列維-奇維塔符號 (Levi-Civita symbol),又稱列維-奇維塔ε ,為一在線性代數 ,張量分析 和微分幾何 等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 n ,它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性 來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔 命名。其他名稱包括排列符號 、反對稱符號 與交替符號 。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。
列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 ε 或 ϵ ,較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列:
ε a 1 a 2 ⋯ a n {\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}} 其中每個下標指標 a 1 , a 2 , ..., a n 取值介乎 1 到 n 。在 ε a 1 a 2 ...a n 中,共有 nn 個指標排列,可以排成為一個 n 維陣列。
當任何兩個指標相等,則定義符號值等於 0 :
ε ⋯ a p ⋯ a p ⋯ = 0 {\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{p}\cdots }=0} ; 當全部指標都不相等時,我們定義:
ε a 1 a 2 ⋯ a n = ( − 1 ) p ε 12 ⋯ n {\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{12\cdots n}} , 其中 p 稱為「排列的奇偶性 」 (parity of permutation),是要將 a 1 , a 2 , ..., a n 變換成自然次序 1, 2, ..., n ,所需的對換次數。而因子 (−1)p 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡, ε 12...n 的值必須有定義,否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值:
ε 12 ⋯ n = + 1 {\displaystyle \varepsilon _{12\cdots n}=+1} 。 在本文中,也將使用這個定義。
從定義可知,當任何兩個指標互換,則須加上負號:
ε ⋯ a p ⋯ a q ⋯ = − ε ⋯ a q ⋯ a p ⋯ {\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{q}\cdots }=-\varepsilon _{\cdots a_{q}\cdots a_{p}\cdots }} 。 這稱為「完全反對稱性」。
“n 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 n ,和所討論的向量空間維度相符,其中可指歐幾里得空間 或非歐幾里得空間 ,例如 R 3 的 n = 3 或閔可夫斯基空間 的 n = 4 。
列維-奇維塔符號的值,與參考座標系無關。此外,這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量;然而,它可以被理解為張量的密度。
列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣 的行列式 ,及三維歐幾里德空間中的兩個向量 的叉積 。
列維-奇維塔符號最常用於三維和四維,並在一定程度上用於二維,因此在定義一般情況之前,先給出這些符號值。
在二維中,列維-奇維塔符號定義如下:
ε i j = { + 1 − 1 0 {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,} 當 ( i , j ) = ( 1 , 2 ) {\displaystyle \left(i,j\right)=\left(1,2\right)} 當 ( i , j ) = ( 2 , 1 ) {\displaystyle \left(i,j\right)=\left(2,1\right)} 當 i = j {\displaystyle i=j}
這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣 :
( ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ) = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} 相對於其他維度,二維的列維-奇維塔符號並不常見,雖然在某些專門的主題,如超對稱 和扭量理論 中,談及2-旋量 時會用到。
對於 ε ijk 的指標 (i , j , k ) ,數字 1, 2, 3 在 循環排列的次序,對應 ε = +1 。在 反循環排列的次序,則對應 ε = −1 。其餘情況下, ε = 0 。 三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中,列維-奇維塔符號定義如下:
ε i j k = { + 1 − 1 0 {\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,} 當 ( i , j , k ) = ( 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(1,2,3\right)} 、 ( 2 , 3 , 1 ) {\displaystyle \left(2,3,1\right)} 或 ( 3 , 1 , 2 ) {\displaystyle \left(3,1,2\right)} 當 ( i , j , k ) = ( 3 , 2 , 1 ) {\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(3,2,1\right)} 、 ( 2 , 1 , 3 ) {\displaystyle \left(2,1,3\right)} 或 ( 1 , 3 , 2 ) {\displaystyle \left(1,3,2\right)} 當 i = j {\displaystyle i=j} 、 j = k {\displaystyle j=k} 或 i = k {\displaystyle i=k}
也就是說,如果 (i , j , k ) 是 (1, 2, 3) 的偶排列,則符號值為 +1 。如果是奇排列,則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複,則符號值為 0 。
僅在三維中, (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列,反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中,僅觀察 (i , j , k ) 是 (1, 2, 3) 的循環排列,還是反循環排列,就足以分辨其奇偶性。
類似於二維矩陣,三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列:
其中 i 是深度 (藍色 : i = 1 ; 紅色 : i = 2 ; 綠色 : i = 3 ) , j 是橫行,k 是直列。
以下是一些例子:
