\pi }{2}}} y =±90° 根 0 拐點 原點 不動點 0
反正切 （英語：arctangent ，记为 arctan {\displaystyle \arctan } arctg 或 tan − 1 {\displaystyle \tan ^{-1}} [ 1] 反三角函數 ，是利用已知直角三角形 的對邊和鄰邊这两条直角边的比值 求出其夹角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數 。在三角學 中，反正切被定義為一個角度 ，也就是正切 值的反函數 ，由於正切函數在實數 上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正切是單射 和滿射 也是可逆 的，但不同於反正弦 和反餘弦 ，由於限制正切函數 的定義域在 ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})} 值域 是全體實數，因此可得到的反函數定義域也是全體實數，而不必再進一步去限制定義域。
由於反正切函數的定義為求已知對邊和鄰邊的角度值，剛好可以視為直角坐標系 的x座標與y座標，根據斜率 的定義，反正切函數可以用來求出平面上已知斜率的直線與座標軸 的夾角 。
反正切函數經常記為 tan − 1 {\displaystyle \tan ^{-1}} arctan {\displaystyle \arctan } [ 2] ISO 31 -11標準應將反正切函數記為 arctan {\displaystyle \arctan } tan − 1 {\displaystyle \tan ^{-1}} 1 tan {\displaystyle {\frac {1}{\tan }}} 1 tan {\displaystyle {\frac {1}{\tan }}} 餘切函數 。
原始的定義是將正切函數 限制在 ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})} 反函數 複變分析 中，反正切是這樣定義 的：
arctan x = i 2 ln ( i + x i − x ) {\displaystyle \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln \left({\frac {{\mathrm {i} }+x}{{\mathrm {i} }-x}}\right)\,} 這個動作使反正切被推廣到複數 。
拓展到複數的反正切函數
在直角坐標系 中，反正切函數可以視為已知平面 上直線 斜率 的傾角
反正切函數可利用泰勒展開式來求得級數的定義 反正切函數的泰勒展開式為：
∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] a r c t a n ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 = x − 1 3 x 3 + 1 5 x 5 − 1 7 x 7 + ⋯ {\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots } 當 | x | ≤ 1 {\displaystyle \left|x\right|\leq 1} x ≠ ± i {\displaystyle x\neq \pm i} 圓周率 的近似值，最簡單的公式是 x = 1 {\displaystyle x=1} 莱布尼茨公式 [ 3]
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + − … {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\ldots } 更精確的寫法是梅欽類公式
π 4 = 4 a r c t a n 1 5 − a r c t a n 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctan} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctan} {\frac {1}{239}}} 由於反正切函數是一個奇函數 ，因此滿足下面等式：
arctan ( − x ) = − arctan x {\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!} 反正切函數的微分導數為：
a r c t a n ′ x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {\rm {arctan}}'x={\frac {1}{1+x^{2}}}} a r c t a n ″ x = − 2 x ( 1 + x 2 ) 2 {\displaystyle {\rm {arctan}}''x={\frac {-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}} a r c t a n ‴ x = 6 x 2 − 2 ( 1 + x 2 ) 3 {\displaystyle {\rm {arctan}}'''x={\frac {\;6x^{2}-2\;}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}} a r c t a n ⁗ x = − 24 x 3 + 24 x ( 1 + x 2 ) 4 {\displaystyle {\rm {arctan}}''''x={\frac {\;-24x^{3}+24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}} ⋯ . {\displaystyle \cdots \qquad .} arctan x ± arctan y = arctan x ± y 1 ∓ x y , x y < 1 {\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},xy<1} x y > − 1 {\displaystyle xy>-1} arctan x ± arctan y = π ± arctan x ± y 1 ∓ x y , x > 0 , x y > 1 {\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x>0,xy>1} x > 0 , x y < − 1 {\displaystyle x>0,xy<-1} arctan x ± arctan y = − π ± arctan x ± y 1 ∓ x y , x < 0 , x y > 1 {\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=-\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x<0,xy>1} x < 0 , x y < − 1 {\displaystyle x<0,xy<-1} 在反三角函數 中，atan2是反正切函數的一個變種，有兩個變數，主要是提供給計算機编程語言一個簡便的角度計算方式，其定義為：
atan2 ( y , x ) = { arctan ( y x ) x > 0 arctan ( y x ) + π y ≥ 0 , x < 0 arctan ( y x ) − π y < 0 , x < 0 + π 2 y > 0 , x = 0 − π 2 y < 0 , x = 0 undefined y = 0 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}} ^ Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. InverseCotangent （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） ^ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie , Encyclopædia Universalis. ^ Connue des anglophones sous le nom de "formule de 詹姆斯·格雷果里 " ; cette formule avait en fait été déjà découverte parMadhava of Sangamagrama
![{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3385465219696eff1fb4e5a231e063e94fcabe)