ε 1 3 2 = − ε 1 2 3 = − 1 ε 3 1 2 = − ε 2 1 3 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 ε 2 3 1 = − ε 1 3 2 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 ε 2 3 2 = − ε 2 3 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}} 在四維中,列維-奇維塔符號定義如下:
ε i j k l = { + 1 − 1 0 {\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,} 當 ( i , j , k , l ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) {\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)} 的偶排列 當 ( i , j , k , l ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) {\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)} 的奇排列 其餘情況,即任意兩個指標相等
這些值可以排成 4×4×4×4 陣列,然而四維以上較難描繪出示意圖。
以下是一些例子:
ε 1 4 3 2 = − ε 1 2 3 4 = − 1 ε 2 1 3 4 = − ε 1 2 3 4 = − 1 ε 4 3 2 1 = − ε 1 3 2 4 = − ( − ε 1 2 3 4 ) = 1 ε 3 2 4 3 = − ε 3 2 4 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}} 推廣到高維 [ 编辑 ] 更一般地推廣到 n 維中,則列維-奇維塔符號的定義為:
ε a 1 a 2 a 3 … a n = { + 1 − 1 0 {\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}} 當 ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})} 是 ( 1 , 2 , 3 , … , n ) {\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)} 的偶排列 當 ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})} 是 ( 1 , 2 , 3 , … , n ) {\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)} 的奇排列 其餘情況,即任意兩個指標相等
又可使用求積符號 ∏ 表達為:
ε a 1 a 2 a 3 … a n = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n sgn ( a j − a i ) = sgn ( a 2 − a 1 ) sgn ( a 3 − a 1 ) … sgn ( a n − a 1 ) sgn ( a 3 − a 2 ) sgn ( a 4 − a 2 ) … sgn ( a n − a 2 ) … sgn ( a n − a n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}} 其中的 sgn(x ) 是符號函數 ,根據 x 的正負給出 +1 、 0 或 −1 。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效(當 n = 0 或 1 時,定義為空積 1 )。
然而,計算以上公式的時間複雜度 為 O(n 2 ) ,而以不交循環排列的性質計算,則只需 O(n log(n )) 。
兩個列維-奇維塔符號的積,可以用一個以廣義克羅內克函數 表示的行列式求得:
ε i j k … ε m n l … = | δ i m δ i n δ i l … δ j m δ j n δ j l … δ k m δ k n δ k l … ⋮ ⋮ ⋮ | {\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{mnl\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{im}&\delta _{in}&\delta _{il}&\dots \\\delta _{jm}&\delta _{jn}&\delta _{jl}&\dots \\\delta _{km}&\delta _{kn}&\delta _{kl}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}} 應用和範例 [ 编辑 ] 行列式 [ 编辑 ] 在线性代数 中, 3×3 的方陣 A = (aij ) :
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}} , 其行列式 可以寫為:
det ( A ) = ∑ i , j , k = 1 3 ε i j k a 1 i a 2 j a 3 k {\displaystyle \det(A)=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k}} , 類似地, n ×n 矩陣 A = (aij ) 的行列式可以寫為:
det ( A ) = ∑ a 1 , a 2 , ⋯ , a n = 1 n ε a 1 a 2 ⋯ a n a 1 a 1 a 2 a 2 ⋯ a n a n , {\displaystyle \det(A)=\sum _{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}=1}^{n}\varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,a_{1a_{1}}\,a_{2a_{2}}\,\cdots \,a_{na_{n}},} 向量的叉積 [ 编辑 ] 對於向量 a 與 b ,它們的叉積 :
a × b = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = ∑ 1 ≤ i , j , k ≤ 3 ε i j k a i b j e k {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}\,{\boldsymbol {e}}_{k}} 對於向量 a 、 b 與 c ,它們的三重積 :
a ⋅ ( b × c ) = | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 | = ∑ 1 ≤ i , j , k ≤ 3 ε i j k a i b j c k {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}c_{k}} 由列維-奇維塔符號給出(共變 等級為n )張量 在正交基礎 中的組成部份,有時稱為“置換張量”。
根據普通的張量變換規則,列維-奇維塔符號在純旋轉下不變,與正交變換相關的所有座標系統(在定義上)相同。然而,列維-奇維塔符號是一種贗張量 ,因為在雅可比行列式 −1的正交變換 之下,例如,一個奇數維度的鏡射 ,如果它是一個張量,它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變,所以列維-奇維塔符號根據定義,是一個贗張量。
由於列維-奇維塔符號是贗張量,因此取叉積的結果是贗張量,而不是向量。
在一般座標變換 下,置換張量的分量乘以变换矩阵 的雅可比 。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中,其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些,不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的,則根據座標的方向是否相同,因子將為±1。
在無指標的張量符號中,列維-奇維塔符號被霍奇对偶 的概念所取代。
在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中,列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標,而不改變意義,這也許是方便的如下寫成:
ε i j … k = ε i j … k . {\displaystyle \varepsilon ^{ij\dots k}=\varepsilon _{ij\dots k}.} 在這些例子中,上標應該被視為與下標相同。
使用愛因斯坦標記法 可消除求和符號,其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如,
ε i j k ε i m n ≡ ∑ i = 1 , 2 , 3 ε i j k ε i m n {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}} . 以下的例子使用愛因斯坦標記法。
在二維上,當所有 i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} , m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} 各取值1和2時,
ε i j ε m n = δ i m δ j n − δ i n δ j m {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}} (1 )
ε i j ε i n = δ j n {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}} (2 )
ε i j ε i j = 2. {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.} (3 )
指標和符號值 [ 编辑 ] 在三維中,當所有 i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} , k {\displaystyle k} , m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} 各取值1,2和3時:
ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}{}^{m}\delta _{k}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}\delta _{k}{}^{m}} (4 )
ε j m n ε i m n = 2 δ j i {\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}} (5 )
ε i j k ε i j k = 6. {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.} (6 )
列維-奇維塔符號與克罗内克函数 有關。 在三維中,關係由以下等式給出(垂直線表示行列式):
ε i j k ε l m n = | δ i l δ i m δ i n δ j l δ j m δ j n δ k l δ k m δ k n | = δ i l ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) − δ i m ( δ j l δ k n − δ j n δ k l ) + δ i n ( δ j l δ k m − δ j m δ k l ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}} 這個結果的一個特例是(4 ):
∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} 有時候其被稱為“contracted epsilon identity”。
在愛因斯坦標記法中, i {\displaystyle i} 指標的重複表示對於 i {\displaystyle i} 的求和。由此,上述結論可表記為:
ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} 進一步可以知道:
∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ε i j k ε i j n = 2 δ k n {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}} 指標和符號值 [ 编辑 ] 在n 維中,當所有 i 1 , … , i n , j 1 , … , j n {\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n},j_{1},\ldots ,j_{n}} take values 1 , 2 , … , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} :
ε i 1 … i n ε j 1 … j n = n ! δ [ i 1 j 1 … δ i n ] j n = δ i 1 … i n j 1 … j n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}} (7 )
ε i 1 … i k i k + 1 … i n ε i 1 … i k j k + 1 … j n = k ! ( n − k ) ! δ [ i k + 1 j k + 1 … δ i n ] j n = k ! δ i k + 1 … i n j k + 1 … j n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}} (8 )
ε i 1 … i n ε i 1 … i n = n ! {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!} (9 )
驚嘆號( ! {\displaystyle !} )代表階乘 ,而 δ β … α … {\displaystyle \delta _{\beta \ldots }^{\alpha \ldots }} 是廣義克罗内克函数,對於任意n 有屬性:
∑ i , j , k , ⋯ = 1 n ε i j k … ε i j k … = n ! {\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!} 從以下事實可得出:
每個排列是偶排列或奇排列, ( + 1 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 {\displaystyle (+1)^{2}=(-1)^{2}=1} ,與 任何n -元素集合的排列數正好是 n ! {\displaystyle n!} 。 一般來說,對於n 維,兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成:
ε i 1 i 2 … i n ε j 1 j 2 … j n = | δ i 1 j 1 δ i 1 j 2 … δ i 1 j n δ i 2 j 1 δ i 2 j 2 … δ i 2 j n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ δ i n j 1 δ i n j 2 … δ i n j n | {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}}